2023年新疆巴州高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：

金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是()

A.0.2B.0.5C.0.4D.0.8

2,若a=0.5°6,0=0.6°5,c=2°s,则下列结论正确的是()

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

3.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸

识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识

别，则这6名研究生不同的分配方向共有()

A.480种B.360种C.24()种D.120种

4.已知i为虚数单位，若复数二满足三=2-i,则z=()

1+21

A.1+iB.-1+iC.l-2iD.l+2i

5.已知/(x)是定义在［—2,2］上的奇函数，当x«0,2］时，/(x)=2'-l,贝!!/(一2)+/(0)=()

A.-3B.2C.3D.-2

6.已知点£为双曲线C:J—上-=l(a>0)的右焦点，直线y=与双曲线交于A,3两点，若NAF,B=—,则

a43

△AF?B的面积为()

A.272B.2GC.472D.4百

7.已知数列｛4｝满足：,(〃cN*)诺正整数%(后25)使得4+d+…+d=q%…4成

Q[—I,•6

立，贝!U=()

A.16B.17C.18D.19

8.如图，平面四边形ACB。中，ABIBC,AB=6,BC=2,A/W。为等边三角形，现将△AB。沿AB翻

折，使点。移动至点P,且PB1BC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(

D.巫兀

A.8"B.6%C.44

3

9.在三棱锥P—ABC中，AB=BC=5,AC=6,尸在底面ABC内的射影。位于直线AC上，且AO=2C£>,PD=4.

设三棱锥P-ABC的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（）

.V689„7689„55/265726

A.--------B.--------C.--------Dn.--------

8686

22

V-v

10.已知椭圆*+二的左、右焦点分别为耳、F2,过E的直线交椭圆于A,8两点，交y轴于点M,

ab.

若月、M是线段AS的三等分点，则椭圆的离心率为（）

£「2石

A.L•-------D.正

255

11.复数z=二二的共轨复数在复平面内所对应的点位于（）

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.已知函数〃幻=但*6穴），若关于X的方程/（x）-〃?+l=O恰好有3个不相等的实数根，则实数加的取值范

围为（）

A.（叵,1）B.（0,—）C.（1,-+1）D.（1,叵+1）

2e2ee2e

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数〃同=411（5+。）（3>0,0<。<2］）满足：①/（x）是偶函数；②/（X）的图象关于点（?,（）］对称.则

同时满足①②的3,（P的一组值可以分别是.

14.曲线y=er（x2+2）在点（0,2）处的切线方程为.

15.在正方体ABCD-ABgR中，E为棱AA,的中点，F是棱A罔上的点，且=g尸片，则异面直线EF与BC1

所成角的余弦值为.

16.在平面直角坐标系xOy中，己知直线/:y=：与函数/（x）=sin［3+®>0）的图象在y轴右侧的公共点从

左到右依次为4，4，…，若点4的横坐标为1,则点人的横坐标为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

时间代号，123456789

广告收入y（千万元）22.22.52.832.52.321.8

根据这9年的数据，对f和V作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；

根据后5年的数据，对/和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.

（1）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案,

方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测.

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表：

小概率

n2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

（2）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电

子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为1（）%,现用此统计结果作为概率，若从上述读者

中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

2

18.（12分）设点片6（。,0）分别是椭圆C:「+y2=i（a>i）的左、右焦点，p为椭圆C上任意一点，且

a

西•飓的最小值为1.

(1)求椭圆C的方程;

(2)如图，动直线/»=依+根与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线/上的两点，且6MF2N±l,

求四边形F\MNFZ面积5的最大值.

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量Z=(cos<z,sina),很=cosa+~,sin^«+^，其中0<a<].

(1)求仅一£)•£的值；

(2)若工=(1,1),且(%+?P£,求a的值.

20.(12分)已知函数/(x)=j3x+6,g(x)=J14-x,若存在实数工使/(x)+g(x)>a成立，求实数。的取值范

围.

21.(12分)已知函数/(x)=炉-5x+21nx.

(1)求f(x)的极值；

(2)若/(玉)=/(%2)=/(毛)，且与</<刍，证明：X]+々>1.

22.(10分)如图，。为坐标原点，点尸为抛物线G：£=2处(〃>0)的焦点，且抛物线G上点尸处的切线与圆

。2：/+尸=1相切于点。

(1)当直线P。的方程为x-y-夜=0时，求抛物线G的方程；

S.

(2)当正数。变化时，记S1,S?分别为△EPQ,AFOQ的面积，求亡的最小值.

