2023年高考全国乙卷数学(理)真题（答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题

2i

1.设111,则2()

A.12iB.12iC.2iD.2i

【答案】B

【解析】

【分析】由题意首先计算复数Z的值，然后利用共辗复数的定义确定其共桅复数即可.

.53-rzr,21211212i1

［详解］由题意可得Z——3_---------------------------12d1,

1rfr111r1

则r12L

故选：B.

2设集合UR,集合MT'X［X4,刘XX1（）

A.@MNB.N许M

C.可MND.MOJN

【答案】A

【解析】

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为A|A"即可.

【详解】由题意可得MNx|x2,则6MNx|x2,选项A正确;

U

6Mx|x1,则NeMx|x1

,选项B错误；

MNx|1x1,则6MNx|x1或x1,选项c借误；

面Nx|x1或x2，则MdNx|x1或x2，选项D错误；

故选：A.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为()

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A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体ABCDAMP"…"

中，，

点H,I,J,K为所在棱上靠近点B,C,D,A的三等分点，…"""

为所在棱的中点，

iiii

则三视图所对应的几何体为长方体ABCDA|B0Pi去掉长方体

之后所得的几何体，

1

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，

其表面积为：22242321130.

故选：D.

4.已知f(x)」匚是偶函数，则2()

e"1

A.2B.1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

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xx厘a1x

【详解】因为fX-工为偶函数，则fxfX-......-x-e-0，

e11e"'1eax1

又因为x不恒为0,可得exealx0，即e'ea1x,

1a1，肿何&4.

则xa1x,即

故选：D.

5.设0为平面坐标系的坐标原点，在区域*yrX2y24内随机取一点，记该点为A,则直线OA

的倾斜角不大于一的概率为（）

4

Illi

A.-B.-C.-D.，

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.

【详解】因为区域4y"y24表示以00,0圆心，外圆半径R2,内圆半径r1的圆环,

则直线0A的倾斜角不大于为部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角M0NJT

4T

9_

结合对称性可得所求概率p41.

2n4

.n2nJT2元

6.已知函数f(x)sin(x）在区间单调递增，直线x—和X—yfX

63为函数的图像的

两条对称轴，则fr）

11

卜・专C.D.

22

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【答案】D

【解析】

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x——即可得到答案

12

,..,n2n

【详解】因为f(x)sin(x)在区间单调递增,

63

T2兀JIJI2兀

所以—,且0,则TII,w—2,

7T百2T

JTJI

当X一时，fx取得最小值，则2-2kn—,kZ,

662

5n5n

则2kn----,kZ,不妨取k0,则fxsin2x

6T

5n5n好,

则fsin

12T2

故选：D.

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有

()

A.30种B.60种C120种D.240种

【答案】C

【解析】

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案

【详解】首先确定相同得读物，共有C*种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有A|

120种，

故选：C.

8.已知圆锥P0的底面半径为火，0为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，A0B120,若PAB的面

积等于纯，则该圆锥的体积为()

4

A.B.>/6C.3D.：入同

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

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【详解】在AOB中，AOB1200,而OA0B不，取AC中点C,连接oc,PC

，有

3,由PAB的面积为喧，得13PC

242

解得PC于是P0JPC2oc

22

所以圆锥的体积VinOAPOJn（V3）#-76n.

33

故选：B

9.已知ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，AABD为等边三角形,若二面角“为3,则

直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

1小2

A.-BcD.-

5-V55

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答

【详解】取AB的中点E，连接’，因为ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CEAB

又4ABD是等边三角形，则DEAB,从而CED为二面角CABD的平面角，即CED150

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显然平面CDE,于是AB平面CDE又AB平面ABC,

因此平面CDE平面ABC,显然平面CDE平面ABCCE,

直线CD平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,

从而DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB2,则CEIDE6,在CDE中，由余弦

定理得:

DECD立sinl50

由正弦定理得———---------,EPsinDCE忑

sinDCEsinCEDa犷

5

显然DCE是锐角，cosDCEJsin2DCE

2^/7,

所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为也.

