专题11.2三角形的内角和定理（限时满分培优测试）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】（解析版）

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】专题11.2三角形的内角和定理（限时满分培优测试）班级：_____________姓名：_____________得分：_____________本试卷满分100分，建议时间：30分钟.试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．试题包含基础题、易错题、培优题、压轴题、创新题等类型，没有标记的为基础过关性题目.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•太康县期末）在△ABC中∠A＝10°，∠B＝60°，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．【解答】解：∵∠A＝10°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣10°﹣60°＝110°，∴△ABC是钝角三角形．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．2．（2023春•宿迁期中）一个三角形三个内角的度数之比是2：3：5，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，再判断三角形的形状．【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，5k°．根据三角形内角和定理可知2k°+3k°+5k°＝180°，得k°＝18°，所以2k°＝36°，3k°＝54°，5k°＝90°．即这个三角形是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键．3．（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（）​A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】先根据在直角三角形中，两锐角互余得出∠A＝40°，根据DF∥EB，∠D＝70°，得到∠D＝∠CEB＝70°，再根据三角形外角的性质，即可得出∠ACD的度数．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵DF∥EB，∠D＝70°，∴∠D＝∠CEB＝70°，∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，外角的性质，掌握三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质是解题的关键．4．（2023春•亭湖区期中）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（）A．20° B．30° C．18° D．15°【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ACB的度数，结合角平分线的定义，可求出∠BCE的度数，由CD⊥AB，可得出∠ADB＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠BCD的度数，再将其代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD中，即可求出∠DCE度数．【解答】解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣25°﹣65°＝90°．∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠BCE=12∠ACB=12∵CD⊥AB，∴∠ADB＝90°，∴∠BCD＝90°，∠B＝90°﹣65°＝25°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝45°﹣25°＝20°．故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．5．（2023春•原阳县月考）如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H．若∠A＝70°，则∠BHC的度数是（）A．60° B．90° C．110° D．125°【分析】先利用角平分线的性质说明∠ABD与∠ABC、∠ACE与∠ACB间关系，再利用外角与内角关系、三角形的内角和定理得结论．【解答】解：∵BD，CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠BHC＝∠BDC+∠ACE＝∠A+∠ABD+∠ACE＝∠A+12∠ABC+=12∠A+12∠ABC+=12（∠A+∠ABC+∠ACB）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝70°，∴∠BHC=12×180°＝90°+35°＝125°．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形外角与内角的关系及三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键．6．（2023春•南京期末）如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由平角的定义可得∠5＝180°﹣（∠1+∠2），∠6＝180°﹣（∠3+∠4），再由三角形的内角和可得∠2+∠3＝110°，再利用三角形的内角和即可求∠β．【解答】解：如图，由题意得：∠5＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣2∠3，∵∠α＝70°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，∵∠β＝180°﹣（∠5+∠6）∴∠β＝180°﹣（180°﹣2∠2+180°﹣2∠3）＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2×110°﹣180°＝220°﹣180°＝40°．故选：C．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．7．（2023•中原区三模）物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜被为Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝13°，小木块△DEF在斜坡AB上，且DE∥BC，EF∥AC，则∠DFE的度数为（）A．13° B．77° C．87° D．63°【分析】由三角形的内角和可得∠A＝77°，再由平行线的性质即可求∠DFE的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝13°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝77°，∵EF∥AC，∴∠DFE＝∠A＝77°．故选：B．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解答的关键是明确三角形的内角和为180°，熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．