高考数学总复习第六章 不 等 式第3课时 基本不等式

考情分析考点新知掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.(必修5P91习题7改编)若x>0，则x＋eq\f(2,x)的最小值为________．答案：2eq\r(2)解析：∵x>0，∴x＋eq\f(2,x)≥2eq\r(x·\f(2,x))＝2eq\r(2)，当且仅当x＝eq\r(2)时等号成立．2.(必修5P94复习题8改编)设x<0，则y＝3－3x－eq\f(4,x)的最小值为________．答案：3＋4eq\r(3)解析：∵x<0，∴y＝3－3x－eq\f(4,x)＝3＋(－3x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))≥3＋2eq\r(（－3x）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝3＋4eq\r(3)，当且仅当x＝－eq\f(2\r(3),3)时等号成立，故所求最小值为3＋4eq\r(3).3.(必修5P88例2改编)若x>－3，则x＋eq\f(2,x＋3)的最小值为________．答案：2eq\r(2)－3解析：∵x＋3>0，∴x＋eq\f(2,x＋3)＝(x＋3)＋eq\f(2,x＋3)－3≥2eq\r(（x＋3）×\f(2,x＋3))－3＝2eq\r(2)－3.4.(必修5P91练习题2改编)设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是________．答案：18eq\r(3)解析：3x＋3y≥2eq\r(3x·3y)＝2eq\r(3x＋y)＝2eq\r(35)＝18eq\r(3)，当且仅当x＝y＝eq\f(5,2)时等号成立．5.(必修5P88例2改编)已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x－2)(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵函数f(x)＝x＋eq\f(a,x－2)(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a，∴a＝4.∵x－2>0，∴f(x)＝(x－2)＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(（x－2）·\f(4,x－2))＋2＝6，当且仅当x＝4时等号成立，故此函数的最小值是6.1.算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把eq\f(a＋b,2)称为a、b的算术平均数，eq\r(ab)称为a、b的几何平均数．2.基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号；(3)结论：两个非负数a，b的算术平均数不小于其几何平均数．3.拓展：若a＞0，b＞0，eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时等号成立．[备课札记]

题型1利用基本不等式证明不等式例1已知x>0，y>0，求证：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥eq\f(4,x＋y).证明：原不等式等价于(x＋y)2≥4xy，即(x－y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．eq\a\vs4\al(变式训练)(1)若a>b>c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)；(2)若a>b>c，求使得eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(k,a－c)恒成立的k的最大值．证明：(1)令a－b＝x，b－c＝y，则a－c＝x＋y.原不等式等价于eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥eq\f(4,x＋y)，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2)由(1)可知，eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)恒成立，而eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(k,a－c)，k的最大值为4.题型2利用基本不等式求最值例2(1)已知x<eq\f(5,4)，求函数y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；(2)已知x>0，y>0且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．解：(1)x<eq\f(5,4)，∴4x－5<0.∴y＝4x－5＋eq\f(1,4x－5)＋3＝－[(5－4x)＋eq\f(1,（5－4x）)]＋3≤－2eq\r(（5－4x）\f(1,（5－4x）))＋3＝1，ymax＝1.(2)∵x>0，y>0且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq\f(9x,y)＋eq\f(y,x)≥10＋2eq\r(\f(9x,y)·\f(y,x))＝16，即x＋y的最小值为16.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．解：(1)由a＝4，∴f(x)＝eq\f(x2＋2x＋4,x)＝x＋eq\f(4,x)＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，f(x)min＝6.(2)x∈[1，＋∞)，eq\f(x2＋2x＋a,x)>0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a>0恒成立．等价于a>－x2－2x，当x∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，∴a>g(x)max＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，＋∞)).题型3利用基本不等式解应用题例3如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围成36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若使每间虎笼的面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1)设每间虎笼长为xm，宽为ym，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4x＋6y＝36，,x>0，,y>0，)))面积S＝xy.由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，所以2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，当且仅当2x＝3y时取等号．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x＝3y,2x＋3y＝18)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3，)))所以每间虎笼长、宽分别为4.5m、3m时，可使面积最大．(2)设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm，则l＝4x＋6y，且xy＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥2×2eq\r(2x·3y)＝4eq\r(6xy)＝4×eq\r(6×24)＝48(m)，当且仅当2x＝3y时取等号．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(xy＝24,2x＝3y)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.)))故每间虎笼长、宽分别为6m、4m时，可使钢筋网的总长最小为48m.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的宽为xm，则长为eq\f(162,x)m.总造价为f(x)＝400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(162,x)))＋248×2x＋80×162＝1296x＋eq\f(1296×100,x)＋12960＝1296eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))＋12960≥1296×2eq\r(x·\f(100,x))＋12960＝38880元．当且仅当x＝eq\f(100,x)(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2m，宽为10m时总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤16，,0<\f(162,x)≤16，))∴10eq\f(1,8)≤x≤16.设g(x)＋x＋eq\f(100,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∴10\f(1,8)≤x≤16))，由函数性质易知g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10\f(1,8)，16))上是增函数，∴当x＝10eq\f(1,8)时(此时eq\f(162,x)＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10\f(1,8)＋\f(800,81)))＋12960＝38882(元)．∴当长为16m，宽为10eq\f(1,8)m时，总造价最低，为38882元．1.(2013·上海)设常数a>0，若9x＋eq\f(a2,x)≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))解析：9x＋eq\f(a2,x)≥2eq\r(9x·\f(a2,x))＝6a，所以6a≥a＋1，即a≥eq\f(1,5).2.已知正实数x、y、z满足2x(x＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z))＝yz，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,z)))的最小值为________．答案：eq\r(2)解析：∵2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,y)＋\f(1,z)))＝yz，∴eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(yz,2x)－x，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,z)))＝x2＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(1,z)))＋eq\f(1,yz)＝eq\f(yz,2)＋eq\f(1,yz)≥eq\r(2).3.已知P是△ABC的边BC上的任一点，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，x、y∈R，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是________．答案：9解析：因为B、C、P三点共线且eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，故x＞0，y＞0且x＋y＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9.4.若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x、y恒成立，则整数k的最大值为________．答案：3解析：原不等式可化为eq\f(4x,y)＋eq\f(9y,x)≥2k而eq\f(4x,y)＋eq\f(9y,x)≥12，∴2k≤12，则整数k的最大值为3.5.设正项等差数列{an}的前2011项和等于2011，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2010)的最小值为________．答案：2解析：由题意得S2011＝eq\f(2011（a1＋a2011）,2)＝2011，∴a1＋a2011＝2.又a2＋a2010＝a1＋a2011＝2，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2010)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,a2010)))(a2＋a2010)＝eq\f(1,2)(eq\f(a2010,a2)＋eq\f(a2,a2010))＋1≥2.1.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，而eq\f(a＋b,2)≥eq