2023人教版新教材高中数学B选择性必修第二册同步练习-4 .2 .4 随机变量的数字特征

2023人教版新教材高中数学B选择性必修第二册

4.2.4随机变量的数字特征

基础过关练

题组一离散型随机变量的期望与方差

1.（2022黑龙江哈尔滨第三中学月考）已知随机变量自的分布列如下表，则

D©=()

力31

P0.40.10.5

A.0.95B.3.2C.0.7D.3.56

2.（2021江苏苏州星海实验中学期中）某射手射击所得环数匕的分布列如下表:

78910

PX0.10.3y

已知E©=8.9,则y的值为()

A.0.2B.0.5

C.0.4D.0.3

3.从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即

X=()

A21

A•而

4.学校要从10名候选人中选2名同学去学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设

每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二⑴班的候选人的人数，则

E(X)=()

A.-B.1C.1D.-

4985

5.(2020黑龙江哈尔滨期末)若X〜B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()

A.3x2-2B.2-4

C.3x2-10D.2-8

题组二离散型随机变量的期望与方差的性质

6.(2022山东济宁期末)已知随机变量g满足2/『9,且9B(8,p),E©=2,则

E(n),D(n)分别为()

A.5,3B.5,6

C.8,3D.8,6

7.(2022重庆南开中学期中)已知随机变量X的分布列如表所示，且E(X)W，Y=3X-1,

则D(Y尸.

X123a

111

Pb

336

题组三离散型随机变量的期望与方差的简单应用

8.甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品，两人的日产量相等，每天出废品的情

况如表所示：

工人甲...

废品

01230123

数

概率0.40.30.20.10.30.50.20

则下列结论正确的是()

A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些

B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些

C.两人的产品质量一样好

D.无法判断谁的产品质量好一些

9.(2022广东顺德期末)某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行n(n£N+)

次射击，设击中目标的次数为X,已知P(X=l)=P(X=n-l)且E(X)=4,则D(X)=()

C.lD.2

10.(2021四川九市二模)为弘扬中华优秀传统文化,某校计划开展“四书”经典诵读

比赛活动.某班有4位同学参赛,每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4

本书中选取1本进行准备,且各自选取的书均不相同上匕赛时，若这4位同学从这4

本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为

()

A.-B.1

2

一3

C.-D.2

2

11.(2022浙江宁波十校联考)将3个小球放入3个盒子中，盒子的容量不限,且每个

小球放入每个盒子的概率相等.记X为分配后所剩空盒的个数,Y为分配后不空盒

子的个数，则()

A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)

B.E(X)=E(Y),D(X)WD(Y)

C.E(X)^E(Y),D(X)=D(Y)

D.E(X)#E(Y),D(X)#D(Y)

12.(2021天津南开一模)对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3

次,一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止.若该仪器一次检测出现

问题的概率为02设检测次数为X,则X的数学期望为.

13.(2022黑龙江大庆中学期末)已知箱子中装有10个小球(除颜色外完全相同)，其

中2个红球,3个黑球,5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，若变量自

为取出3个球中红球的个数，则D化尸.

14.(2022北京通州潞河中学月考)某高校设计了一个实验学科的考核方案:考生从

6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作，规定

至少正确完成其中2道题才可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正

确完成,2道题不能完成;考生乙每道题正确完成的概率都是最且每道题正确完成

与否互不影响.

⑴分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列,并计算均值；

(2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成

2道题的概率儿个方面比较两位考生的实验操作能力.

能力提升练

题组一离散型随机变量的期望与方差

1.(2021浙江新高考测评)已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且

P(XN1>|,P(X=3)=；,若E(X)=J,则D(4X-3)=()

364

1Q7

A.19B.16C.-D.-

44

2.(多选)(2022山东第二次学业质量联合检测)已知m,n均为正数，随机变量X的分

布列如下表：

SZ03

Pmnm

则下列结论一定成立的是()

A.P(X=1)<P(X#1)B.E(X)=1

C.mn<|D.D(X+1)<1

3.已知随机变量X的分布列如下：

X

ffi

P

在①a=b-c,②E(X)=1这两个条件中任选一个作为已知,判断当a在(0,；)内增大

时,D(X)是否随着a的增大而增大，并说明理由.

题组二离散型随机变量的期望与方差的实际应用

4.（2022广东联考）某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元

便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品可归顾客所有.奖品分别摆放在

1,2,3三个相互间隔的区域中，且1,2,3三个区域的奖品的价值分别为5元,15元,20

元，每个套圈只能使用一次,每次至多能套中一个.小张付十元参与这个游戏，假设

他每次在123三个区域套中奖品的概率分别为0.6,020.1,且每次的结果互不影

响.

