高考数学总复习第十一章 计数原理、随机变量及分布列第2课时 排列与组合

考情分析考点新知近几年高考排列与组合在理科加试部分考查，今后将会结合概率统计进行命题，考查排列组合的基础知识、思维能力，以实际问题为背景，考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力，难度将不太大．①理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题.②以实际问题为背景，正确区分排列与组合，合理选用排列与组合公式进行解题.1.(选修23P17练习2改编)5人站成一排照相，共有________种不同的站法．答案：120解析：5人站成一排照相，相当于五个元素的一个全排列，所以共有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120种不同的站法．2.(选修23P18习题3改编)已知9！＝362880，那么Aeq\o\al(7,9)＝________________．答案：181440解析：9！＝Aeq\o\al(9,9)＝2Aeq\o\al(7,9)，所以Aeq\o\al(7,9)＝181440.3.(选修23P24习题7改编)从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有1名，则有________种不同选法．答案：120解析：Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)＝120.4.(选修23P24练习2改编)计算：Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,9)＝________．答案：210解析：原式＝Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,9)＝Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(6,9)＝Ceq\o\al(6,10)＝Ceq\o\al(4,10)＝210.5.有4张分别标有数字1、2、3、4的红色卡片和4张分别标有数字1、2、3、4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种．答案：432解析：分三类：第一类，4张卡片所标数字为1、2、3、4有24×Aeq\o\al(4,4)＝384种不同的排法；第二类，4张卡片所标数字为1、1、4、4有24种不同的排法；第三类，4张卡片所标数字为2、2、3、3有24种不同的排法．所以，共有384＋24＋24＝432种不同的排法．1.排列(1)排列的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．(3)排列数公式①当m＜n时，排列称为选排列，排列数为Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)；②当m＝n时，排列称为全排列，排列数为Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…3·2·1．上式右边是自然数1到n的连乘积，把它叫做n的阶乘，并用n！表示，于是Aeq\o\al(n,n)＝n！．进一步规定0！＝1，于是，Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f([n（n－1）…（n－m＋1）][（n－m）（n－m－1）…3·2·1],（n－m）（n－m－1）…3·2·1)＝eq\f(n！,（n－m）！)，即Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！).2.组合(1)组合的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．(3)组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)．规定：Ceq\o\al(0,n)＝1．(4)组合数的两个性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)．(5)区别排列与组合排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是前者要“顺序”，而后者却是“并成一组”．因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．

题型1排列与排列数例1用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：①奇数；②偶数；③大于3125的数．解：①先排个位，再排首位，共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝144个；②以0结尾的四位偶数有Aeq\o\al(3,5)，以2或4结尾的四位偶数有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)，共有Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝156个；③要比3125大，4、5作千位时有2Aeq\o\al(3,5)个；3作千位，2、4、5作百位时有3Aeq\o\al(2,4)个；3作千位1作百位时有2Aeq\o\al(1,3)个，所以共有2Aeq\o\al(3,5)＋3Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＝162个．eq\a\vs4\al(变式训练)用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解：(解法1)用分步计数原理：所求的三位数的个数是Aeq\o\al(1,9)·Aeq\o\al(2,9)＝9×9×8＝648.(解法2)从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为Aeq\o\al(3,10)，其中以0为排头的排列数为Aeq\o\al(2,9)，因此符合条件的三位数的个数是Aeq\o\al(3,10)－Aeq\o\al(2,9)＝648.题型2组合与组合数例2一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？解：(1)将取出4个球分成三类情况：第一类：取4个红球，没有白球，有Ceq\o\al(4,4)种；第二类：取3个红球1个白球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)种；第三类：取2个红球2个白球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)种．∴Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝115种．(2)设取x个红球，y个白球，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5（0≤x≤4），,2x＋y≥7（0≤y≤6），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1，))符合条件的取法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝186种．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)有6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？解：分三类：若取1个黑球，和另三个球排4个位置，有Aeq\o\al(4,4)＝24；若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)＝12；所以有24＋36＋12＝72种．题型3组合数的性质例3(1)化简：1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！；(2)化简：eq\f(1,2！)＋eq\f(2,3！)＋eq\f(3,4！)＋…＋eq\f(n－1,n！)