专题13.2线段的垂直平分线专题（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题13.2线段的垂直平分线专题（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝AE＝4，结合图形计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE＝4，∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，故选：B．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2．（2022秋•东宝区期末）和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．此点称为外心，也是这个三角形外接圆的圆心．），难度一般．3．（2022秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BN＝AN，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴BN＝AN，∵BC+CN+BN＝7，∴BC+AN+CN＝7，即BC+AC＝7，∴BC＝3cm，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4．（2022秋•长安区校级期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（）A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，∴充电桩应该在△ABC三条边的垂直平分线的交点处，故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．（2023秋•青秀区校级月考）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是（）A．2∠BOC+∠BPC＝360° B．∠BOC+2∠BPC＝360° C．3∠BOC﹣∠BPC＝360° D．4∠BPC﹣∠BOC＝360°【答案】D【分析】连接AO，根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB＝OC，得到∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，进而得到∠BOC＝2∠BAC，得到答案．【解答】解：如图，连接AO，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12＝180°-12（180°﹣∠＝90°+12∠BAC，即∠BAC＝2∠BPC﹣∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC）＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC，∴∠BOC＝4∠BPC﹣360°，∴4∠BPC﹣∠BOC＝360°，故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．（2022秋•汉南区校级期末）如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度数为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（）A．x+y＝90° B．x﹣2y＝90° C．x+180°＝2y D．4y﹣x＝360°【答案】D【分析】根据三角形外心和内心的性质即可得到结论．【解答】解：∵O为三条边的垂直平分线的交点，∴点O为△ABC的外心，∴x＝2∠A，∵I为三个角的平分线的交点，∴点I是△ABC的内心，∴y＝90°-12∴y＝90°+14∴4y﹣x＝360°，故选：D．【点评】本题考查了三角形的外心和内心，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确的理解题意是解题的关键．7．（2022秋•东阿县校级期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠OEB＝46°，则∠AOC＝（）A．92° B．88° C．46° D．86°【答案】B【分析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．【解答】解：连接BO，并延长BO到P，∵∠OEB＝46°，∴∠1＝90°﹣∠OEB＝44°．∵线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BFO＝∠BDO＝90°，∴∠DOF+∠ABC＝180°，∵∠DOF+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝44°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×44°＝88°．故选：B．【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（2022春•雅安期末）如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（）A．105° B．100° C．110° D．140°【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝EC，从而可得∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，然后利用三角形内角和定理可得2∠BAD+2∠EAC＝180°﹣∠DAE，进行计算即可解答．【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝DB，AE＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠B+∠BAD+∠DAE+∠EAC+∠C＝180°，∵∠DAE＝40°，∴2∠BAD+2∠EAC＝180°﹣∠DAE，∴∠BAD+∠EAC＝70°，∴∠BAC＝110°，故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．9．（2022春•舞钢市期末）如图，四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则以下结论不正确的是（）A．AD＝CD B．∠B＝∠A+∠C C．∠EDF＝∠ADE+∠CDF D．BE＝BF【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，BD＝DC，即可判断A，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABD，∠DBC＝∠C，即可判断B，根据等腰三角形的三线合一性质即可判断C，根据线段中点的定义即可判断D，即可解答．【解答】解：连接BD，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∵DF垂直平分BC，∴BD＝DC，∴AD＝DC，故A不符合题意；B、∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＝∠A+∠C，故B不符合题意；∵AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠BDE，∵BD＝DC，DF⊥BC，∴∠BDF＝∠CDF，∵∠EDF＝∠BDE+∠BDF，∴∠EDF＝∠ADE+∠CDF，故C不符合题意；∵AE＝BE=12AB，BF＝CF=12BC，∴BE≠BF，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．10．（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，边AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】D【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，GA＝GC，再利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠EAB，∠C＝∠GAC，接着利用三角形内角和定理得到∠B+∠C＝100°，然后利用∠EAB+∠GAC＝∠BAC+∠GAE＝∠B+∠C可计算出∠GAE的度数．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠B＝∠EAB，∵GF垂直平分AC，∴GA＝GC，∴∠C＝∠GAC，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∵∠EAB+∠GAC＝∠BAC+∠GAE＝∠B+∠C，∴80°+∠GAE＝100°，∴∠GAE＝20°．故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•句容市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长6．【答案】6．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝AE＝4，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EB＝AE＝4，∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12．（2022秋•德城区校级期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝24°．【答案】24．