奥数基础-一次函数(含解答)-

第一节一次函数例题剖析例1〔2006年“信利杯〞全国初中数学竞赛〔广西赛区〕〕直线L经过〔2，0〕和〔0，4〕，把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，那么直线L′的解析式为_______．分析：先求出直线解析式y=kx+b，再抓住平移k不变，进行求解．解：因为过〔2，0〕和〔0，4〕的直线L解析式是y=-2x+4，设向左平移2个单位得到的直线L′解析式是y=-2x+m，将它与x轴的交点坐标〔0，0〕代入得m=0，所以直线L′的解析式为y=-2x．评注：直线y=kx+b平移时k值不变，上下平移时再抓住与y轴的交点变化，左右平移时再抓住与x轴的交点变化就能得解．例2〔2000年全国初中数学竞赛试题〕一个一次函数图象与直线y=x+平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点〔-1，-25〕，那么在线段AB上〔包括端点A、B〕，横、纵坐标都是整数的点有〔〕．〔A〕4个〔B〕5个〔C〕6个〔D〕7个分析：根据所求一次函数图象与直线y=x+平行且过点〔-1，-25〕，即可确定该函数的解析式，然后采用列举法进行分析．解：设与直线y=x+平行的直线的方程为y=x+k，又〔-1，-25〕在直线y=x+k上，得k=-．因为A、B为y=x-与x轴、y轴的交点，所以A〔19，0〕，B〔0，-〕．又y=x-=〔x-19〕，0≤x≤19，x-19必须是4的整数倍，只有当x=3，7，11，15，19时，y为整数，因此在线段AB上〔包括端点A、B〕，横、纵坐标都是整数的点有5个，选B．评注：所谓横坐标、纵坐标都是整数的点，即求该函数解析式〔二元一次方程〕在某范围内的整数解．例3〔2005年富阳市初二数学竞赛〕不管k为何值，解析式〔2k-1〕x-〔k+3〕y-〔k-11〕=0表示的函数的图象经过一定点，那么这个定点是_______．分析：该题是“直线束〞问题，可在k的取值范围内取两个定值两条特殊直线求得交点，再证明其他直线必过此点．解：因为函数是一次函数，故k+3≠0，分别令k=1与k=2，得解得,即两特殊直线相交于点A〔2，3〕，而当x=2时，函数式为2〔2k-1〕-〔k+3〕y-〔k-11〕=0．整理得〔k+3〕y=3〔k+3〕，所以k取不等于-3的任何值时，y=3．当x=2时，必得y=3．不管k为何值该一次函数的图象恒过定点〔2，3〕．评注：利用“不管〞性，取k的任意两个特殊值，代入函数关系式，求出x、y的值，再验证所求得的x、y值适合函数关系式，从而确定函数图象恒过定点，这是解决这类问题常用的方法．此外此题还可利用一次方程ax=b有无数解的条件来解，同学们不妨一试．例4〔2005年富阳市初二数学竞赛〕在一次函数y=-x+3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为，那么这样的点P共有〔〕〔A〕4个〔B〕3个〔C〕2个〔D〕1个分析：设点P的坐标为〔x，-x+3〕，那么矩形OAPB的面积表示为│x│×│-〔-x+3〕│=│x2-3x│=，然后分两种情况进行讨论．解：选〔B〕．评注：此题通过数形互动，结合一元二次方程实根个数来确定符合条件的点的个数，这是解决这类问题常用方法．此外，由点的坐标表示距离时，不能忘记加绝对值．例5〔2006年全国初中数学竞赛〔浙江赛区〕复赛试题〕设0<k<1，关于x的一次函数y=kx+〔1-x〕，当1≤x≤2时的最大值是〔〕〔A〕k〔B〕2k-〔C〕〔D〕k+分析：y=〔k-〕x+，∵0<k<1，∴k-=<0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为k-+=k．解：选〔A〕．评注：对于自变量有限范围的一次函数极值问题，应结合一次函数的增减性来确定．例6〔2006年全国初中数学竞赛〔浙江赛区〕初赛试题〕设直线y=kx+k-1和直线y=〔k+1〕x+k〔k是正整数〕与x轴围成的三角形面积为Sk，那么S1+S2+S3+…+S2006的值是_______．分析：先求出直线y=kx+k-1和直线y=〔k+1〕x+k的交点，再求出这两条直线与x轴围成的三角形面积Sk的表达式．解：因为方程组的解为所以这两直线的交点〔-1，-1〕，直线y=kx+k-1和直线y=〔k+1〕x+k〔k是正整数〕与x轴的交点分别是〔，0〕，Sk=|-1|×||=|-|．所以S1+S2+S3+…S2006=〔1-+-+-+…+．评注：此题在求解过程中的关键是：将拆成-，这是常用技巧．例7〔1997年江苏省初中数学竞赛试题〕有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某时该开始5min内只进水不出水，在随后的15min内既进水又出水，得到时间x〔min〕与水量y〔L〕之间的关系如图．假设20min后只放水不进水，那么这时〔x≥20时〕y与x的函数关系是________．分析：据图象可知：开始5min，只进水不出水，共进了20L水，每分钟进水4L．随后的15min内既进水又出水，实际水量增加了35-20=15L，每分钟水量增加1L，说明出水管每分钟出水3L．因为水量是固定的，每分钟3L，所以20min后，总水量为35L．解：y=35-3〔x-20〕，即y=-3x+95〔20≤x≤〕．评注：仔细审题，观察图象，应弄清进水时，每分钟4L；既进又放时，每分钟净增水1L，故每分钟放水为3L，这是解此题的关键．例8〔2006年全国初中数学竞赛〔海南赛区〕〕在平面直角坐标系中，A〔2，-2〕，点P是y轴上一点，那么使AOP为等腰三角形的点P有〔〕〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个分析：分三种情况来讨论，即：如下图，①以O为顶点的等腰三角形有：△OP1A，△OP2A；②以A为顶点的等腰三角形是△OP3A；③以P为顶点的等腰三角形是△OP解：选〔D〕．评注：分类讨论是重要的数学思想方法，竞赛题中经常出现需要分类的考题，这类问题的求解，既要有扎实的根底知识，也要有一定的分析问题和综合解决问题的能力，要强化这方面的训练．例10〔2006年四川省数学竞赛初二初赛试题〕平面直角坐标系内有A〔2，-1〕，B〔3，3〕两点，点P是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标．分析：根据几何模型，得出点A关于y轴对称点A′的坐标，再由待定系数法求出直线A′B解析式，就可得解．解：如图，点A关于y轴对称的点为A′〔-2，-1〕，设过A′、B两点的直线的一次函数为y=kx+b，有解得∴y=x+．当x=0时，y=，即直线A′B与y轴交于点〔0，〕，可得所求点P的坐标为〔0，〕．评注：此题把几何中最短距离问题代数化，解题关键是应用轴对称和一次函数相关知识来求解．此类问题还可改为在x轴上或在坐标轴上求一点P，同学们不妨思考一下．稳固练习

