高一数学-必修一复习资料

第一章§1.1集合关于集合的元素的特征（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流）（2）互异性（3）无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.例：已知A={1,1+d，1+2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求的，d，q的值。解：d=－34，q=－元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作aA子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.或.子集与真子集的性质：传递性：若，，则空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。（{2,4,6,8}）问：1、{1，3，5，7，9}如何用自然语言描述法表示？2、用例举法表示集合练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形集合间的基本运算并集（∪）：一般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，成为集合A与B的并集，记作A∪B，即：,韦恩图如下：交集（∩）：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即：韦恩图如下：全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，记为U。补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={xxU且xA}，韦恩图如下：AUCUAUCUA练习：1、若A={0，2，4}，CUA={-1，2}，CUB={-1，0，2}，求B=。2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．例：1.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合A到集合B的所有不同的映射有（）个。2.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合B到集合A的所有不同的映射有（）个。函数的表示方法：解析法、列表法、图像法练习：1.已知f（x－2）=2x2－9x＋13，求f（x）——配凑法答案：f（x）=2x2－x＋32.已知f（x＋1）=x＋2x，求f（x＋1），f（x2）——换元法答案：f（x＋1）=x2＋2x，（x≥0）；f（x2）=x4－1，（x≤－1或x≥1）3.已知f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=9x＋8，求f（x）——待定系数法答案：f（x）=3x＋2或f（x）=－3x－44.设f（x）满足关系式f（x）＋2f（1x答案：f（x）=2x－x，x∈{x|x∈R，x≠06.已知x≠0，函数f（x）满足f（x－1x）=x2＋1A.f（x）=x＋1xB.f（x）=x2＋2C.f（x）=x2D.f（x）=（x－1x7.已知函数f（x）=2xA.32B.16C.8D.648.若函数f（2x＋1）x2－2x，则f（3）=（）9.已知函数f（x）=x21＋x2，则f（1）＋f（2）＋f（12）＋f（4）＋f（1410.已知f（2x＋11.已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x＋1）=f（x）＋x＋1，求f（x）12.定义在（－1,1）内的函数f（x）满足：2f（x）－f（－x）=lg（x＋1），求函数f（x）的解析式.

§1.3函数的基本性质增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)．减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。函数的单调性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。例1：物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。（设V1＞V2＞0）判断函数单调性的方法步骤:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.练习：用函数单调性的定义证明f（x）=x＋2x在（2若3x－3－y≥5－x－5y成立，则（）A、x＋y﹥0B、x＋y﹤0C、x＋y≥0D、x＋y≤03、函数y=log1/2（4＋3x－x2）的一个单调递增区间是（）A.（－∞，32）B.[32，＋∞﹚C.（－1，32）D.[4.下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（）A.y=－x＋1B.y=xC.y=x2－4x＋5D.y=25.函数f（x）=11＋xA.（0,1）B，（0,1]C.[0,1）D.[0,1]6.已知函数f（x）ax2＋2ax＋1，x∈[－3,2]的最大值为4，求其最小值.

函数的奇偶性和周期性：函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．练习：1.已知函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）=x－x4，则当x∈（0，＋∞）时，f（x）=2.已知f（x）是定义在R上的偶函数.且在[0，＋∞﹚上为增函数，若f（a）≥f（2），则实数a的取值范围是：3.函数f（x）对任意实数x满足条件f（x＋2）=1f（xf（f（5））=第二章基本初等函数§2.1指数函数一、指数和指数幂的运算n次方根的含义一般地，若，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈Ｎ＊n次方根的写法零的n次方根为零，记为小结：正数的偶次方根有两个，并且互为相反数；负数没有偶次方根；零的任何次方根为零。【例1】写出下列数的n次方根(1)16的四次方根；（２）－２７的五次方根；（３）９的六次方根解：（１）（２）（３）３、n次方根的性质归纳：n次方根的运算性质为（１）（２）n为奇数，n为偶数,【例2】求下列各式的值（1）（a>b）解：＝－８；＝＝１０；＝；＝.[随堂练习]1.求出下列各式的值(a>1)解：（1）；（2）（3）3a-3【例3】：求值：分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解：[随堂练习]2．若。解：3．计算解：-9+第二节1、分数指数幂规定：（1）、正数的正分数指数幂的意义为：正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：（2）、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.2、分数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂同样适用，即：（1）（2）（3））３、无理指数幂思考：若＞0，P是一个无理数，则该如何理解？自主学习：学生阅读教材第６２页中的相关内容归纳得出：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近。所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)所以，是一个确定的实数.总结：一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.这样幂的性质就推广到了实数范围练习：[轻松过关]１、下列式子中计算正确的是（D）ABCD2下列式子中计算正确的有（A）（１）；（２）（３）A0B1C2D3３、的值是（Ｂ）Ａ２ＢＣＤ８４、下列说法正确的是（Ｃ）Ａ无意义ＢＣＤ５、用计算器算０．０１２８；（保留４个有效数字）６、已知，则＝７；７、计算的值解：原式＝[适度拓展]８、化简：（e=2.718）解：原式＝+=２9、已知求的值解原式＝，提示：）[综合提高]１０、已知：，，求的值.解：由，又1<a<b，∴，从而得，∴原式===.二、指数函数及其性质xy0xy0y=2x当＞1时，函数的图象为：xy0图象特征函数性质＞10＜＜1＞10＜＜1向轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1＞0，＞1＞0，＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1＜0，＜1＜0，＞1利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在（＞0且≠1）值域是（2）若（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有（4）当＞1时，若＜，则＜；练习：1、函数2、当（－，１）

§2.2对数函数对数与对数运算对数：一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作叫做对数的底数，N叫做真数.2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制＞0，且≠1（2）指数式对数式幂底数←→对数底数指数←→对数幂←N→真数恒等式：=N负数和零没有对数。Loga1=0；logaa=1两类对数：①以10为底的对数称为常用对数，常记为.②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.例：求下列各式中x的值（1）（2）（3）（4）分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：（1）（2）（3）（4），所以对数的运算运算性质： 如果，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．换底公式 （，且；，且；）．证明：设ax=b，所以logcax=logcb，因为logcax=xlogca；所以X=logcax/logca=logcb/logca=logab换底公式推论（1）；（2）．对数函数的图象（1）（2）（3）（4） 图象特征函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于0

§2.3幂函数定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.五种基本幂函数：yy=x3y=x-1定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.例题：证明幂函数上是增函数证：任取＜则==因＜0，＞0所以，即上是增函数.

第三章函数的应用§3.1函数与方程零点定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式