广东省汕头市2024届高三上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省汕头市2024届高三上学期期中数学试题一､选择题1.已知全集，能表示集合与关系的Venn图是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，又，所以，所以，，，根据选项的Venn图可知选项D符合.故选：D.2.已知复数与复数都是纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，，由题意可得,解得，所以.故选：D.3.设，则有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，因为在时单调递增，所以，即.故选：C.4.为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（）A.77 B.78 C.76 D.80【答案】A【解析】因共10个数据，则，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数，即.故选：A.5.已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，点在线段上（不包括端点），故存在，使得，即，即，因为向量，所以，可得，，，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立.故选：C．6.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（）A.3 B.4 C. D.6【答案】B【解析】在图1中的几何体中，水的体积为，在图2的几何体中，水的体积为，因为，可得，解得.故选：B.7.已知函数图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知，图2中的图象是将图1中的图象纵坐标不变，横坐标先缩短，再向右平移个单位得到的.所以对应的解析式为.故选：D.8.设，若函数在递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数在递增，所以在上恒成立，则，即在上恒成立，由函数单调递增得，又，所以，所以，所以即，解得，所以的取值范围是.故选：B二､多选题9.设为两个互斥的事件，且，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为为两个互斥的事件，且，所以,即，故A正确，B错误；因为为两个互斥的事件，不一定为对立事件，所以也不一定为对立事件，故不一定为1，故C错误；因为为两个互斥的事件，所以，故D正确，故选：AD.10.已知圆，点是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（）A.圆上恰有一个点到的距离为 B.直线恒过定点C.的最小值是 D.四边形面积的最小值为2【答案】BC【解析】圆心，半径，对A，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线距离得最小值为，圆上的点到直线距离得最大值为，所以圆上恰有两个点到的距离为，A错误；对B，设，由题意可知，都在以为直径的圆上，又，所以为直径的圆的方程为，整理得，，联立可得，，即为直线的方程，即令，解得，所以直线恒过定点，B正确；对C，因为直线恒过定点，当定点与圆心连线垂直于时，圆心到直线的距离最大，则最小，定点与圆心之间的距离为，所以，C正确；对D，四边形的面积为,根据切线长公式可得，，当最小时，最小，，所以最小值为1，即四边形面积的最小值为1，D错误；故选:BC.11.如图，在长方体中，分别为棱中点，则下列结论正确的是（）A.平面B.⊥平面C.异面直线CN和AB所成角的余弦值为D.若P为线段上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值【答案】AD【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则，对于A，因为所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：，设平面的法向量为，则即令，则所以平面的一个法向量为因为与不平行，所以⊥平面不成立，故B错误；对于C：设异面直线CN和AB所成的角为，则，故C错误；对于D，设，所以，又平面的一个法向量为所以点P到平面的距离不是定值.故D正确.故选：AD.12.对于函数，则下列结论正确的是（）A.是的一个周期 B.在上有3个零点C.的最大值为 D.在上是增函数【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以是的一个周期，A正确；对于B，当，时，，即，即或，解得或或，所以在上有个零点，故B正确；对于C，由A可知，只需考虑求在上的最大值即可.，则，令，求得或，所以当或时，，此时，则在上单调递增，当时，，此时，但不恒为0，则在上单调递减，则当时，函数取得最大值，为，C正确；对于D，由C可知，在上不是增函数，D错误.故选：ABC.三､填空题13.以下4幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为__________.【答案】【解析】根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以.故答案为：14.高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）【答案】9【解析】第一类，只选取一册必修类课本的选法有种；第二类，两册必修类课本都选的选法有种.综上，满足条件的选法共有种.故答案：9.15.如图，在三棱锥中，，若，则直线与所成角的大小是__________.【答案】【解析】根据题意可得，又，所以可得，即可知，设直线与所成的角为，则，又，所以.故答案为：16.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则．①双曲线H的离心率为________；②若，，CE交AB于点P，则________．【答案】①2②【解析】①由题可得所以，所以双曲线H的离心率为；②，因为，且，所以,又因为，所以所以，所以,因为,解得，所以,故答案为:2;.四､解答题17.记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，证明：.（1）解：由是公差为的等差数列，可得，即，当时，，两式相减可得，即，当时，，适合上式，所以数列的通项公式.（2）证明：由（1）知，当时，，则，所以，因为，所以，所以.18.如图，长方体中，，，若在上存在点，使得平面.（1）求的长；（2）求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，则，，，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，，，平面，，即，解得，.（2）由（1）可知，，为平面的法向量，，，，，0，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，2，，，.平面与平面夹角的余弦值为.19.某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.（1）如果新药有效，把治愈率提高到了，求经试验认定该药无效的概率；（精确到0.001，参考数据：）（2）根据（1）中值的大小解释试验方案是否合理.解：（1）设通过试验痊愈的人数为变量，则，所以经试验认定该药无效的概率为：.（2）由题意，新药是有效的，由（1）得经试验认定该药无效的概率为，概率很小是小概率事件，故试验方案合理.20.在凸四边形中，对角线交于点，且.（1）若，求的余弦值；（2）若，求边的长.解：（1）因为，所以，设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，在中，由余弦定理得；（2）在中，由正弦定理得，所以，又为三角形的内角，所以，所以，，且，所以，又，在中，由余弦定理得，所以.21.设椭圆的离心率为，上､下顶点分别为.过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于两点.（1）若，求的值；（2）是否存在实数，使得直线平行于直线？证明你的结论.解：（1）根据题意，，解得，所以椭圆的方程为，当时，直线方程为，与轴无交点，不符合题意；当时，设直线方程为，则，设，，由得，，所以，，所以的中点横坐标为，的中点横坐标为，又因为，且四点共线，取中点，则，所以，即，所以是的中点，即与的中点重合，即，解得.（2）不存在实数，使直线平行于直线，证明如下：由题意，，则，，若则，所以，化简得，即，化简得，由（2）得，所以，故，整理得，无解，所以不存在实数，使直线平行于直线.22.已知函数，．（1）若的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数y=xf（x）的单调区间；（2）当a>0时，曲线f（x）与曲线g（x