2023年湖北省黄岗市浠水实验高中高考压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在棱长为a的正方体ABC。—A4GA中，E、/、M分别是43、AD.A4的中点，又尸、。分别在线段4片、

49上，且AP=AQ=加（0＜加＜4），设平面ME/n平面MPQ=/，则下列结论中不成立的是（）

A.///平面8。，片B.l±MC

C.当根=3时，平面D.当机变化时，直线/的位置不变

2

2.在AABC中，E,F分别为AB,AC的中点，P为EF上的任一点，实数X，，'满足⑸+x而+y斤=6,设

s

\ABC.\PBC.APC4、AE4B的面积分别为S、5、邑、S3,记」=＜（i=l,2,3）,则取到最大值时，

S

2x+）＞的值为（）

33

A.-1B.1C.——D.-

22

3.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该

校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：

A.与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加

B.与2016年相比，2019年一本达线人数减少

C.与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍

D.2016年与2019年艺体达线人数相同

4.一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在［20,60）上的频率为0.8,则估计

样本在［40,50）、［50,60）内的数据个数共有（）

分组110.20)[20,30)(30.40)

频数345

A.14B.15C.16D.17

5.已知复数z满足z（l+i）=l-，（i为虚数单位），则;乙的虚部为（)

A.-iB.iC.1D.-1

6.已知｛4｝为等比数列,%+仆二—3,=-]8,则%+41=()

21_21

A.9B.-9C.—D.

2

7.费马素数是法国大数学家费马命名的，形如22"+1（〃eN）的素数（如：24+1=3）为费马索数，在不超过30的正偶

数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是（）

8.若不等式aln（x+l）-丁+2/>0在区间（（）,+8）内的解集中有且仅有三个整数，则实数。的取值范围是（）

932'<932、

A.B

_21n2，ln5.-(2In2'In5,

(932'

c.D.

Uln2，ln5_L21112J

（、fa”+3,为奇数

9.已知数列｛4｝满足:%=1，"陵+1"为偶数，则绘=（）

B.25C.28D.33

10.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,

曲线C:（/+/）3=J6x2y2恰好是四叶玫瑰线.

给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都

不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4万；④方程（Y+y2）3=i6x2y2（取（0）表示的曲线c在第二象限和第四

象限其中正确结论的序号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

COSX

函数/（X）■7的部分图像大致为（

2、+2」

B.

在平面直角坐标系xOv中，已知点4（0,-2）,N（l,o）,若动点M满足舞1=3,则诉.而的取值范围

12.

是（）

A.[°，2]B.

C.卜2,2]D.[-2V2,2V2]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2Ko11

13.若函数/（幻=logxx〉0，则/[3/（l°g43）]的值为

14.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是.（写出所有正确命题的序号）

①因为si〃x+?卜sinx、所以g不是函数y=sinx的周期;

3

②对于定义在R上的函数/（X）,若/（-2）。/（2）,则函数不是偶函数;

③“M>N”是“/ogzM'/ogzN”成立的充分必要条件；

④若实数“满足/«4,则。42.

15.如图，在直四棱柱ABC。-44GA中，底面ABC。是平行四边形，点E是棱8片的中点，点F是棱CC靠近

G的三等分点，且三棱锥A-的体积为2,则四棱柱ABCD-ABCR的体积为.

16.已知向量满足£用=一1，a«2a-B）=3,则卜卜.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）已知耳耳为椭圆石：,+我=l（a〉b>0）的左、右焦点，离心率为:，点尸（2,3）在椭圆上.

（1）求椭圆E的方程;

1,1

（2）过片的直线^分别交椭圆于A、C和B、。，且4，/2,问是否存在常数2,使得南，％两成等差数列?

若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

18.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，P4_L底面ABC。，AD±AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,

A3=l,点E为棱PC的中点.

（1）证明：BE1DC：

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（3）若尸为棱PC上一点，满足BE_LAC,求二面角E—AB—P的余弦值.

TT

19.（12分）已知AABC是等腰直角三角形,NACB=5，AC=2.。,后分别为AC,A8的中点，沿将小4£火折起,

得到如图所示的四棱锥A-5CDE.

(I)求证：平面平面ABC.

(II)当三棱锥ABE的体积取最大值时,求平面\CD与平面A.BE所成角的正弦值.