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据三角形内角和定理列式计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠FAE＝19°，∴∠FAC＝∠C+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠FAC＝∠C+19°，则∠C+19°+∠C+19°+∠C+70°＝180°，解得：∠C＝24°，故答案为：24．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．13．（2023春•甘州区校级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与AC，BC分别交于点E，D，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为17．【答案】17．【分析】由线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2CE＝8，由△ABC的周长＝25，得到AB+BC＝17，即可得到△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝17．【解答】解：∵DE垂直平分线AC，∴DA＝DC，AC＝2CE，∵CE＝4，∴AC＝8∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝25，∴AB+BC＝17，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝17．故答案为：17．【点评】本题考查线段垂直平分的性质，关键是由垂直平分的性质推出AB+BC＝17．14．（2023春•荔湾区期末）在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，4），作AB的垂直平分线交x轴于点C，则点C坐标为（3，0）．【答案】（3，0）．【分析】连接BC，设OC＝x，由A（8，0），B（0，4），得到OA＝8，OB＝4，由CD垂直平分AB，得到BC＝AC＝8﹣x，由勾股定理得到（8﹣x）2＝42+x2，求出x＝3，即可得到C的坐标是（3，0）．【解答】解：连接BC，设OC＝x，∵A（8，0），B（0，4），∴OA＝8，OB＝4，∵CD垂直平分AB，∴BC＝AC＝8﹣x，∵BC2＝OB2+OC2，∴（8﹣x）2＝42+x2，∴x＝3，∴OC＝3，∴C的坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查线段垂直平分的性质，勾股定理，关键是由线段垂直平分线的性质得到BC＝AC，由勾股定理列出关于OC的方程．15．（2023春•振兴区校级期中）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝39．​【答案】39．【分析】连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE＝BE，ER＝EF，根据全等求出∠RCE＝∠EBF，求出∠ACB＝∠QED＝26°，求出∠BED＝∠CED＝65°，求出∠REF的度数，再求出∠CAB，求出∠CAE，根据三角形的外角性质求出∠DOE，再求出答案即可．【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，∵DE是线段BC的中垂线，∴∠EDC＝90°，CE＝BE，∴∠ECB＝∠EBD，∵∠EBD＝25°，∴∠ECB＝25°，∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，∵ER⊥AC，ED⊥BC，∴∠QRC＝∠QDE＝90°，∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，∵∠CQR＝∠EQD，∴∠ACB＝∠QED，∵∠ACB＝26°，∴∠QED＝26°，∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，∴ER＝EF，在Rt△ERC和Rt△EFB中，CE=BEER=EF∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，∵∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，∵∠ARE＝∠AFE＝90°，∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∵AE平分∠CAM，∴∠CAE=12∠CAM∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，故答案为：39．【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．16．（2023春•振兴区校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为6cm．【答案】6cm．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，OA＝OB，EA＝EC，OA＝OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵OM、ON分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA＝DB，OA＝OB，EA＝EC，OA＝OC，∵△ADE的周长为11cm，∴AD+DE+EA＝11cm，∴BD+DE+EC＝11cm，即BC＝11cm，∵△OBC的周长为23cm，∴OB+BC+OC＝23cm，∴OB+OC＝23﹣11＝12（cm），∴OA＝6cm，故答案为：6cm．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键．三．解答题（共7小题）17．（2023•渭南一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．【解答】证明：设AD、EF的交点为K，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF．∵AD是△ABC的角平分线∴AD是线段EF的垂直平分线．【点评】找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．18．（2022春•合浦县期中）如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线．【答案】见解析．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是△ABC的角平分线．【解答】证明：∵AD垂直平分EF，∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线．【点评】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键．19．（2023春•新民市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．20．（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．（1）若BC＝9，求△AEG的周长．（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．【答案】（1）9；（2）80°．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝50°，根据等腰三角形的性质得到∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，计算即可．【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，∴EA＝EB，GA＝GC，∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9；（2）∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，∵EA＝EB，GA＝GC，∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．21．（2023春•榆林期末）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，连接AE，作AD⊥BC于点D，且D为BE的中点．（1）试说明：AB＝CE；（2）若∠C＝32°，求∠BAC的度数．【答案】（1）见解析；（2）84°．【分析】（1）根据等腰三角形的判定得出AB＝AE，根据垂直平分线的性质得出AE＝CE，等量代换即可得出结论；（2）根据等边对等角得出∠C＝∠EAC＝32°，再根据三角形的外角的性质得出∠AEB＝∠C+∠EAC＝64°，再根据等边对等角得出∠B＝∠AEB＝64°，根据三角形内角和定理得出∠BAE＝52°，进而得出答案．【解答】（1）证明：∵D为BE的中点，∴BD＝DE，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∵EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴AB＝CE；（2）解：∵∠C＝32°，AE＝CE，∴∠C＝∠EAC＝32°，∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝64°，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝52°+32°＝84°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，正