5

故选：C

10.已知等差数列科的公差为号，集合Scosan|nN*，若。,则ab)

A.-1B.-C.0D.：

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理

作答.

【详解】依题意，等差数列｛aj中，an%（nD1n

33

显然函数ycos［丁⑸争］的周期为3,而nN

即cosan最多3个不同取值，又

{cosa,,|nN}{a,b},

则在cosapcosa2cosa3中，cosa,cosa2cosa3cosacosacosa

或

2

于是有coscos（今），即有（;）1Wk

2kn,kZ,解得knZ,

T

gcos[(kn?宗JI

所以kZ,abcos(kncos(kn二)coskncos2k兀cos—£

332

故选：B

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2

1L设A,B为双曲线（L-1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）

A.1,1B.J1,2）C.13i4

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据点差法分析可得kk9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断;

AB

对于C：结合双曲线的渐近线分析判断

【详解】设A为，y,BX"丫2，则AB的中点M受广,斗六，

yiy2

JJ-----------------JJ

可得KB-_—2—--~

Xix2XiX2

2

x；1

9

因为AB在双曲线上,则

y

1

2

9

y：飞

所以kk9

ABx：A

对于选项A：可得kLkAB9，则

y9x8

2

联立方程2y1，消去y得72x2272x730,

XV

此时2722472732880,

所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;

9

对于选项B：可得k2,k则AB:y

AB2

95

y-x-

22

联立方程2，消去y得45x2245X610,

y1

X2——1

9

此时245244561445160,

所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；

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对于选项C：可得k3kAB3AB:y3x

,则

由双曲线方程可得""""，则AB:y3x为双曲线的渐近线,

所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误：

997

对于选项D：k一，则AB:y-x一，

AB444

97

y—>

4了

联立方程2,消去y得63x2i26x1930,

2

x工1

9

此时12624531930,故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

12已知0的半径为1,直线PA与00

相切于点A,直线PB与交于B,C两点，D为BC的中点,

若|PO|a""PAPD-w〉')

1+&B.*

22

C.1QD.272

【答案】A

【解析】

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论利用平面向量的数量积定义可得

PAPD--sin2-，或PAPD--sin2-然后结合三角函数的性质即可确定

224224

PA

【详解】如图所示，|OA|1|OP|工■，则由题意可知：APO45,

由勾股定理可得PAOh1

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B

D

当点AD位于直线PO异侧时,设OPC,0T

心PAPD=PA||PDcos

4

1屈coscos

T

”in

>/2cos与。s

22

cos2sincos

1cos2lsin2

22

1

—sin2

224

0-----,则-2

44了了

JI;时，PA

当2PD有最大值1.

4

当点AD位于直线P0同侧时，设

OPC=,04

XU:PAPD=1PA||PDcos

4

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1屈COScos

T

纥。s

屈cos4

22

cos2sincos

1cos2，n2

22

£Ein

2

224

0则一2

4了~2

有最大值’,

当25时，PAPD

42

坪口人ppnuAxyvm/yj

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查

了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

二、填空题

13已知点A175的鲍线ay与px上，则A到c的准线的距离为

9

【答案】

4

【解析】

5

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x—，最后利

4

用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.

jyu

【详解】由题意可得：下22p1,则，抛物线的方程为y25x,

559

准线方程为x“点A到C的准线的距离为1--

9

故答案为：-

4

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x3y1

14.若x,y满足约束条件x2y9，则z2xy

的最大值为

3xy7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.

【详解】作出可行域如下图所示:

z2xy,移项得y2x

x3y1x5

联立有x,解得

2y9y2

设…“

,显然平移直线y2xz

使其经过点A,此时截距最小，则最大,

代入得z8,

8a

，贝iJ

7

【答案】2

【解析】

【分析】根据等比数列公式对a2a4a5a3a6化简得aq1,联立aa8求出：

19io2,最后得

5n

a7%qa，q乙.