20.(12分)已知函数/(x)=e"'—x(awR,e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+/nx+l.

(1)若/(x)有两个零点，求实数”的取值范围；

(2)当a=l时，％[/(%)+1]28(力对任意的工€(0,”)恒成立，求实数〃？的取值范围.

21.(12分)已知函数,y(x)=ar2+cosx(aeR)

(1)当a=g时，证明/'(力20,在2,+A)恒成立；

(2)若/(x)在x=0处取得极大值，求。的取值范围.

22.(10分)我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁

琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人,

得到其办理手续所需时间(天)与人数的频数分布表：

时间[0,2)[24)[46)[6,8)[8,10)[10,12)

人数156090754515

(1)若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60

人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间

与是否流动人员”有关.

列联表如下

流动人员非流动人员总计

办理社保手续所需

时间不超过4天

办理社保手续所需

60

时间超过4天

总计21090300

（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为［8,12）流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动

人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为［10,12）的人数为另求出J分布列及期望值.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a4-c)(b+d)

P(K2"o)0.100.050.0100.005

%）2.7063.8416.6357.879

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.

【详解】

因为AP=\Q=机，所以PQ//4A，因为E、尸分别是48、AO的中点，所以EF//BD,所以PQ//EF，因为面MEFQ

面MPQ=/,所以尸Q〃EF7〃.选项A、D显然成立；

因为BD//EF//1,3。，平面ACGA,所以/_L平面ACC,4,因为MCu平面ACQ4,所以/_LMC,所以B项成

立；

易知AC,1平面MEF,AC1平面MP0,而直线AG与\C不垂直，所以C项不成立.

故选：C

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.

2.D

【解析】

根据三角形中位线的性质，可得尸到的距离等于△A8C的3c边上高的一半，从而得到，=1s=S2+S3,由

此结合基本不等式求最值，得到当4・4取到最大值时，P为瓦■的中点，再由平行四边形法则得出

—1—1一—1

+=根据平面向量基本定理可求得x=y=从而可求得结果.

222

【详解】

如图所示：

因为E尸是AABC的中位线，

所以P到BC的距离等于△ABC的边上高的一半,

所以E=1s=s2+s3,

,S2+S2.2

由此可得:九=Ei*邑=Sfs<2=J_»

2y~~s不~16

当且仅当S?=S3时，即P为EF的中点时，等号成立,

所以方+而=。，

由平行四边形法则可得丽+而=2而，PA+PC=2PF>

将以上两式相加可得2万+而+定=2（而+而）=0,

所以序+'P与+,定=0,

22

又已知丽+x而+y斤=。，

根据平面向量基本定理可得x=>=；，

13

从而2%+>=1+—=一.

22

故选：D

【点睛】

本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.

3.A

【解析】

设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为L2x,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.

【详解】

设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为L2x,2016年高考不上线人数为0.3x,

2019年不上线人数为L2xx0.28=O.336x>O.3x,故A正确；

2016年高考一本人数（）.3x,2019年高考一本人数1.2xx0.26=0.312x>0.3x,故B错误;

2019年二本达线人数L2xxO.4=O.48x,2016年二本达线人数0.34x,增加了

0.48x—0.34x

a0.41倍，故C错误;

0.34%

2016年艺体达线人数0.06x,2019年艺体达线人数L2xx0.06=0.072x,故D错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.

4.B

【解析】

计算出样本在［20,60）的数据个数，再减去样本在［20,40）的数据个数即可得出结果.

【详解】

由题意可知，样本在［20,60）的数据个数为30x0.8=24,

样本在［20,40）的数据个数为4+5=9,

因此，样本在［40,50）、［50,60）内的数据个数为24-9=15.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

5.D

【解析】

根据复数z满足z（l+i）=l-i,利用复数的除法求得二，再根据复数的概念求解.

【详解】

因为复数Z满足z(l+i)=l—i,

l-z_(I-/)-

所以z

l+z-(l+z)(l-z)

所以z的虚部为-1.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6.C

【解析】

根据等比数列的下标和性质可求出生，小,便可得出等比数列的公比，再根据等比数列的性质即可求出+4「

【详解】

4=-6%=3

V4+9=5+8,/.449=一18,又4+。8=-3,可解得＜或，

6=36=一6

设等比数列｛q｝的公比为。，则

C143-6r21

=-6时,"f+3x

当~2；

=3d2"——

2

f二时，＞%-2,...4+%=》+词*+（_6）《2）号

当

故选：C.

