静电场的描绘

大学物理实验――静电场的描绘PAGEPAGE８实验六静电场的描绘[目的]1.学习用模拟法研究静电场；2.描绘圆柱形电容器中的等势线。[仪器和用具]1.静电场描绘仪（DZ-2型）；2.静电场描绘仪电源（AC-12型,0-12V、1KHZ）；3.游标尺(0-150mm、精度：0.02mm)；4.导线4条；5.毫米尺（0－200mm），圆规，计算器；6.坐标纸二张【140×140(mm)2】，复写纸【140×140(mm)2】注：5和6由学员自带。[原理]一、静电场与稳恒电流场静电场是静止电荷周围存在的一种特殊物质。各种电子器件的研制以及化学电镀、静电喷漆等工艺，均需了解带电体或电极间的静电场分布。但是，除极简单的情况外，大部分情况下不能得到静电场的解析表达式。为了解决实际问题，一般借助实验的方法来描述电场强度或其电势的空间分布。但是由于静电场中不存在电流，无法用直流电表直接测量，而用静电式仪表测量，必须用金属探头，然而金属探头伸入静电场中将发生静电感应现象，产生感应电荷，感应电荷的电场叠加于被测的静电场中，改变了静电场原来的分布，使之发生显著的变化，导致测量误差极大。因此，一般采用间接测量的方法来描述静电场，利用稳恒电流场来模拟测绘静电场的分布，就是一种常用的测量方法。静电场和稳恒电流场本是不同的场，但是它们都遵守高斯定理，对静电场有对稳恒电流场，则有另外，它们也都引入了电势U的概念且电场强度与电势又存在的关系，因此描绘出U的分布即可利用此关系描绘出的分布。根据两种场的这种相似性，我们可将不良导体作为电介质，并使其与作为电极的良导体以及输出电压稳定的电源构成闭合电路，从而在不良导体中建立一个稳恒电流场，改变电极和介质的形状，使介质中电流场的电位分布与欲测量的静电场的电位分布完全相似，测出稳恒电流场的电势分布，即可得到相应的静电场的电势分布，根据该电势分布图，描绘出等位线（或等位面）图，再根据电力线与等位线正交的性质，作出电力线图，即可得到静电场的分布图。上述这种利用规律和形式上的相似，由一种测量代替另一种测量的方法，就称为模拟法。二、两共轴无限长均匀带电圆柱体间的静电场如图6－1(h→∞)，设内圆柱A的半径为，其电势为；外环内半径为，其电势为，则静电场中距离轴心为处的P点的电势可表示为：（6－1）根据高斯定理可知，对于两共轴无限长均匀带电圆柱体系统，垂直于轴线的任一截面S内，都有均匀分布的如图6－1（b）的辐射状电力线，这是一个与圆柱中心轴线无关的二维场，即只需研究任一截面上的电场分布即可。而在二维场中，电场强度平行于x、y平面，其等位面为一簇同轴圆柱面的同心圆，圆等位面与电力线正交。如图6－1(b),当时，电荷均匀分布的两同轴无限长圆柱体内距轴心距离为的场强大小为（6－2）式中C由圆柱体上的线电荷密度决定。将式（6－2）代入式（6－1）可得（6－3）在r=rb处，电势值代入式（6－3）有整理后可得：（6－4）将此式代入式（6－3），并取Ua=U0，Ub=0，整理后可得：即或（6－5）将式（6－5）方程两边取自然对数的形式可得：（6－6）式（6－5）和式（6－6）即为两共轴无限长均匀带电圆柱体间静电场中任意点P的电势Ur与该点距轴心的距离的函数关系式。三、圆柱形电容器的模拟场对圆柱形电容器，当其圆柱的高度h>>rb时,可将其视为两共轴无限长均匀带电圆柱体。两圆柱体间的电势分布规律仍如式（6－6）的函数关系，由此关系式可知，在两圆柱体间的任意位置，只要r相等，其对应的电势值均相等。可见，以r为半径的圆柱面上的电势处处相等，因此，任一截面的电势及电场分布的规律均相等，只要模拟一个截面的电势分布，即可反映整个圆柱体间的电势及电场分布情况。电源档测量档模拟装置可设计为如图6－2所示的结构。A、B电极分别为高度h≈8mm的铜质圆柱体及圆环，利用自来水作为两电极间的导电介质；为电源档，即稳定的正弦交流电源。由于水在稳恒的直流电流场中会产生极化现象，从而在模拟场出现一附加电场，与模拟场的原型不符，使描绘出的等势线产生较大的偏差。而水在正弦交流电流场中不会产生极化，而稳定的正弦交流电源的电压、电流有效值是稳定的，由此建立的场是稳恒的电流场，其等位线与被描绘的静电场的等位线能够完全相似，故本实验的工作电源改用稳定的正弦交流电源。因为正弦交流电源对水不产生电解，且正弦交流电源的电压、电流有效值等效于直流电的电压和电流值，所以只要采用稳定的正弦交流电源，当实验中水温基本不变时，通过水中的交流电流有效值可视为稳定的，由此建立的场可视为稳恒的电流场，其等位线与被描绘的静电场的等位线必定相似，实验也证实了这一点；图中，为测量档，即交流毫伏表，用来测定等势线，由于其内阻(大于2MΩ)远远大于A、B电极间的电阻值，故电表内阻引入的系统误差完全可略。电源档测量档设A电极相对于B电极的电势值为U0，A、B间介质（水）的等效电阻为R，流经介质的电流有效值为I，则根据欧姆定律可得：(6－7)当水为均匀时，由于模拟装置的对称性，则I又可表示为（6－8）式中，h为水的厚度，r为测量点P离A电极轴心的距离，j为通过高为h,半径为r的圆柱面的电流密度（有效值）。当电流场空间充满均匀的电导率为σ的不良导体时，不良导体内的电场强度与电流密度矢量之间遵循欧姆定律，故根据欧姆定律的微分形式，有(6－9)式中，σ为介质的电导率。联解式（6－7）、式（6－8）及式(6－9)可得：（6－10）式中，=常量。