版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
PAGEPAGE1曲线过定点问题的探究罗定中学莫森岳摘要:高中数学中的恒过定点问题,特别是确定带参数的曲线恒过定点问题中参数的范围为任意值时曲线方程过定点的问题,错综复杂。曲线过定点问题涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的性质、图象,渗透着数形结合、函数与方程等思想方法,许多考生对解决此类问题往往感到很难,得分率低.本文对此类问题的在代数与几何方面的求解策略作一些探讨。关键词:特殊值分离参数数形结合平移对称反函数方程的曲线过定点问题是高中数学中常见的问题。平面解析几何图形中的定值问题是指按照一定条件构建几何图形或数量关系,根据题意可得某些元素在在一定的范围内变化时,与它有关的某个量保持恒定关系的一类问题。此类问题错综复杂,针对不同的题型有不同的的解决方法。数学在解题过程其中包括有两大方面,一些题型运用代数知识来解可能会比较方便,另一些用几何知识来解决可能会方便一点。根据不同的题目我们选用不同的解题方式,这样达到我们舍取得当的效果解决问题起来也就方便多了。以下分别从代数和几何两方面对曲线过定点问题的解题策略进行了一些探讨.一、代数方面解题策略(一)、特殊值法曲线恒过定点问题,实际上是对于参变量k在所有给定范围内取值,方程的曲线都通过定点。此时在参变量k的给定范围内的个别特殊值.,所得到的方程的曲线也应通过同一定点。因而只要设出参变量的几个特殊值,所得到关于X,Y方程组,解之验证得.无论K取任何实数时,直线(2k-1)x+-(k-3)y-(k-11)=0恒过一定点,求这个定点.分析:因方程对于任意的k,所表示曲线都过定点,该定点即为通过它的两曲线的交点,该交点只需设k的两个不同的值(可根据题意而设)得到关于x,y的方程联立解得.解:分别令k=0,1得:把x=2y=3代入原方程得(2k-1)×2+(-K-3)×3-(K-11)=0对于所有k∈R恒成立,则有直线方程恒过定点(2,3)说明:因为直线系所过的定点,就是直线系中任意两条直线的交点,故可以任取参数的两个不同的值代入直线系(或曲线系),联立求解,得出两特定直线(或曲线)的交点坐标,但还需将求得的交点人坐标代入原直线(或曲线)的方程进行检验,则该点坐使得方程恒等于0,则该点坐标就是直线(或曲线)恒过的定点.(二)、分离参数法1、含一个参变量的曲线系过定点的问题若曲线系方程可整理成关于的n次多项式,,则欲使曲线系过定点,只要使关于参数λ的n次多项式的各项系数为0,即(x,y)=0(i=0,1,2……n)解此方程,有解——则可知曲线系所过的定点,若无解——则可知曲线系不过定点。例2、求证:直线(2+8m+3)x-(3+m-4)y+4-6m-11=0无论m取什么实数时必过定点,并求这个定点坐标。分析:此题的解题思路与例2直线系过定点问题有点相似。首先参数分离,参数所有系数都为0。在这个方程里的方程分离法要注意,将这里的参数m按照降幂的顺序排列,然后再分别找出这此参数之间的系数,再可以讨论其系数满足的条件。即找出、m的系数与不含m的项,它们都为0时,无论m取何值时,方程都成立。解:将原方程按m的降幂整理得(2x-3y+4)+m(8x-y-6)+(3x+4y-11)=0x=1,y=2所以直线过定点(1,2)说明:分离能数将所有参数系数组成方程组,若方程组有解则可知直线(或曲线)过定点,若方程组无解,则曲线运动不过定点2、含两个参变量的曲线系过定点的问题若曲线系是含两个参数、的方程,f(x,y)+g(x,y)=h(x,y)(1)其中、满足某一线性条件A+B=C(A、B、C为常数),则此类问题可按以下的步骤解之:第一步、设曲线系过定点(,)代入上述(1),有(2)此时,可视上面两式对应着关于,的两条直线方程。第二步、既然曲线系过定点(,),哪么上述关于,的方程组有无穷个解或重合,所以有:(3)当其中一个分母为0时,就认为相应的分子也为0,如C=0,AB0,则(3)可以写成(4)若A=B=0,则可认为(3)式为(5)第三步、解(3)【或(4)或(5)】,若无解,则曲线系不过定点;若有一解,则曲线系过一定点;若有n个解,则曲线系过n个定点。例3、证明:若a,b满足2a-3b=1,那么直线ax+by=5必过定点,并求这个定点.分析:根据已知条件,设定点(,),则a,b同时满足的直线方程,直线方程与关系式重合,再由a,b的系数的比相等,可求出定点。解:设定点为(,),则已知条件表明关于(a,b)的两直线重合,故=10,=-15即直线必定过定点(10,-15)说明:(1)把直线方程化为:与2a-3b=1相比较,亦可得交点(10,-15)。(2)也可以将将两个参数中的一个消去,化为只含一个参变量的问题解之以上讨论曲线恒过定点时在代数方面的一些常见的解决方法——利用方程的理论求定点的问题,将一些复杂抽象的问题转化为显然常见的问题来解决,达到事半功倍的效果。