8．（2023•大庆三模）如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（）A．22° B．25° C．28° D．30°【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义得到12∠CAD+∠P=12∠CBD+∠C，12∠CAD+∠D=12【解答】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，∴∠PAC=12∠CAD，∠PBC=1∴12∠CAD+∠P=12∠CBD+∠同理：12∠CAD+∠D=12∠CBD+∠①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，整理得，2∠P＝∠D+∠C，∠P=∠D+∠C2故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．9．（2023•碑林区校级二模）如图，将一副直角三角板重叠摆放，其中∠B＝30°，∠CDE＝45°，且DE⊥AB于点D，交BC点F，则∠DCF的度数为（）A．75° B．55° C．35° D．15°【分析】由三角形的内角和可求得∠BFD＝60°，再利用三角形的外角性质即可求∠DCF的度数．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠BDF＝90°，∵∠B＝30°，∴∠BFD＝180°﹣∠BDF﹣∠B＝60°，∵∠CDE＝45°，∠BFD是△CDF的外角，∴∠DCF＝∠BFD﹣∠CDE＝15°．故选：D．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．10．（2023春•盐城月考）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（）A．变大 B．变小 C．等于55° D．等于35°【分析】根据角平分线的性质可知∠EMN=12∠AMN，∠MNF=12∠LMNO，根据外角的定义：∠AMN＝∠AOB+∠MNO，即∠EMN＝35°+∠MNF，∠EMN＝∠F+【解答】解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠EMN=12∠AMN，∠MNF=1根据外角的定义：∠AMN＝∠AOB+∠MNO，∴∠AMN=12∠AOB+∵∠AOB＝70°，∴∠EMN=12×70°+∠MNF＝35°+根据外角的定义：∠EMN＝∠F+∠MNF，∴∠F＝35°，故选：D．【点评】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练应用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春•市北区期末）满足条件∠A＝2∠B＝2∠C的△ABC，它最大的角的度数是90°，因此这是一个等腰直角三角形．【分析】根据三角形内角和定理可求出三个内角的度数，进而判定三角形的形状．【解答】解：设∠C＝x°，则∠B＝x°，∠A＝2x°，由题意得，x+x+2x＝180，解得x＝45，∴∠B＝∠C＝45°，∠A＝90°，∴最大的内角为90°，它是一个等腰直角三角形，故答案为：90°，等腰直角．【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是正确解答的前提．12．（2023春•普陀区期末）如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，如果∠A＝70°，那么∠BDC＝125°．【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解．【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°．∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，∴∠DBC+∠DCB=12∠DBC+12∠∴∠BDC＝125°．故答案为：125．【点评】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和是180度，比较简单．13．（2023•娄底模拟）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为80°．【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ADE的度数，由折叠的性质可得出∠FDE的度数，再结合平角等于180°，即可求出∠BDF的度数．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．由折叠的性质可知：∠FDE＝∠ADE＝50°，∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠FDE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查了平行线的性质以及翻转变换（折叠问题），牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．14．（2023春•礼泉县期中）如图，在三角形ABC中，点E、点G分别是边AB、AC上的点，点F、点D是边BC上的点，连接EF、AD和DG，DG是∠ADC的角平分线，AB∥DG，若∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，则∠EFC的度数为70°．​​【分析】利用“两直线平行，内错角相等”得到∠1＝∠BAD，由∠1+∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”得到AD∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”得到∠EFC＝∠ADC，再由∠2＝145°，即可求解．【解答】解：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF，∴∠EFC＝∠ADC，∵∠2＝145°，∴∠1＝∠BAD＝35°，又∵DG是∠ADC的角平分线，∴∠ADC＝2∠1＝70°，∴∠EFC＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的判定与性质与角平分线的定义，根据各个角之间的关系，求出∠1的度数是解题的关键．15．（2023•南岗区三模）已知：在△ABC中，∠BAC＝120°，∠C＝40°，点E在边BC上，连接AE，若△AEC是直角三角形，则∠BAE的大小为30或70度．【分析】分两种情况讨论：①∠CAE2＝90°；②∠CE1A＝90°，再结合三角形的内角和定理进行求解即可．【解答】解：如图，∵△AEC是直角三角形，∠BAC＝120°，∠C＝40°，∴当∠CAE2＝90°时，∠BAE2＝∠BAC﹣∠CAE2＝30°；当∠CE1A＝90°时，∠CAE1＝180°﹣∠C﹣∠CEA1＝50°，则∠BAE1＝∠BAC﹣∠CAE1＝70°．故答案为：30或70．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确△AEC中直角的位置．16．（2023•石家庄模拟）我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°40°35°的三角形是“和谐三角形”．