【点睛】

本题主要考查等比数列的性质应用，意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.

7.B

【解析】

基本事件总数〃=15,能表示为两个不同费马素数的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个，根据古

典概型求出概率.

【详解】

在不超过3（）的正偶数中随机选取一数，基本事件总数〃=15

能表示为两个不同费马素数的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个

31

则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是P=-=5

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题.

8.C

【解析】

由题可知，设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=x3—2f,根据导数求出g(x)的极值点，得出单调性，根据

aln(x+l)-x3+2x2>0在区间(0,+oo)内的解集中有且仅有三个整数，转化为/(x)>g(x)在区间(0,+(功内的解集

中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数。的取值范围.

【详解】

设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,

因为g'(x)=3%2-4x,

所以g'(x)=0,

4

因为0<x<5时，g'(x)<0,

/(3)>g(3)

当a>0时，/(x)>g(x)在(0,+oo)内的解集中仅有三个整数，只需1,八/八

/(4)„g(4)

«ln4>33-2x32

一aln5,,43-2x4?'

932

所以-------<6,-----・

21n2In5

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.

9.C

【解析】

依次递推求出得解.

【详解】

n=l时，出=1+3=4,

n=2时，/=2X4+1=9,

n=3时，%=9+3=12,

n=4时，a5=2x12+1=25,

n=5时，％=25+3=28.

故选：C

【点睛】

本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10.B

【解析】

利用基本不等式得F+y2K"可判断②；/+卜2=4和(/+>;2)3=]6%2V联立解得¥2=>2=2可判断(1)(§)；由

图可判断④.

【详解】

/22、2

(x2+y2)3=16x2y2<16",

解得f+y244(当且仅当f=y2=2时取等号)，则②正确；

将V+y?=4和(尤2+,2/=]6%2,2联立，解得f=^2=2,

即圆V+y2=4与曲线c相切于点(JI拒)，卜夜,夜)，(-V2,-V2),(V2,-V2),

则①和③都错误；由冲<(),得④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

11.A

【解析】

根据函数解析式，可知“X)的定义域为xwR,通过定义法判断函数的奇偶性，得出/(—x)=/(x),贝！l/(x)为偶

函数，可排除选项，观察48选项的图象，可知代入尤=0,解得/(())>(),排除3选项，即可得出答案.

【详解】

解：因为/3=1，

所以/(x)的定义域为xeR,

八>2T+2*2'+2T')

.••/(x)为偶函数，图象关于>轴对称，排除选项，

且当x=0时，/(0)=1>0,排除3选项，所以A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.

12.D

【解析】

设出M的坐标为(x,y),依据题目条件，求出点M的轨迹方程N+3-2)2=8,

写出点M的参数方程，则而•丽=20cos。，根据余弦函数自身的范围，可求得两■•丽结果.

【详解】

设M(x,y),则

.••圈M”2)

...次言±2)2=五

Jx+旷

Ax2+(y+2)2=2(x2+j2)

:.x2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程

x=2^2cos0

...点M的参数方程为厂(。为参数)

y=2+2j2sin6

则由向量的坐标表达式有：

OMON=2y/2cos0

又•.•cos。e[-1,1]

:.OMON=2夜cos0e[-272,2亚]

故选：D

【点睛】

考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,

属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.--

2

【解析】

根据题意，由函数的解析式求出了(logdg)的值，进而计算可得答案.

【详解】

根据题意，函数/(x)=：，"'0'八，

log3x,x>0.

贝！J/(log41)=/(-log43)=/(-log26)=6,

则宿/(log,1)]=樗)=log3乎=j

故答案为：一

2

【点睛】

本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

14.①②④

【解析】

对①,根据周期的定义判定即可.

对②,根据偶函数满足的性质判定即可.

对③,举出反例判定即可.

对④，求解不等式/<4,再判定即可.