32

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】

从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共1()种,

其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为且='=0.5.

102

故选：B

【点睛】

本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.

2.D

【解析】

根据指数函数的性质，取得a*,c的取值范围，即可求解，得到答案.

【详解】

由指数函数的性质，可得1>0.6°，5>0.5°5>0.5°-6>0,即1>匕>。>0,

又由c=2°‘>l,所以c>Z?>a.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了指数事的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得“，4c的取值范围是解答的关键，着重考

查了计算能力，属于基础题.

3.B

【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.

【详解】

当人脸识别方向有2人时，有£=120种，当人脸识别方向有1人时，有C；A：=240种，.•.共有360种.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

4.A

【解析】

分析：题设中复数满足的等式可以化为彳=一9一+『，利用复数的四则运算可以求出z.

1+2;

详解：由题设有5=二一+7=1—2i+i=l—i,故z=l+i,故选A.

l+2z

点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共朝复数，属于基础题.

5.A

【解析】

由奇函数定义求出/(0)和/(-2).

【详解】

因为/(x)是定义在［—2,2］上的奇函数，二/(0)=0.又当xe(0,2］时，

/(X)=2f-1,/(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,,-./(-2)+/(O)=-3.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键.

6.D

【解析】

设双曲线C的左焦点为£,连接4片,8耳，由对称性可知四边形4耳8名是平行四边形,

设|*|=小|*|=勺得4c2=弓2+弓2一2化3$。，求出住的值，即得解.

【详解】

设双曲线C的左焦点为匕，连接4片,8耳，

由对称性可知四边形人耳8后是平行四边形，

■7T

=

所以SAAF?B，4居=—・

设|4用=?|也|=々，贝ij4c2=r;+r^-2r}r2cosy=+r^-rtr2,

又=2a.故上=4/=16,

S

所以^F2=I■和sin(=•

故选：D

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

7.B

【解析】

2

计算4一+…=4+1-5,故+a2+...+&*-=应+]+女—16=ak+l+1,解得答案.

【详解】

当〃之6时，a„+l=0,«2••-1=(a„+1)a„-1,即aj=“同一生,+1,且4=3L

故“6-+%-+...+an~=(%_。6)+(“8_%)+…+(见+1_°")+〃_5=。“+]—a6+n—5,

aa

+i~+…+a『=k+\+%—16=ak+i+1,故Z=17.

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.

8.A

【解析】

将三棱锥尸-ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角

形的外心连线上，在R^OBE中,计算半径08即可.

【详解】

由PB1BC,可知8C_L平面RW.

将三棱锥尸-ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同.

由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,

记的外心为E，由△A8O为等边三角形，

可得BE=1.又0E=*=l,故在RhOBE中,0B=O,

此即为外接球半径，从而外接球表面积为8万.

故选：A

【点睛】

本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.

9.A

【解析】

设AC的中点为O先求出AABC外接圆的半径，设QM=a,利用平面ABC,得QM〃PD,在及

△OMQ中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可

【详解】

设AC的中点为O,因为A3=BC,所以AA8C外接圆的圆心M在B0上.设此圆的半径为r.

25

因为8。=4,所以（4—「）2+3?=产，解得r=高.

O

因为OD=OC—8=3—2=1,所以CM=#+（4—.）2=芈-

设QM=a,易知QM_L平面ABC,则QM〃PO.

因为QP=QB,所以&PD一a）?+DM?=J”？+/2,

即（4—a）2+孚=/+竽，解得。=1.所以球。的半径/?=。8=，717=邈^.

64648

故选：A

【点睛】

本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题

10.D

【解析】

根据题意，求得A,M,B的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，M点为中点，士为中点,

故可得行+乙=2七“=(),故可得.q=c；

2222

cvbb

代入椭圆方程可得:+2r=1,解得旷=±幺，不妨取以=幺，

abaa

(b2}

故可得A点的坐标为c,一，

1a7

…fb2}(b2}

则A/0,——,易知8点坐标-2c,-,

lla)I2a)

将3点坐标代入椭圆方程得/=5C2,所以离心率为好,

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A8,/点的坐标，属中档题.

11.D

【解析】

由复数除法运算求出z,再写出其共轨复数，得共甄复数对应点的坐标.得结论.

【详解】

iz(l-2z)i+221.-?121

l+2z-(l+2z)(l-2i)-5-552对应点为(y,—y),在第四象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查共班复数的概念，考查复数的几何意义.掌握复数的运算法则是解题关键.

