江苏省常州市四校2023-2024学年高一上学期期中质量调研数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省常州市四校2023-2024学年高一上学期期中质量调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，解得且，所以函数的定义域为.故选：C.2.已知全集，集合或，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得：，.故选：D.3.化简后的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.4.的一个充分不必要条件是（）A.或 B. C. D.【答案】B【解析】由，得或，显然能推出，但不一定能推出，选项CD都推不出，选项A能推出，也能推出或.故选：B.5.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，排除BC，又当时，，当时，，故A正确，D错误.故选：A.6.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为关于的不等式在区间上有解，所以在区间上有解，设，，其中在区间上单调递减，所以有最大值为，所以实数的取值范围是．故选：C．7.已知偶函数满足：对任意的，都有成立，则满足的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，时，函数单调递增，且函数是偶函数，，，，解得.故选：A.8.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A.，， B.C.，， D.，，【答案】C【解析】根据题意，函数，若在区间上单调递减，必有，解可得：或，即的取值范围为，，，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】BC【解析】由得到，则，即，整理得，解得或，当时，，则当时，，则.故选：BC.10.下列说法正确的是（）A.若正数满足，则的最小值为B.已知，则的最小值为C.已知，则的最小值为D.函数的最小值是【答案】ABC【解析】对于A，由可得，，即，解得，，当且仅当时，取等号，即的最小值为，故A正确；对于B，，当且仅当时，取等号，即的最小值为，故B正确；对于C，，令，则，当且仅当时，取等号，故C正确；对于D，令，则，当且仅当时，取等号，但，即，故D错误.故选：ABC.11.如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”.下列函数是“交汇函数”的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由交汇函数定义可知交汇函数表示函数定义域与值域交集为，对于选项A：的定义域，值域，则，A正确；对于选项B：的定义域，令，则，值域，则，B正确；对于选项C：，∵，∴，∴，定义域，值域，则，C错误；对于选项D：的定义域，，∵，∴，则，∴，值域，则，D错误.故选：AB．12.某同学在研究函数性质时，给出下面几个结论，其中正确的结论有（）A.函数图象关于点对称 B.若，则C.函数的值域为 D.函数有三个零点【答案】ACD【解析】因为函数的定义域为全体实数，，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；当时，，显然函数单调递增，此时，当时，，显然函数单调递增，此时，因此函数在上是单调递增的，值域为，因此B错误，C正确；由或或，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每题5分，（16题第一空2分，第2空3分）共20分．13.设集合，，，集合M的真子集的个数为_____．【答案】15【解析】集合，，而，则，所以集合M真子集的个数为.故答案为：15.14.已知函数，则的值为______．【答案】1【解析】由题意可得：.故答案为：1.15.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____．【答案】【解析】因为定义在的奇函数在单调递减，且，所以在上单调递减，且，如下图为的大致图象：所以当或时，；当或时，，由得或，解得或，所以的取值范围是．故答案为：.16.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为_____________；的值为_____．【答案】【解析】令，因为为奇函数，所以，即，解得，所以函数图象的对称中心为；所以，即，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式，写出演算过程.（1）；（2）解：（1）原式.（2）原式.18.已知集合，，.（1）当时，是的充分条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）因为，，又因为，所以，因为是的充分条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为：.（2）由（1）或，又因为，所以当时，有，解得；当时，或，或或解得或或或，综上所述，实数的取值范围为.19.已知函数为奇函数．（1）当时，判断的单调性并证明；（2）解不等式．解：（1）的定义域为，因为为奇函数，所以对于，都有成立，，则，整理，得，上式对恒成立，故，，在上为增函数，证明如下：设，且，，因为，所以，，，所以，即，可得，所以在上单调递增．（2），即，因为，，且函数在上单调递增，所以，解得，所以的解集是．20.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?解：（1）由已知.（2）由（1）得，即由二次函数的单调性可知，当时，，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取得最大值，综上，当时取得最大利润，最大利润为480元.21.已知函数.（1）解关于的不等式；（2）当时，对，都有恒成立，求实数的取值范围.解：（1），∴当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.（2）因为，所以，因为对，都有恒成立，所以，当时，即时，，，所以，所以，故，当时，，，所以，故，当时，，，所以，故，当时，，，由可得，故，所以.22.已知函数.（1）当，且时，求的值；（2）是否存在实数a、，使得函数的定义域、值域都是.若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由；（3）若存在实数a、使得函数的定义域为时，值域为，求实数m的范围.解：（1）∵由已知可得，∴在上为减函数，在上为增函数，由且，可得且，得.（2）若存在满足条件的实数a、b，则，①当a，时，在上为减函数，故，即，解得，故此时不存在符合条件的实数a、b，②当a，时，在上是增函数，故，即，又，此时，a、b是方程的根，此方程无实根，故此时不存在符合条件的实数a、b，③当，时，由于，而，故此时不存在符合条件的实数a、b，综上可知，不存在符合条件的实数a、b