【详解】设4的公比为qq0,则a2a4a5qqa0

,显然

232

则adq,即aiqq,则叫q1,E>aa9a108,贝gq8期98,

5333

则q829,则q2,则由gqq5q52,

15q

故答案为:2.

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16设aQI,若函数fxa*1a乂在“

上单调递增，则a的取值范围是_.

【答案】七一」

【解析】

【分析】原问题等价于fxaxIna1axIn1a0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形,

_„1aIna

可得------------a

aIn1a,由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实

数a的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得fxa*Ina1a*M1a0在区间Q上恒成立，

]a*Inq

on1axlnlaaxha,即--——--在区间Q上恒成立，

aIn1a

0

1q1nO

故——1--------，而a112,故In1a0

aIn1a

y/511

结合题意可得实数a的取值范围是七一，1.

-751,

故答案为：，1.

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验，每次配对试验选用材质

相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的

伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x‘y"

ii),试验结果如下

试验序号i12345678910

伸缩率升545533551522575544541568596548

伸缩率升536527543530560533522550576536

记4%y*L2,10),记z,马，…，z的样本平均数为之,样本方差为s2,

110

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⑴求，,s2;

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否

则不认为有显著提高).

【答案】(1)飞it,a61；

(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出工》，再得到所有的4值，最后计算出方差即可;

(2)根据公式计算出的值,和W比较大小即可.

【小问1详解】

545533551522575544541568596548广〜c

*-------------------------------------------------5523,

10

536527543530560533522550576536一，°

y-------------------------------------------------541.3,

10

Z*y552.3541.311,

4%y,的值分别为：9,6815^11,19,18.20^12

4.(9II)2(6II)2(8II)2(8II)2(15II)20(19II)2(18II)2(20II)2(12II)2

故s2----------------------------------------------------------------------------

10

【小问2详解】

由(1)知:Z11,2c2761故有彳

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

1&在ABC中，已知BAC120,AB2,二

(1)求sinABC；

(2)若D为BC上一点，月.BAD90,求4ADC的面积

【答案】C)叵;

14

⑵*

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【解析】

【分析】⑴首先由余弦定理求得边长BC的值为BCJ7,然后由余弦定理可得cosB最后由同

角三角函数基本关系可得sinB

△ABD,\

⑵由题意可得——4,则SAACD-S，据此即可求得4ADC的面积

OAACD5AABC

【小问1详解】

由余弦定理可得：

BC2a2b2d2bccosA

41221cos1207,

.-----FTL25旧

sinBDyjlcosB1-----

【小问2详解】

-ABADsin90

由三角形面积公式可得

1ACADsin30

2

则SAACD-S--21sinl20二

5AABC5210

19.如图，在三棱锥PABC中，ABBC,AB2,BC2正，PBPC的，BP,AP,BC的

中点分别为D,E,0,ADJ5D0,点F在AC上，BFAO.

(1)证明：EF//平面ADO:

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（2）证明：平面ADO平面BEF；

（3）求二面角DAOC的正弦值

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析;

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答

（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

（3）由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小问1详解】

连接DE,OF,设AFtAC,则BFBAAF(1t)BAtBC,-

AOBA2BCBFAO

则BFAO[(1t)BAtBC](BA区C)(t1)BA2IBC24(t1)4t0,

22

解得t则F为AC的中点，由D,E,0,F分别为PB,P\BC,AC

2的中点,

于是DE//AB,DE-AB,OF//AB,OF-AB,即DE//OF,DEOF，则四边形ODEF为平行

22

四边形,

EF//DO,EFDO,又EF平面ADO,DO平面ADO,

所以EF//平面ADO.

因此0D2AO2AD2(，贝iJODAO,有EFAO,

2

VU1,UL1UIjL-il

又，平面BEF,

则有AO平面BEF,又AO平面ADO,所以平面ADO平面BEF.