【详解】

解：因为当尸?时，sialx+qlwsinx,

27r

所以由周期函数的定义知y不是函数y=S加X的周期，

故①正确；

对于定义在R上的函数/（X）,

若/（-2）=/（2），由偶函数的定义知函数/（X）不是偶函数，

故②正确；

当M=1,N=0时不满足log2M>log2N,

则“M>N”不是“/og2M>/og2N,”成立的充分不必要条件,

故③错误；

若实数。满足/44,

贝卜2<aW2,

所以a42成立，

故④正确.

・•・正确命题的序号是①（D④.

故答案为：①②

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.

15.12

【解析】

由题意，设底面平行四边形ABC。的BC=a,且BC边上的高为如直四棱柱A3CD-A4GR的高为〃，分别表

示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。

【详解】

由题意，设底面平行四边形ABCD的且A3边上的高为〃，直四棱柱ABC。-44G4的高为〃，

则直四棱柱ABCD-4AG。的体积为V=Sh=abh,

又由三棱锥A-AEF的体积为V__AEF=%-AAE=^Sfy=­x^ahxb=yabh=2,

解得必〃=12,即直四棱柱的体积为12。

【点睛】

本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱

三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。

16.1

【解析】

首先根据向量的数量积的运算律求出a＞再根据问=7?计算可得；

【详解】

解：因为同24询=3,

所以27—£石=3

又=

所以二=1

所以—1

故答案为：1

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

r2.,27

17.(1)—+-^-=1；(2)存在，—.

161248

【解析】

(1)由条件建立关于的方程组，可求得。，4c,得出椭圆的方程;

(2)①当直线4c的斜率不存在时，可求得|AC|=6,忸。|=8,,求得2,②当直线的斜率存在且不为0时，设

24(公+1)

几：y=k(x+2)联立直线与椭圆的方程，求出线段再由/口乙得出线段|BD|根

4+3公

据等差中项可求得4,得出结论.

【详解】

C_1

a2a2=16

4922

(1)由条件得[[7+77=1n〃=12,所以椭圆E的方程为:—I—=1;

6rb21612

c2=4

ci1=b2+c2

(2)片(—2,0),

①当直线儿的斜率不存在时，Mq=6，w=&而+而=:+：=(，此时行焉,

’22

厂+2L-1

②当直线人的斜率存在且不为。时，设儿：y=A(x+2),联立1612消元得

、y=Z(x+2)

(4k2+3)x2+16%2%+16二—48=0,

皿“、〜、16k216公一48

设4(玉，y),C(x,y),x+x=~~~-,xx=、——

22t-24k~+3t24%-+3

222

\AC\=y/l+k|x,-x2|=\]l+k+x2)-4xtx2=[纵,，，,

241+

2

•・・直线8。的斜率为-，同理可得忸。卜24g+1)

4+3公

114F+34+3公7(1+A:2)7

----I----------------------------------

|AC|\BD\24(1+A:2)24(公+1)24(1+公)24

77

22=’，所以丸=，

2448

71.1

综合①②，存在常数4=也，使得而『4师成等差数列.

【点睛】

本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具

有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题.

18.(1)证明见解析(2)B(3)亚

310

【解析】

(D根据题意以4为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出炉，成，由空间向量数量积

运算即可证明BELOC.

(2)先求得平面PQ的法向量，即可求得直线的与平面法向量夹角的余弦值，即为直线8E与平面PQ所成角的正

弦值；

(3)由尸点在棱PC上，设C「=4C户，再由87=83+心升，结合BE_LAC,由空间向量垂直的坐标关系求得X

的值.即可表示出丽.求得平面?也和平面ABP的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再

根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角厂一AB—P的余弦值.

【详解】

(D证明：24,底面ABC。，AD±AB,

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

VAD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

.•.8(1,0,0),C(2,2,0),0(020),P(0,0,2),E(l,l,l),

.♦.丽=(0,1,1),加=(2,0,0),

­.REDC=Q>

：.BELDC.