12.D

【解析】

讨论x>0,x=0,尤<0三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】

1-2x，函数在上单调递增，在+8)上单调递减，且/(g)=等

当x>o时，y(x)=—,故尸(x)=

ex2\[xex

当x=0时，/(0)=0；

当”。时，小）=亨,八，）=-宗<。,

函数单调递减;

如图所示画出函数图像，则0</〃—叵，故me（l,叵+1）.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3兀

13.—9—

22

【解析】

根据/（X）是偶函数和/（X）的图象关于点对称，即可求出满足条件的0和。.

【详解】

由/（x）是偶函数及0M8<2兀，可取夕=^,

贝U/（x）=sin^（vx+y^=coswx,

由/（x）的图象关于点（三,0）对称，得0x1=E+],kwZ,

33

即。=3kH—9keZ,可取co——・

22

371

故。，。的一组值可以分别是7，--

22

37C

故答案为：-

【点睛】

本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.

14.y-2x+2

【解析】

对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.

【详解】

令〃力=/(炉+2),■■f'(x)=e\x2+2x+2),所以尸(0)=2,又•.•/(0)=2,二所求切线方程为y-2=2x,即

y=2x+2.

故答案为：y=2x+2.

【点睛】

本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基

础题.

【解析】

根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得丽，西■.由空间向量的夹角求法即可求得异

面直线EF与BG所成角的余弦值.

【详解】

根据题意画出几何图形，以A为原点建立空间直角坐标系：

设正方体的棱长为1,则E(O,O,；W，O,I}B(LO,O)，G(L1,I).

所以加=£,0,；),西'=(0,1,1).

同邛网=①

EF-BC{Vio

所以cos<EF,BC\>=RR

所以异面直线EF与BQ所成角的余弦值为平,

故答案为：叵.

5

【点睛】

本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.

16.1

【解析】

当X=1时，/(x)=sin((y+—)=-^ro+—=2k^+—,或。+军=24万+2(％eZ),依题意可得口+乙=红，可求得。，

62666666

继而可得答案.

【详解】

JT1

因为点4的横坐标为1,即当x=l时，f(x)=sin^+-)=-,

62

所以co+—=2k7v+—'^cD+—=2k7r+—(kEZ),

66l66

1jr

又直线/：y=］与函数/«=sin(s+?)(G>0)的图象在)'轴右侧的公共点从左到右依次为A,4

rv*1、i45%

所以69+—=—,

6O

,,2万

故①=9

所以函数的关系式为/(x)=sin(4x+£).

当々=3时，f(1)=sin(—x3+—)=-,

即点&的横坐标为1,(3,g)为二函数的图象的第二个公共点.

故答案为：L

【点睛】

本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Q1

17.(1)选取方案二更合适；(2)—

125

【解析】

(1)可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，而后5年

的数据得到的相关系数的绝对值0.984>0.959,所以有99%的把握认为y与♦具有线性相关关系，从而可得结论；(2)

32

求得购买电子书的概率为《，只购买纸质书的概率为不，购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电

子书，2人购买电子书一人只购买纸质书，由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

【详解】

(1)选取方案二更合适，理由如下：

①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告

收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续

数据的依据.

②相关系数年|越接近1,线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值().243<0.666,我们没有理

由认为)，与/具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值().984>0.959,所以有99%的把握认为y

与f具有线性相关关系.

(2)因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比

例为io%,所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为/+历=2,只购买纸质书的概率

2

为二，购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率

【点睛】

本题主要考查最优方案的选择，考查了相关关系的定义以及互斥事件的概率与独立事件概率公式的应用，考查阅读能

力与运算求解能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的

事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型

进行解答.

18.(1)—+/=1；(2)2.

2,

【解析】

42_1

(D利用两«两■的最小值为1,可得朋•%=》2+V-02=巴9/+1一°2,xe[-a,a],即可求椭圆C的

a

方程；

(2)将直线/的方程y=h+〃，代入椭圆C的方程中，得到关于x的一元二次方程，由直线/与椭圆C仅有一个公共点

知，△=()即可得到〃?，上的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到4=|EM，4=优根.当b()时，设直

线/的倾斜角为。，贝！]|4一%|=|加川*]m14,即可得到四边形片MN写面积S的表达式，利用基本不等式的性质，

结合当z=()时，四边形耳是矩形，即可得出S的最大值.

