浅议高中数学中的类比思想

精品文档-下载后可编辑浅议高中数学中的类比思想【摘要】只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知识，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。

【关键词】高中数学类比思想教学方法

在考试说明中，数学命题的指导思想要求突出数学基础知识、基本能力、基本思想方法的考查，重视数学基本能力和综合能力的考查，注重数学的应用意识和创新意识的考查。其中，推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳，类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性。因此，在高中数学的教学过程中要加强对推理能力的培养。

由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式，叫作推理。推理有演绎推理和合情推理，其中合情推理分为归纳推理和类比推理。古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。

1.类比推理定义

所谓类比推理，是指通过两个（或两类）对象的一些相同（或相似）属性的比较，从而推出它们的某些其它属性也相同（或相似）的一种逻辑方法，其推理形式为：

类比对象类比属性

甲ABCD

乙ABC

所以，乙对象可能具有属性D

这是从特殊到特殊的一种推理形式，所推出的结论未必可靠，仅是一种“似真”的结果，带有猜测的性质。尽管发现的结果不一定真实，但它毕竟是一种方法，因为类比联想可以发现新的数学知识，类比可以寻到解决问题的方法和途径，可以培养学生的发散思维，创造思维及合情推理能力。所以，类比推理在数学中虽然不是证明方法，但却是一种重要的数学发现法，是提出假设进行猜想的基础，是各种创造思维形式的基本要素。

2.类比推理的应用

2.1平面几何与立体几何类比。

平面几何的基本元素是点和直线，而立体几何的基本元素是点、直线和平面。如果我们建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。在讲授新知识的同时，经常联系旧知识，创造条件进行类比，扩展学生的思路，养成学生进行类比推理的习惯。它们之间的元素可按下列对应方法构成类比对象：

直线平面

角二面角

三角形四面体

平行四边形平行六面体

矩形长方体

圆球

在讲解这部分知识时注意引导学生要充分认识到数学中的类比思想，并引导学生进行类比：

(1)“在平面直角坐标系中”简记为：（二维）；“在空间直角坐标系中”简记为：V3（三维）

①点的坐标

V2：P(x,y)，V3：P(x,y,z)

②两点间的距离

V2：两点：P1(x1,y1)，P2(x2,y2)

P1P2=(x2-x1)2+(y2-y1)2

V3：两点：P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)

P1P2=(x2-x1)2+(y2-y1)+(z2-z1)2

③线段中点坐标（中点也即线段上到两个端点的距离平方和最小的点）

V2：两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)中点M(x1+x22,y1+y22)

V3：两点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)中点M(x1+x22,y1+y22,z1+z22)

④

⑤在直角ABC中，∠C=π2，其对应边分别为a,b,c,则c2=a2+b2；

在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两互相垂直，记PAB，PAC，PBC，ABC的面积分别为S1，S2,S3,S,则S2=S21+S22+S23.

⑥在直角ABC中，∠C=π2，则COS2A+COS2B=1;

在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两互相垂直，记记面PAB,面PAC，面PBC与面ABC所成角分别为α，β，γ,则COS2β+COS2β+COS2γ=1.

⑦平面向量到空间向量的类比，平面解析几何到立体几何的类比等等。当然不仅是知识体系的类比，也可以包括一些常见的结论，如平面向量中“若OP=λOA+μOB且λ＋μ＝１，则P、A、B三点共线”；类比空间向量“若OP=xOA+yOB+zOC,且x＋y＋z＝１，则P、A、B、C四点共面”。

通过这样新旧知识的联系来进行类比，既有利于理解、掌握新知识，还能使旧知识得到巩固，同时拓宽视野。

2.2等差数列与等比数列类比。

等差数列与等比数列是高中数学中的重要内容，它们在定义等方面有许多相似之处。因此，在研究二者的问题时，可以用类比的方法研究它们的相关问题。它们之间的元素可按下列对应方法构成类比对象：

等差数列等比数列

定义：an-an-1=d(常数)anan-1=q(常数)

差商

性质：若m+n=p=q,则am+an=ap+aq若m+n=p=q,则aman=apaq

和积

通项公式an=q1+(n-1)dan=a1?qn-1

倍数n-1幂指数n-1

在讲解这部分知识时注意引导学生要充分认识到数学中的类比思想，