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【小问3详解】

过点。作OH//BF交AC于点H,设ADBEG,

由AOBF,得HOAO，且FH-AH,

3

又由（2）知，ODAO,则DOH为二面角DAOC的平面角,

因为D,E分别为PB,PA的中点，因此“为111.U

的重心，

-AD,GE1BE,又FH1Q

即有DG-AH,即有DH-GF,

3332

,315

4———

2246PA2

cosABD，解得PAJT7,同理得BE叵

22叵22.x/62

2

22

L亚5

于是BE?EF2BF23,即有BEEF,则2

3T*3

叵3岳业

从而GFDH

3232

BFg0D

i£AD0H中，OH1

22

6315_________

于是cosDOH）亳。冬，sinDOHt在叵,

2也此2V22

~2F1

C的正弦值为也.

所以二面角DA0

0的离心率为，点A20

在C上

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(2)过点23的直线交C于点P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN

的中点为定点

22

【答案】⑴工2Li

94

(2)证明见详解

【解析】

【分析】(1)根据题意列式求解abe,进而可得结果;

(2)设直线PQ的方程，进而可求点M,N的坐标，结合韦达定理验证产为定值即可.

【小问1详解】

b2a3

222

由题意可得abC,解得b

c耶C

e

a3

2

所以椭圆方程为2_

9

【小问2详解】

由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:ykx23PX]y,Q

x,y2

i2

ykx23

型216k23k0

联立方程y2X2,消去y得:9x8次3x

1

-91

则△64k22<32644k29K3c1728k0,解得k0,

8k316k23k

可得A4:一■，3忍

4k294k29

J

因为A20,则直线AP:yX)2X2

令x0,解得yBPM0,一二

Xi2Xi2

同理可得N

2

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2yl2y2

则Xi2八2“kx23k为23

2Xi2x22

取3当2期2<3?22kxiX24k35修42k3

X2%2xx2xx4

1212

32ki3k84k3又3

4卜94k'99

16k23k16k2k336

---------------------------------4

4k294k29

m以轨取rwujf,u、忠;EHMo

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关;

也可令系数等于零，得出定值；

(3)得出结论.

21.已知函数f(x)-aln(lx)

x.

(1)当a1时，求曲线yfx在点…1处的切线方程：

(2)是否存在a,b,使得曲线yf-关于直线xb对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理

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由.

(3)若,"在"

存在极值，求a的取值范围.

...±11乙AV111L.U

【答案】⑴；

(2)存在al,bL满足题意，理由见解析

22

(3)Q9

【解析】

【分析】⑴由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求

解切线方程即可；

⑵首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可

aaa,b是否正确即可；

得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的

⑶原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数gx=ax2xx1hx1,然后对函数求

导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a0,a:和0aJ三中情况即可求得实数a的取值

乙乙

范围.

【小问1详解】

当a1时，fx—1Inx1»

x

ric1111A±1

贝llfX-2~-1---，

XXX1

据此可得flQf1M2,

函数在If1期物线方程为y0ln2x1，

nin乙Ayin乙v

即.

【小问2详解】

由函数的解析式可得f，xaIn-1,

XX

1V1

函数的定义域满足一1——0,即函数的定义域为

XX

定义域关于直线XL对称，由题意可得b1,

22

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由对称性可知f，mf—mm—,

222

Q

取m2可得1'

f

2

Ul1

即。°”L则a12a，解得

2a2

L满足题意，故aLb1.

经检验a-,b

2222

即存在a-,bL满足题意.

22

【小问3详解】

由函数的解析式可得fx}Inx1!1

a

X1

v,

由fX在区间"存在极值点，则fX随间上存在变号零点;

111

令Inx1—a----0

Txx1

2

则x1Inx1xax0

令gx=ax2xx1Inx1

fx随:间“存在极值点，等价于gx幽间Q

上存在变号零点,

1

gx2axInx1,gx2a

0时，gx0Q

当a，gx在区间上单调递减,

此时gxg00,gX在区间上无零点，不合题意;

当a-,2a1时，由于」■一1,所以g"xQgx

Q