一、选择题：1．y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为〔〕〔A〕y=8x〔B〕y=2x+6〔C〕y=8x+6〔D〕y=5x+32．假设直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么直线y=bx+k不经过〔〕〔A〕一象限〔B〕二象限〔C〕三象限〔D〕四象限3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是〔〕〔A〕4〔B〕6〔C〕8〔D〕164．假设甲、乙两弹簧的长度y〔cm〕与所挂物体质量x〔kg〕之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，那么y1与y2的大小关系为〔〕〔A〕y1>y2〔B〕y1=y2〔C〕y1<y2〔D〕不能确定5．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，那么有一组a，b的取值，使得以下4个图中的一个为正确的选项是〔〕6．假设直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么直线y=bx+k不经过第〔〕象限．〔A〕一〔B〕二〔C〕三〔D〕四7．一次函数y=kx+2经过点〔1，1〕，那么这个一次函数〔〕〔A〕y随x的增大而增大〔B〕y随x的增大而减小〔C〕图像经过原点〔D〕图像不经过第二象限8．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在〔〕〔A〕第一象限〔B〕第二象限〔C〕第三象限〔D〕第四象限9．要得到y=-x-4的图像，可把直线y=-x〔〕．〔A〕向左平移4个单位〔B〕向右平移4个单位〔C〕向上平移4个单位〔D〕向下平移4个单位10．假设函数y=〔m-5〕x+〔4m+1〕x2〔m为常数〕中的y与x成正比例，那么m的值为〔〕〔A〕m>-〔B〕m>5〔C〕m=-〔D〕m=511．假设直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，那么k的取值范围是〔〕．〔A〕k<〔B〕<k<1〔C〕k>1〔D〕k>1或k<12．过点P〔-1，3〕直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作〔〕〔A〕4条〔B〕3条〔C〕2条〔D〕1条13．abc≠0，而且=p，那么直线y=px+p一定通过〔〕〔A〕第一、二象限〔B〕第二、三象限〔C〕第三、四象限〔D〕第一、四象限14．当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，那么常数a的取值范围是〔〕〔A〕-4<a<0〔B〕0<a<2〔C〕-4<a<2且a≠0〔D〕-4<a<215．在直角坐标系中，A〔1，1〕，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，那么符合条件的点P共有〔〕〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个16．一次函数y=ax+b〔a为整数〕的图象过点〔98，19〕，交x轴于〔p，0〕，交y轴于〔0，q〕，假设p为质数，q为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕无数17．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数．当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取〔〕〔A〕2个〔B〕4个〔C〕6个〔D〕8个18．〔2005年全国初中数学联赛初赛试题〕在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取〔〕〔A〕2个〔B〕4个〔C〕6个〔D〕8个19．甲、乙二人在如下图的斜坡AB上作往返跑训练．：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，〔a<b〕；乙上山的速度是a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t〔分〕，离开点A的路程为S〔米〕，那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t〔分〕与离开点A的路程S〔米〕之间的函数关系的是〔〕20．假设k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的两个实根〔kb≠0〕，在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，那么一次函数的图像一定经过〔〕〔A〕第1、2、4象限〔B〕第1、2、3象限〔C〕第2、3、4象限〔D〕第1、3、4象限答案:1．B2．B3．A4．A5．B提示：由方程组的解知两直线的交点为〔1，a+b〕，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于a，小于b的数，不等于a+b，故图D不对；应选B．6．B提示：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，∴对于直线y=bx+k，∵∴图像不经过第二象限，故应选B．7．B提示：∵y=kx+2经过〔1，1〕，∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y随x的增大而减小，故B正确．∵y=-x+2不是正比例函数，∴其图像不经过原点，故C错误．∵k<0，b=2>0，∴其图像经过第二象限，故D错误．8．C9．D提示：根据y=kx+b的图像之间的关系可知，将y=-x的图像向下平移4个单位就可得到y=-x-4的图像．10．C提