【详解】

<1)设P(x,y),则[P=(x+c,y),F2P=(x-c,y),

2i

222a22

PF\•PF\=x+y-c=x+l-c9xe[-a.a]9

a"

由题意得，1—c2=0=>c=l=>a2=2>

2

椭圆C的方程为±x+y2=l；

2

(2)将直线[的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x2+2丁=2中，

得(2人2+1)%2+4kmx+2trr-2=0.

由直线/与椭圆C仅有一个公共点知，△=16k2m2-4(2k2+1)(2/??-2)=0,

化简得：加2=2^+1.

设忻k+n

4=M=j：,d2=\F2M\=.J,

yjk2+lyjk2+l

当ZHO时，设直线/的倾斜角为e,

则|4-蜀=|M^x|tane|,

.,•修|二向|4一村,

1

s=

2-

K十1

..2帆_4同=4

•■=2标+1，-炉+广疝+i-1

同+忖

二当kwO时，网＞1,帆+时＞2，

AS＜2.

当％=()时，四边形片"”是矩形，5=2.

所以四边形F,MNF］面积5的最大值为2.

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的

性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想.

19.(1)--1(2)a=—.

212

【解析】

⑴根据仅-孙£=£%—同二由向量£,坂的坐标直接计算即得；⑵先求出力+3再根据向量平行的坐标关系

解得a.

【详解】

71

(1)由题，向量a=(cosa,sina),b=cosa+,sina+工

~I4

则,—£然=£%—同

=cosacoscr+—+sinasina+--(cos2or+sin2a

I4；I4)[

71—1浮1

/71、/、、

(2)vc=(1,1),：,b+c=cosa-\■——+1,sinCLH—+1

<4>I4JJ

v\b+c\//a,

71

cosa+——+1sincr-心4+1coscr=0,

、4,l4J

整理得sina-cosa=sinl+lcos<z-cosl(2+71Isin6)f,

4

7T・刀■口r・7冗1

化简得&sinCC------=sin—,即sma----

44I442

八c兀兀7171

Q0<a<一,/.——<a------<—,

2444

7T7Tan54

/.OL------=——9即a=—・

4612

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.

20.TO,8)

【解析】

试题分析:先将问题“存在实数X使/(X)+g(X)>a成立”转化为“求函数/(X)+g(X)的最大值”，再借助柯西不等式

求出/(x)+g(x)的最大值即可获解.

试题解析:

存在实数x使/(x)+g(x)>a成立，等价于/(x)+g(x)的最大值大于

因为/(x)+g(x)=^3X+6+y/14-x=^X-X/X4-2+1X5/14—X,

由柯西不等式：(昂+4(3+l)(x+2+14-x)=64,

所以/(x)+g(x)=j3x+6+J14—xW8,当且仅当x=10时取“=”,

故常数”的取值范围是(-8,8).

考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.

9

如⑴/⑴极大值为一72瓜2；极小值为_6+22(2)见解析

【解析】

(1)对函数/(X)求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值;

⑵构造函数F(x)=，求导并判断单调性可得尸(X)<0,从而/(x)</(I-X)在［0,；)上

恒成立，再结合%e)=/(玉)</(1一%)，可得到x2>l-x,，即可证明结论成立.

【详解】

(1)函数/(x)的定义域为(0,+纪)，/'(*)=2*—5+［=生^^0>0),

所以当xe(0,g)U(2,一)时,广。)>0；当x出,2)时，((x)<0,

则/(%)的单调递增区间为[(),：]和(2,+8),单调递减区间为2].

门、1519

故f(x)的极大值为/7=：-不+21117=—：—21n2；f(x)的极小值为/(2)=4-10+21n2=-6+21n2.

(2)证明:由(1)知0<X]V；<工2<2<工3，

设函数F(x)=于(X)-/(I-x),xe(0,；),

则FXxXV-Sx+Zlnx-(1-x)2-5(l-x)+21n(l-x),

*，(、(2x-l)(x-2)^(2x-l)(x+l)2(21)2

F(x)=------------+------------=---------,

x1-xx(l-X)

则b'(x)〉0在［0,；)上恒成立，即F(x)在［0,；)上单调递增,

故F(x)<F(g),

=0，则/(x)=/(x)-/(l-x)<0,xel0,1j,

又呜卜/(J佃

即/(x)</(I-x)在(0,g)上恒成立.

因为为所以/(玉)</0_玉),

又/（々）=/（xj，则/（w）</（1-石）,

因为-玉w（g,2）,且/（x）在],2）上单调递减，

所以%>1-玉,故7+