因为U0及R在实验过程中是保持不变的，因此上式是恒定电流场的场强分布表示式，与上述圆柱形电容器中的静电场强分布关系式（6－2）完全相似。场强的分布确定后，模拟场中各点的电势可根据下式确定(6－11)式中积分常数由电极的形状即边界条件确定。当时，取，则有：，即，代入式（6－11）可得：（6－12）当时，时由（6－12）可得（6－13）将式（6－12）除以式（6－13）可得（6－14）或写成（6－15）式(6-15)与式(6－6)完全一致。可见，圆柱形电容器中静电场的电力线和等势线与模拟模型的电流场的电流线和等势线具有完全相似的分布，故可用上述的模拟模型来模拟圆柱形电容器中的电势分布，从而描绘出静电场的分布。归纳以上的讨论可知，电流场模拟静电场的条件为：1.电流场所用的电极系统应与被模拟的静电场的电极系统的几何形状相似。2.稳恒电流场中的导电物质应是不良导体，且电阻率分布均匀。3.模拟场所用的电极系统应与被模拟的静电场的电极系统的边界条件相同。四、实验装置及测绘方法实验装置如图6－3所示，左边分为上、下两层，模拟模型安装在有机玻璃制成的水槽里并置以底层，上层放置记录纸。记录纸由两张坐标纸（用其背面）和一张复写纸叠加而成，安装时将复写纸夹于两张坐标纸中，再置于记录平台上并用记录纸压紧装置固定好。等臂记录仪的两根探针通过两铜质弹板固定于同一个手柄座上。一根探针置于作为导电介质的水中，另一根置于记录纸上方，两根探针始终保持在统一铅垂线上。移动手柄座时，可保证两探针的运动轨迹是一样的。实验时，由水中的探针找到待测电势值对应的点后，按压记录纸上的探针，即可利用复写纸在坐标纸上留下测量点的记号，从而描绘出等势线，再根据电力线与等势线正交原理，画出电力线。这样就可由等势线的间距、电力线的疏密和指向，将抽象的电场形象地反映出来。[实验内容与要求]利用模拟法描绘圆柱形电容器中等势线的分布。要求：1.按表6－1的要求，用游标尺测出A极的直径。然后，按图6－2连接好电路。2.在圆柱形电容器等势线的模拟模型中装入自来水（电容器内外都得充满水，但水的高度不能漫过电极上表面）。然后，在静电场描绘仪的记录平台上安装好记录纸。3.接通静电场描绘仪电源（f=1KHZ的正弦交流电源）并调节其输出电压值，使得A、B电极间的电压值U0=10.00V（用交流毫伏表测出）。再利用等臂记录仪装置，分别测绘出电势值为1.00V、2.00V、3.00V、4.00V、5.00V、6.00V等六条等势线。每条等势线至少要有分布较为均匀的六个等势点，并作好记号。4.根据测绘的各等势点的记录图，利用几何方法，确定出各等势线的共同圆心O，再利用游标尺测出各等势点至O点的距离，求出值；以为半径，画出相应的等势圆，并在各等势圆上标注其相应的、值；再按电极半径的实际尺寸，画出A、B电极，然后画出八条对称的电力线。5.根据式（6－15），令、作出Y～X图线，应得到一条直线（否则应重新测绘），求出直线的斜率b和截距a，按求出实验得到的B电极、A电极半径，与用游标尺测出的B电极、A电极半径比较，判断本次实验的准确程度。[问题]1.本实验的模拟模型中的导电介质为何选用水而不用导电纸?2.本实验为何选用正弦交流稳压电源来建立稳恒电流场而不用直流稳压电源?3.如何由测绘的各等势点的记录图,推算出A电极和B电极的半径?本实验如何估算实验的准确程度?4.在圆柱形电容器中静电场的模拟实验中,若图线为直线，说明了什么？为什么？[附]测量举例[数据记录]组别：№17一、电极参量及测量数据记录B电极内半径：表6－1：A电极半径测量记录。游标尺精度：0.02；零点读数值0.00；单位：n123456(读数值)10.0010.0210.0010.0010.0210.00（测量值）10.0010.0210.0010.0010.0210.005.0035.005.015.005.005.015.00注：－零点读数二、位线半径测量记录毫伏表量程：、准确度等级：表6－2取AB电极间的电压有效值：U0=10.00V(ri用游标卡尺测量)(mm)Ur1234561.0039.1639.9439.1839.9039.6039.3239.5172.0031.4831.1031.1631.8231.6231.6031.4633.0024.4824.9624.5224.9625.0024.6224.7574.0019.1019.9419.7419.8419.8019.5019.6535.0015.1015.2015.7015.9215.5815.3215.476.0012.2612.5012.6012.3012.1612.9012.453[数据处理]一、的换算表6－3(mm)39.51731.46324.75719.65315.4712.4533.67673.44883.20912.97822.73892.5220Ur(V)1.002.003.004.005.006.000.1000.2000.3000.4000.5000.600Y～X图线如下图，在直线上取“1”、“2”、“3”点，其坐标值分别为（0.120，3.630）、（0.540，2.650）、（0.270，3.280），用其计算直线的斜率和截距，可得：(注：Y～X图线必须用坐标纸画；“1”、“2(0.120,3.630)(0.270,3.280