2023人教A版高中数学精讲3．3 幂函数

第三章函数的概念与性质

3.3塞函数

例证明基函数/(x)=«是增函数.证明：函数定义域是［0,+8).

V玉，x2ef0,+oo),且玉<々，有f(xj_.f(x2)=«-

(+)

Xy一天

因X,-X2<0,+yfx^>0,

所以/(xj</(w)，即基函数/(x)=«是增函数・

练习

1.已知嘉函数y=x”的图象过点(2,&),试求出这个函数的解析式.

【答案】y=)

【解析】

【分析】直接带点计算即可.

【详解】由已知0=2&，得&=；，即〉=£.

2.利用幕函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

4411

(1)(-1.5)3,(-1.4)3；(2).

-1.5-1.4

【答案】(1)(—1.5)3<(—1.4)3；(2)

-1.5-1.4

【解析】

【分析】(1)根据/(外=/的单调性比较大小；

(2)根据g(x)='在(-吗0)上的单调性比较大小.

X

【详解】解：(1)设/@)=炉,则“力在R上为增函数.

-1.5<-1.4,.•.(—1.5)3<(-1.4)3.

(2)设g(x)=,，则g(x)在(一℃,0)上为减函数,

【点睛】本题考查幕函数的单调性的应用，属于基础题.

3.根据单调性和奇偶性的定义证明函数/(幻=/的单调性和奇偶性.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义判断，利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、

作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.

【详解】证明：/(x)=/的定义域为R.

任取x—eR,且芭<々，则/(内)一/(々)=工；-E=(%-%2乂x；+x/2+x；)

=(王一马)(玉+|-^2-

(1Y3

王，工2£R,且再</，.•%—A??<°,IX|H--X-yH—x；>0.

\2y/4

"(%)-/02)<。，即/(%)<“£).

/(x)=_?在R上为增函数.

又；f(-X)=(-X)3=-X3=-/(X),，=为奇函数.

【点睛】本题考查累函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题.

习题3.3

复习巩固

4.画出函数>=屈的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.

【答案】图像见解析，偶函数，讨论见解析

【解析】

【分析】

将绝对值去掉，将函数解析式写出分段函数的形式，再根据累函数的性质及图象画

出函数图象，从而可以判断函数的奇偶性和单调性.

设/(x)=y=M，.f(x)的定义域为R.

/(r)=7P^=M=/(x)，

y=/(x)=为偶函数.

当XG[0,+o。)时•，y=M为增函数，证明如下:

设任意的X1,&e[0,+8),且占＜与，则

%一%=屈一相=嘉一嘉=才+於.

■Xt,x2e[0,+oo),且不0,厄>0,

禽+后＞0,不一w＜0,.,.乂一％＜0即，＜%.

y=y/\x\在[0,+oo)上为增函数.

当xe(Ho,0]时，y=M为减函数，证明如下:

设任意的王,々e(Y»,0],且王＜々，则

必一%=厢一屈=

vx1,x2e(-oo,0],且不+工2—玉>0.二切一%>。即X>%.

y=y/\x\在（-°0,01上是减函数.

【点睛】本题考查分段函数及幕函数的图象及性质，属于中档题.

综合运用

5.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率%

（单位：c"/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.

（1）写出气体流量速率也关于管道半径「的函数解析式；

（2）若气体在半径为3c帆的管道中，流量速率为400c//s，求该气体通过半径

为;•的管道时，其流量速率u的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5a”，计算该气体的流量速率（精确到

lent3/5）.

【答案】（1）v=kr4;（2）v=r4；（3）3086cm3/s

81

【解析】

【分析】

（D）设比例系数为Z,由题意可得：V=kr4.

（2）代入可得Z.

（3）利用（2）的表达式即可得出.

【详解】解：（1）设比例系数为3气体的流量速率v关于管道半径「的函数解析

式为v=kr，.

（2）将厂=3与u=400代入丫=什4中，有400=^x34.解得左=绊，

O1

所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为丫=鬻/.

O1

（3）当r=5时，「=理x5"=25000°=3086cm;/5.所以,当气体81通过的管

8181

道半径为5cmH寸，该气体的流量速率约为3086c//§.

【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及幕函数其应用，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

6.试用描点法画出函数/（x）=x-2的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单

调性、奇偶性，并证明.

【答案】图像见解析，定义域：*1x70},值域：{yly>0},讨论见解析，证明见

解析

【解析】

【分析】

2

函数/(x)=x-2=可得XHO.可得定义域，x>0,可得r>0,可得值域；在

JTX

求解奇偶性，并作出其大致图象，利用定义证明单调性即可；

【详解】解：/u)=4.

X

列表：

X-3-2-1123•••

]_

/(X)…11…

9449

描点，连线.图象如图所示.

定义域:WXHO},值域：3y>0}"(x)=x-2在(―8,0)上是增函数，在(0,+8)

上是减函数.

证明如下：设任意的X1,%26(-=°，°)，且玉.则

/(%)一/(%)=*一千考-X；

22

X/2

%)<x2<0,/.X]+尤2v0,>0,x2-xl>0.

"㈤―f(w)v。，即/(%)<〃£),.・・/(x)=婷在(7,0)上是增函数.

设任意的西,々G（0,+OO）且―则/&)_/(/)=5_5=-色+号］?一/).

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2