二、几何方面的策略(一)、图象平移法函数y=f(x-a)+b的图象可由y=f(x)的图象向左(或向右)平移|a|个单位,再向上(或向下)平移|b|个单位得到,因此可可以将所给的函数y=f(x-a)+b看成某个初等函数y=f(x)(已知通过某一个定点)经过图象平移而得,在图象移动的过程中,函数通过的定点也随之移动,如果y=f(x)通过的定点为(m,n),则y=f(x-a)+b通过的定点为(m+a,n+b)例4、求函数y=通过的定点分析:已知这个函数,无论a取什么值时,只要函数有意义,则也都会通过定点(1,0),而y=的函数是由向右平移1个单位,再向上平移3个单位而得到的,则定点也都会随之移动了,则此题定点与a的取值无关,只须将定点平移就可以解决解:因过定点(1,0),函数y=由向右平移1个单位,再向上平移3个单位而得到,则定点(1,0)随之平移,且为定点,则可知通过的定点为(1+1,0+3)=(2,3)说明:这题是关于对数函数的几何问题,只要掌握函数的基本性质及函数图象平移的性质就可以解决。因图象过定点这个问题就是在原来函数的基础上平移,平移的过程中没有改变图象的大小,相对应的定点平移后都还是一个定点。所以这个问题用几何是平移解决比较方便。(二)、反函数法函数与其反函数的定义域与值域互换,通过这一特点可以直接用原函数求反函数的定义域、值域,求反函数在某一点的值(如:求),反函数的单调性、奇偶性与其通过定点都可以用这种方法来求。例5、已知函数y=f(x)通过定点(1,2),求y=f(x+1)的反函数通过的定点.分析:互为反函数的两函数的定义域与值域交换,通过的点的横纵坐标亦交换,因此,问题就转化为求y=f(x+1)通过的定点解:因为y=f(x)通过的定点为(1,2),则y=f(x+1)的反函数通过的定点为(0,2).又因为y=f(x+1)的反函数通过的定点为(2,0).说明:本题根据y=f(x)与反函数的关于y=x对称的性质来解决,定点也就显然啦(三)、对称法图象关于点、线对称的两函数可利用对称性找出它们之间的关系,利用其中一个求出另一个的函数关系及其性质,当然也可根据一个函数通过的定点求出另一个函数通过定点。常用的几个对称关系:设点P的坐标是(a,b),则点P关于x轴的对称点的坐标是(a,-b);点P关于y轴的对称点的坐标是(-a,b);点P关于y=x轴的对称点的坐标是(b,a);点P关于原点的对称点的坐标是(-a,-b);点P关于y=-x轴的对称点的坐标是(-b,a)。例6、先作与函数(a>0且a1)的图象关于原点对称的图象,再将向右平移1个单位得到的图象,又函数y=f(x)的图象与关于直线y=x对称,求出y=f(x)的图象通过定点。分析:函数通过定点随函数图象的对称(或平移)而对称(或平移)。该题中,要求出的图象通过的定点,再根据平移、对称来求。解:因为(a>0且a1)的图象通过定点(3,0),其关于原点对称的图象通过定点(-3,0)。又因为将向右平移一个单位得到,所以通过定点(-2,0),而y=f(x)与关于y=x对称。所以y=f(x)的图象通过的定点为(0,-2)。说明:这道题是有关几何的问题,引用我们常用的点点对称,点线对称的基础知识,再寻找出对数函数基本形式时过定点,再把这个定点找出他变化后的位置,这个点也就是我们要求的一个定点。这道题我们要掌握的知识点就是关于对称的问题,熟知关于点对称或关于线对称时的基本性质。三、总结定值问题是解析几何中颇有难度的问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩。解决这类问题时,要运用辩证的观点去思考分析,在“变”中寻求“不变”,用特殊探索法(即用特殊
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 专业化物流管理与服务承包协议书版A版
- 2025年度农业现代化项目合作种植养殖合同范本3篇
- 2025年度健康医疗大数据分析与应用服务合同4篇
- 2025年度剧本改编委托创作合同样本3篇
- 2025年度商务写字楼租赁及商务配套服务合同4篇
- 2024版设备与集成服务采购合同
- 2025年度航空航天器材定制厂家合同样本3篇
- 2024年金融投资与咨询服务合同标的及投资领域
- 二零二五年度老旧小区改造安置房交易协议范本3篇
- 2024矿物资源勘探技术与咨询服务协议版
- 资本金管理制度文件模板
- 2025年生产主管年度工作计划
- 2025年急诊科护理工作计划
- 高中家长会 高二寒假线上家长会课件
- 违规行为与处罚管理制度
- 个人教师述职报告锦集10篇
- 四川省等八省2025年普通高中学业水平选择性考试适应性演练历史试题(含答案)
- 《内部培训师培训》课件
- 《雷达原理》课件-3.3.3教学课件:相控阵雷达
- 西方史学史课件3教学
- 2024年中国医药研发蓝皮书
评论
0/150
提交评论