圆周率的计算数学实验报告

数学实验报告（二）一、实验题目：圆周率的计算二、实验目的：1.用多种方法计算圆周率π的值；2.通过实验来说明各种方法的优劣；3.尝试提出新的计算方法。三、实验内容和方法：1.古典方法：用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近以阿基米德的圆内接96边形和圆外切96边形逼近为例已知：sinθQUOTEθ<θ<tanθ，另θ=π/96推出：96sinθ<π<96tanθ编写matlab程序formatlongx=sin(pi/96)y=96*x得：96sinθ=3.141031950890509formatlongx=tan(pi/96)y=96*x得：96tanθ=3.1427145996453683.141031950890509<π<3.1427145996453682.分析方法(1).由公式推出π=4编写程序symskx=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,10)y=4*x得出当k=10时，π≈3.232315809405593编写程序symskx=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,20)y=4*x得出当k=20时，π≈3.189184782277595依次，加大k的值K=50，π≈3.161198612987050K=100，π≈3.151493401070990K=200，π≈3.146567747182986e+159…(2).沃里斯(Wallis)方法编写程序：formatlongx=1;fork=1:10x=x*(2*k/(2*k-1)*2*k/(2*k+1));endy=2*x得k=10时，π≈3.067703806643498增加k的值K=20，π≈3.103516961539230K=50，π≈3.126078900215409K=100，π≈3.133787490628159K=10000，π≈3.141514118681864K=1000000，π≈3.141591868191880…(3).利用公式推出π=4()编写程序：symsn;f1=(-1)^(n-1)*(1/2)^(2*n-1)/(2*n-1);f2=(-1)^(n-1)*(1/3)^(2*n-1)/(2*n-1);ans1=symsum(f1,n,1,79);ans2=symsum(f2,n,1,79);ans=vpa(4*(ans1+ans2),100)得π≈3.141592653589793238462643383279502884197169399375133430982093161171386628479498818593945774941040426(4).麦琴(Machin)给出推出π=4()编写程序：symsn;f1=(-1)^(n-1)*(1/5)^(2*n-1)/(2*n-1);f2=(-1)^(n-1)*(1/239)^(2*n-1)/(2*n-1);ans1=symsum(f1,n,1,28);ans2=symsum(f2,n,1,28);ans=vpa(4*(4*ans1-ans2),100)得π≈3.1415926535897932384626433832795028841971304510462685789722032556637160366771334329490117356654511273.概率方法编写程序：m=0;fori=1:100000x=rand;y=rand;ifx^2+y^2<=1;m=m+1;elseendend4*m/100000得π≈3.136000000000000n=100000时，π≈3.1399200000000004.数值积分方法利用公式设分点x1,x2,…xn-1将积分区间[0,1]分成n等分。所有的曲边梯形的宽度都是h=1/n。记yi=f(xi).则第i个曲边梯形的面积A近似地等于梯形面积，即：A=(y(i-1)+yi)h/2。将所有这些梯形面积加起来就得到：A≈2/n[2(y1+y2+…yn-1)+y0+yn]编写程序：n=10000;x=linspace(0,1,n+1);y=1./(1+x.^2);h=1/n;ans=vpa(4*h*trapz(y),11)得π≈3.1415926519n=100000时，编写程序：n=100000;x=linspace(0,1,n+1);y=1./(1+x.^2);h=1/n;ans=vpa(4*h*trapz(y),11)得π≈3.1415926536也可利用积分公式编写程序：n=10000;x=linspace(0,1,n+1);y=sqrt(1-x.^2);h=1/n;ans=vpa(4*h*trapz(y),11)得π≈3.1415914776n=100000时，得π≈3.1415926164四、实验结果分析：1.古典方法：这种方法基于几何原理，计算量大，速度慢；2.分析方法：(1)逼近速度太慢，运算庞大，对速度造成了很大影响；(2)逼近速度还是较慢；相比(1)(2)来说，(3)(4)的优势就显得十分明显，逼近的速度大大增加，而且麦琴