；(3)解方程：Ceq\o\al(x＋1,13)＝Ceq\o\al(2x－3,13)；(4)解方程：Ceq\o\al(x－2,x＋2)＋Ceq\o\al(x－3,x＋2)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3).解：(1)由阶乘的性质知n×n！＝(n＋1)！－n！，所以，原式＝(n＋1)！－1.(2)原式＝1！－eq\f(1,2！)＋eq\f(1,2！)－eq\f(1,3！)＋eq\f(1,3！)－eq\f(1,4！)＋…＋eq\f(1,（n－1）！)－eq\f(1,n！)＝1－eq\f(1,n！).(3)由原方程得x＋1＝2x－3，或x＋1＋2x－3＝13，∴x＝4或x＝5，又由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x＋1≤13，,1≤2x－3≤13，,x∈N*，))得2≤x≤8且x∈N*，∴原方程的解为x＝4或x＝5.(4)原方程可化为Ceq\o\al(x－2,x＋3)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3)，即Ceq\o\al(5,x＋3)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3)，∴eq\f(（x＋3）！,5！（x－2）！)＝eq\f(（x＋3）！,10·x！)，∴eq\f(1,120（x－2）！)＝eq\f(1,10·x（x－1）·（x－2）！)，∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3.经检验：x＝4是原方程的解．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)设x∈N＋，求Ceq\o\al(x－1,2x－3)＋Ceq\o\al(2x－3,x＋1)的值．解：由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3≥x－1，,x＋1≥2x－3，))解得2≤x≤4.∵x∈N＋，∴x＝2或x＝3或x＝4.当x＝2时原式值为4；当x＝3时原式值为7；当x＝4时原式值为11.∴所求值为4或7或11.eq\a\vs4\al(变式训练)规定Ceq\o\al(m,x)＝eq\f(x（x－1）·…·（x－m＋1）,m！)，其中x∈R，m是正整数，且Ceq\o\al(0,x)＝1这是组合数Ceq\o\al(m,n)(n、m是正整数，且m≤n)的一种推广．(1)求Ceq\o\al(5,－15)的值；(2)组合数的两个性质：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)是否都能推广到Ceq\o\al(m,x)(x∈R，m∈N*)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；(3)已知组合数Ceq\o\al(m,n)是正整数，求证：当x∈Z，m是正整数时，Ceq\o\al(m,x)∈Z.(1)解：Ceq\o\al(5,－15)＝eq\f(（－15）（－16）…（－19）,5！)＝－Ceq\o\al(5,19)＝－11628.(2)解：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)不能推广，例如x＝eq\r(2)时，有定义，但无意义；Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)能推广，它的推广形式为Ceq\o\al(m,x)＋Ceq\o\al(m－1,x)＝Ceq\o\al(m,x＋1)，x∈R，m∈N*.证明如下：当m＝1时，有Ceq\o\al(1,x)＋Ceq\o\al(0,x)＝x＋1＝Ceq\o\al(1,x＋1)；当m≥2时，有Ceq\o\al(m,x)＋Ceq\o\al(m－1,x)＝eq\f(x（x－1）…（x－m＋1）,m！)＋eq\f(x（x－1）…（x－m＋2）,（m－1）！)＝eq\f(x（x－1）…（x－m＋2）,（m－1）！)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－m＋1,m)＋1))＝eq\f(x（x－1）…（x－m＋2）（x＋1）,m！)＝Ceq\o\al(m,x＋1).(3)证明：当x≥0时，组合数Ceq\o\al(m,x)∈Z；当x<0时，∵－x＋m－1>0，∴Ceq\o\al(m,x)＝eq\f(x（x－1）…（x－m＋1）,m！)＝(－1)meq\f(（－x＋m－1）…（－x＋1）（－x）,m！)＝(－1)mCeq\o\al(m,－x＋m－1)∈Z.1.(2013·浙江)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A、B在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)答案：480解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有Aeq\o\al(5,5)；当C在左边第2个位置时Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)，当C在左边第3个位置时，有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有480种．2.(2013·重庆理)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)答案：590解析：骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，则名额分配为：1，1，3；1，3，1；3，1，1或1，2，2；2，1，2；2，2，1.所以共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝590.3.(2013·北京理)将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案：96解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×Aeq\o\al(4,4)＝96种．4.(2013·大纲版理)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)答案：480解析：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有Aeq\o\al(4,4)种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有Aeq\o\al(2,5)种方法，所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)＝480.1.用1、2、3、4、5、6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．(用数字作答)答案：40解析：由题先排除1和2的剩余4个元素有2Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝8种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有Aeq\o\al(1,5)种插法，∴不同的安排方案共有2Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(1,5)＝40种．2.有4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有_________种．(用数字作答)答案：144解析：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球．因此可先将球分成3堆(一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”)，然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144种．3.某校现有男、女学生党员共8人，学校党委从这8人中选男生2人、女生1人分别担任学生党支部的支部书记、组织委员、宣传委员，共有90种不同方案，那么这8人中男、女学生的人数分别是________、______．答案：35