(2)BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2),

设平面P比)的法向量为〃?=(x,y,z，

BD•沆=0,-x+2y=0

则—八，代入可得

PB-771=0x-2z=0

令y=l解得X=2,z=l,即加=(2,1,1),

设直线班与平面P9所成角为由直线与平面夹角可知

2=立

sina-cos<BE

Ini.BE76x72~3

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为显

3

(3)•/BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),

由F点在棱PC上，设#=4丽=(-22,-22,22),(()<A<1),

故前=团+月=(1-242—24,22)(0<2<1),

由BF_LAC,W5F-AC=2(1-22)4-2(2-22)=0,

3

解得力=：,

4

设平面尸84的法向量为〃=(","c),

n-AB=Q,…

由K八，得〈11,3C，

n-BF-0——a+—h+—c-0

I1222

令c=l,贝！)3=(0,—3,1)

取平面ABP的法向量；=(0,1,0),

则二面角尸——P的平面角a满足cosa=上”—2,

|/|-|n|VW10

由图可知，二面角/一AB-P为锐二面角，

故二面角尸-A5-尸的余弦值为题.

10

【点睛】

本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计

算量较大，属于中档题.

19.(I)见解析.解)亚.

3

【解析】

⑴证明平面4。。得出平面4。。，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当平面BCDE时，棱

锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案.

【详解】

TT

⑴证明：•••ZACB=-：.AC±BC

2

•••。，石分别为ACA8的中点:.DE//BC:.DE±AC

:.DELCD,DEL\D,又

.♦.£>£_L平面A。。

.•.8。_1平面4。。，又BCu平面ABC

/.平面AZ)C_L平面4BC

(II)%-A8E=〃-BCE，S«8CE为定值

.•.当4。上平面8CDE时，三棱锥ABE的体积取最大值

以。为原点，以。为坐标轴建立空间直角坐标系。-型

则3(1,2,0),£(0,1,014(0，°，1)

.•.BE=(-1,-1,O),离=(O,T,l)

,八厂/\

设平面ABE的法向量为丹=(x,y,z),贝时m一-方B才E=0

m•EAj=0

-x-y=0/、

即!令％=1可得万

DE_L平面\CDn=（0,1,0）是平面\CD的一个法向量

...3<泣万>=粤=/一=近

\m\\ii\V3xl3

V6

•••平面\CD与平面4BE所成角的正弦值为

3

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐

标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题.

（1、

20.（1）0,-；（2）

\e7

【解析】

（1）将/（力有两个零点转化为方程。=地有两个相异实根，令6（力=.求导，利用其单调性和极值求解；

XX

（2）将问题转化为竺对一切xe（O,+x））恒成立，令/（%）=/-电二一」（x〉0）,求导，研究单调性,

XXXX

求出其最值即可得结果.

【详解】

（1）/（X）有两个零点o关于X的方程=X有两个相异实根

由-">0,知x>0

.••/（X）有两个零点=a=—有两个相异实根.

X

Inx1-lnx

令G（尤）=一^,则G，（x）=一^,

由G'（x）＞0得：0cxee,由G'（x）＜0得：x＞e,

・•・G（x）在（0,e）单调递增，在（e,+a））单调递减

C%=C£，=＞

•■•（）max（）；

又•••G⑴=0

二当0＜x＜l时，G（x）＜0,当X＞1时，G（x）＞0

当％f时，G(x)—0

(

・•・/(x)有两个零点时，实数。的取值范围为0-；

x

(2)当a=l时，f(x)=e-x9

二•原命题等价于xe">lnx4-/nx+l对一切%£(。,+°0)恒成立

u>m工e'---------对一1切xG(0,+oo)恒成立.

xx

令产(1)=ex―电二_J_(x>0)

•••利"(力,疝，

l,/、*Inxx2ex4-Inx

(可=，+?=r—

令〃(%)=%2"+1口工，xe(0,-Hx)),则

=2xe+x2ex+—>0

・・・/z(x)在(0,+e)上单增

又"l)=e>0,=1</一1=0

3x0使72(%))=0即+Inx0=0©

当xe(O,元0)时，〃(x)<0,当xe(Xo，+8)时，〃(x)>0,

即/(x)在(0,%)递减,在伍，欣)递增，

-3*=*/)=*-叱-=

由①知x；e&=—lnXo

/与与I

••・函数夕(%)=旄*在(0,+回单调递增

/.x0=In—即x0=-InX0

xo

：.F(x)=-'nx°=1,

、/mineYYYY

人0人0A()Ao

m<\

实数m的取值范围为

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.

21.(1)证明见解析(2)—00，-g

【解析】

(1)根据/(x)=；x2+cosx,求导尸(x)=x-sinx,令〃(x)=x—sinx,用