⑴求小张在1,2,3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率；

⑵若在1,2,3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元;在2区域连

套三次为方案乙,所获奖品的总价值为Y元.以三次所套奖品总价值的数学期望为

依据,小张应该选择方案甲还是方案乙？

5.某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒,现需要通过血清检测确定该感染人

员,若结果呈阳性即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：

方案甲:将这6名疑似病人血清逐个检测,直到能确定感染人员为止.

方案乙:将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起

检测,若结果呈阳性，则表示感染人员在该组中，然后对该组中每份血清逐个检测，

直到能确定感染人员为止;若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能

确定感染人员为止.

(1)求这两种方案检测次数相同的概率；

(2)如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少，并说明理由.

6.(2022湖北黄冈期末)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客

进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2

个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

⑴若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元淇余3个所标的面值均为

10元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

⑵商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值为

10元和50元的两种球共同组成，或标有面值为20元和40元的两种球共同组成.

为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相

对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

注:袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所

标的面值“既有a元又有b元”.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.D易得E©=lxO.4+3xO.1+5x0.5=32所以D(^)=(l-3.2)2x0.4+(3-3.2)2x0.1+(5-

3.2)2x0.5=3.56.

2.c由题意，得+.

-roxu.i十vxU.S十iuy—。,力

解得[二之：故选C

3.A由题意可知X服从两点分布，且P(X=1)磊，故。(㈤磊*(1-卷)=焉故选A.

4.D由题意得随机变量X〜”(10,2,4),所以瓜田=篝苔

5.C由题意得E(X)=np=6,D(X)=np(Lp)=3,

.,.p^i^.,.p^i^chxQyxgy^sx^10.^c.

6.B由已知得E©=8p=2,解得p=*所以。(企8x]x(l-%|.由23〃=9,得〃=-

2。+9,所以£1(〃)=-2E©+9=-2*2+9=5,。(〃)=(-2)2。©=4'|=6.故选B.

7.答案~

4

解析由题意得：+"4+；=1,解得匕=；,所以即0=国+2'：+3*：+、总解得”=5,

336636362

所以3)=(1-|)2><|+(2-沪［+(3一沪火一J'筮,

所以D(Y)=D(3X-1)=9D(X)=-.

4

8.B由题表知,甲生产废品的期望是0x0.4+lx0.3+2x0.2+3x().l=l,方差是(0-

1)2X0.4+(1-1)2X0.3+(2-1)2X0.2+(3-1)2X0.1=1,乙生产废品的期望是

0x0.3+1x0.54-2x0.2+3x0=0.9,^^^(0-0.9)2X0.3+(1-0.9)2X0.5+(2-0.9)2X0.2+(3-

0.9)2x0=0.49.所以甲生产废品的期望与方差均分别大于乙生产废品的期望与方差,

故乙的产品质量比甲的产品质量好一些.故选B.

9.D设该射手每次射击击中目标的概率为p(0<p<l).由题意可得X-B(n,p).

因为p(x=i)=尸(x=〃-i),所以就p(i-p)"」=cjTp〃」(i-p),整理可得(i-p)"-2=p"-2,所以J.

p=p,解得P4•由得〃=8,所以Q(X)=〃〃(l-p)=8x/x(l-g)=2.故选D.

10.B记抽到自己准备的书的学生人数为X,则X的可能取值为0,1,2,4,

尸(X=o)=贵福尸(x=1)=臂W，

「2乂1111

尸(X=2)Urz，尸(X=4)=下彳

01-1-1

则E(X)=0x^+1x>2x；+4x?1.

故选B.

11.C因为一共有3个盒子，所以x+y=3,

因此E(X)=E(3-y)=3-£(y),/)(X)=D(3-Y)=(-1)2。(Y)=D(Y).

由题意可知X的可能取值为0,1,2,

Ag=6=2

P(X=0)=

3X3X3279

A[=3J

P(X=2)=

3x3x3279

212

P(x=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1

故£（X）=|xO+|x2+|xl=|,

所以仇y）=3-E（X）=33号，故选C.

12.答案2.44

解析检测次数X可取1,2,3.

P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.8x0.2=0.16,

P(X=3)=0.8x0.8=0.64,

所以E(X)=1x0.2+2x0.16+3x0.64=2.44.

13.答案||

解析的所有可能取值为0,123,

83642X82XC^_48

P(占0)=市=石］(勺1)=------------------

103125

22X8XC112231

P(勺2)=("3)=

--1-0-3-尸定=年，

所以皈=。喘+1嚏+2x费+3x喂=|.

所以Q©=(0—if64(.3248(、3,212(r3'2112

X—+1--x—+2--x---1-(3—X--=一.

1255/1255125512525

14.解析（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为《则的可能取值是1,2,3.

尸（勺1）=警弓，

p2plo

P（勺2）=箸=|,

pg=等=

所以4的分布列为

123

L31

A

555

E(^)=lxi1+23x|+3x|1=2.