概念理解：如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线，交线段OB于点C（点C不与O，B重合），则∠ABO的度数为30°，△AOB是（选填“是”或“不是”）“和谐三角形”．【分析】根据垂直的定义以及三角形内角和定理即可求出∠ABO的度数，根据△AOB的各个内角度数以及“和谐三角形”的定义进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∵∠MON＝60°，∴∠ABO＝180°﹣90°﹣60°＝30°，在△AOB中，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，即∠OAB＝3∠ABO，∴△AOB是“和谐三角形”，故答案为：30°，是．【点评】本题考查垂直的定义，三角形内角和定理以及“和谐三角形”的定义，理解“和谐三角形”的定义以及垂直的定义、三角形内角和定理是正确解答的前提．三．解答题（共9小题）17．在△ABC中，如果∠A=12∠B=12∠C，求∠A，∠【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A+2∠A+2∠A＝180°，求出∠A＝36°，即可得出∠B＝∠C＝72°．【解答】解：∵∠A=12∠B=1∴∠B＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，解得：∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°．【点评】本题考查了三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．请选择一种方法证明△ABC内角和为180°．（画图，写证明过程）【分析】可过三角形的一个顶点作另一边的平行线，把三个内角转移到该顶点处构成平角，证得结论．【解答】定理：三角形内角和为180°．已知：在△ABC中，求证：∠A+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作MN∥BC，则∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC（两直线平行，内错角相等），∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换）．【点评】本题主要考查三角形内角和定理的证明，利用平行线的性质把三个内角平移到一个顶点处构成一个平角是解题的关键．19．（2022秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠ABD的度数．【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得∠A的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABD的度数．【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．又∵BD是AC边上的高，则∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．20．（2022秋•咸阳校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADC及∠ADE的度数．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，进而根据直角三角形的锐角互余求出∠ADE即可．【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝58°，∴∠BAC＝180°﹣42°﹣58°＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝180°﹣40°﹣58°＝82°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAC＝50°．【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°、角平分线的定义是解题的关键．21．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC．若∠ABC＝70°，∠DAC＝50°．求：∠AEB的度数．【分析】由三角形的高的定义可得∠ADC＝90°，进而可得∠C＝90°﹣∠DAC＝40°，根据角平分线的定义可得∠EBC=12∠ABC=35°，最后根据三角形外角的性质可得∠AEB＝∠EBC+∠C【解答】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，∠C＝90°﹣∠DAC＝90°﹣50°＝40°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=1∴∠AEB＝∠EBC+∠C＝35°+40°＝75°．【点评】本题考查三角形的角平分线、高，三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是掌握三角形角平分线和高的定义，牢记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．22．（2022春•绍兴期中）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE∥BC．（1）求证：∠3＝∠B：（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠1，求∠B的度数．【分析】（1）利用平行线的判定和性质一一判断即可．（2）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质、对顶角的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B∴∠3＝∠B．（2）解：∵∠2＝2∠1，∠1+∠2＝180°，∴3∠1＝180°，∴∠1＝60°，∠2＝120°，∴∠ADC＝180°﹣∠2＝180°﹣120°＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC=12∠ADC＝∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝30°．【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（2023春•徐州期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝α．过AC边上的点D作DE⊥BC，垂足为点E．BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．（1）如图1，若α＝90°，点G在边BC上且不与点B重合．①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若0°＜α＜90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含α的代数式表示∠H，并说明理由；（3）如图3，若0°＜α＜90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含α的代数式表示∠BMD，则∠BMD＝135°+12α【分析】（1）①利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答，②利用角的关系可证明BF与GD的位置关系；（2）和（3）均利用角平分线的性质