设考生乙正确完成实验操作的题数为rj,

易知〃〜3(3,|),

所以P(%0)=Cgx(l_|)3=/,

尸(片1)=禺x(|)\(l-|)餐，

P(^2)=Cfxg)2x(l-1)14

尸(片3)=卧包号.

所以〃的分布列为

>10123

1248

P

279927

E⑺=3x(2=2.

(2)由(1)知E©田〃)=2,

0(0=(1-2)2X$(2-2)2X|+(3-2)2X9|,

Q(〃)=3x|x(l—1)=|,

尸02)=|+W，P(痉2)三+捺嘿

所以尸(含2)＞尸(疟2).

故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当;从正确完成实验操

作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定;从至少正确完成2道题的概率方面分

析，甲通过的可能性更大.

因此甲的实验操作能力较强.

能力提升练

1.A由题知P(X=0)=3设P(X=l)=a,则P(X=2)=土巳。=工-。，因此

3362

石(X)=0x9lxa+2xC-a)+3x衿，解得冶,因此离散型随机变量X的分布列如下:

til

则D(X)=|x(0-02+卜(1一”2'(2-沪汉3-J2啜

因此Q(4X-3)=16Q(X)=19.故选A.

2.BCD由分布列的性质得"2+〃+/71=2切+〃=11(乂=1)=〃,。(乂，1)=2/九,当

时，尸(X=l)=尸(XWD,故A错误;易得七(乃="+2加=1,故B正确;因为m,n均为正数，所

以1=n+2m>2y/2mn,BP如?4,当且仅当〃=2m=工时，等号成立，故C正确;由n=\-

82

2m>0且加〉0,得0<加苫,又石(㈤=1，所以D(X+1)=D(X)=mx(O-1)2+nx(1-1)2+mx(2-

1)2=2加<1,故D正确.故选BCD.

bC=1,

3.解析若选择①,则有ttbtc

可得b=^,c=^-a,

贝ijE(X)=b+2c=^2a,

所以Z)(X)=(2a--CI+^ZCL-乃+(2a+,c=-4<72+2t/+—=-4^Q——+—,

所以当“£(0,?时,。(出随着a的增大而增大，当时,Q(X)随着a的增大

而减小.

若选择②，则有｛第，二，1,

可得a=c,

因止匕D(X)=a+c=2a,

所以当。在(0弓)内增大时Q(X)随着a的增大而增大.

4.解析记小张分别在1,2,3三个区域各套一次便能套中奖品的事件为A,8,C,

则P(A)=0.6,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P(Z)=0.4,P(fi)=0.8,P(Q=0.9.

(1)因为每次的结果互不影响，所以小张在1,2,3三个区域各套一次后，所获奖品不

超过1件的概率为

P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.S24.

⑵若选择方案甲，则X的可能取值为0,5,15,20,25,35,40,

p(X=0)=P(Z)P(F)P(C)=0.288,

P(X=5)=P(A)P(万)。(。=0.432,

尸(X=15)=P(1)尸(3)尸©)=0.072,

产(X=20)=P(小尸(后)尸(C)+P(A)尸但)尸©)=0.14,

产(X=25)=P(A)产(豆)尸(0=0.048,

产(X=35)=P(不尸(3)尸(0=0.008,

尸(X=40)=尸(A)尸(3)尸(0=0.012,

^E(X)=0x0.288+5x0.432+15x0.072+20x0.14+25x0.048+35x0.008+40x0.012=8.

若选择方案乙，设小张所获奖品的总件数为Z,则Z~B(3,0.2),r=15Z,

故E(Z)=3x0.2=0.6,E(y)=15E(Z)=9.

因为E(F)>E(X),所以小张应该选择方案乙.

5.解析(1)由题意可设方案甲检测的次数是X,方案乙检测的次数是匕则X的取

值范围是{1,2,3,4,5},V的取值范围是{2,3},

「111

P(X=l)=xh/(X=2)=帚二

P(X=3)=鬻q](x=4)=饕q,

A6bA6b

P(X=5)=等递总

112

p(y=2)3尸(y=3)=i-衿.

记这两种方案检测次数相同为事件A,

因为方案甲和方案乙的各事件之间是相互独立的，

所以P(A)=尸(X=2,丫=2)+尸(X=3,y=3)=34+；x：=；,

63636

所以这两种方案检测次数相同的概率为3

6

⑵由⑴可知E(X)=lx；+2x±+3x*^+5x手片线y)=2x53x衿.

666oDDD53

因为£(X)>E(y),

所以预测方案乙检测总费用较少.

6.解析⑴设顾客所获的奖励额为X元厕X的所有可能取值为20,60.

「21pl-I

产(