2021版 一次函数压轴题突破8：一次函数与平行四边形（含解析）

一次函数压轴题之平行四边形

1.如图，直线y=3x+n交x轴于点A(-8,0),直线y=--4经过点A,交y轴于点B,点P是直线

42

y=-"|"X-4上的一个动点，过点P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点D,连接PB,设

点P的横坐标为m.

(1)若点P的横坐标为m,则PD的长度为(用含m的式子表示)；

(2)如图1,已知点Q是直线y=3x+n上的一个动点，点E是x轴上的一个动点，是否存在以A,B,E,

4

Q为顶点的平行四边形，若存在，求出E的坐标；若不存在，说明理由；

2.如图，直线h：y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C；直线L：y=kx+b与x轴交于点B(3,0),

与直线L交于点D,且点D的纵坐标为4.

(1)不等式kx+b>2x+2的解集是；

(2)求直线h的解析式及4CDE的面积；

(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标.

3.如图，直线h的解析表达式为：y=3x-3,且li与x轴交于点D,直线k经过点A,B,直线L,k交于

点C.

(1)求AADC的面积；

(2)在直线k上存在异于点C的另一点P,使得aADP与aADC的面积相等，则点P的坐标为；

(3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、D、C、H为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B,且OA、0B的长分别为方程x2-6x+8=0的两个根(OAVOB),

点C在y轴上，且OA：AC=2：5,直线CD垂直于直线AB于点P,交x轴于点D.

(1)求出点A、点B的坐标.

(2)请求出直线CD的解析式.

(3)若点M为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B、P、D、M为顶点的四边

形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图1.在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，D(0,3),点E是0B延长线上一点，M是线段

(1)①直接写出点C的坐标：②求证：MD=MN；

(2)如图2,若M(2,0),在0D上找一点P,使四边形MNCP是平行四边形，求直线PN的解析式；

(3)如图，连接DN交BC于F,连接FM,下列两个结论：①FM的长为定值：②MN平分NFMB,其中只有一

个正确，选择并证明.

6.如图1,将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，已知A(4,0)、C(0,3),将其绕点A顺时针旋转,

得到矩形O'AB'C,旋转一周后停止.

(1)当边O'A所在直线将矩形分成面积比为5：1的两部分时，求O'A所在直线的函数关系式.

(2)在旋转过程中，若以C,O',B',A四点为顶点的四边形是平行四边形，求点0'的坐标.

7.如图，在平面直角坐标系中，直线1的解析式为y=-x,直线L与L交于点A(a,-a)与y轴交于点

B(0,b),其中a,b满足(a+2)彘=0

(1)求直线h的解析式；

(2)若在第二象限中有一点P(m,5)使得S«0=S&、OB,请求出点P的坐标；

(3)已知直线y=2x-2分别交x轴、y轴于E、F两点，M、N分别是直线L、k上的动点，请直接写出能

使E、F、M、N四点构成平行四边形的点M的坐标.

8.如图，在平面直角坐标系中，已知直线h和L相交于点A,它们的解析式分别为L：y=3x,12：y=-

4

9x+22.直线k与两坐标轴分别相交于点B和点C,点P在线段OB上从点0出发.以每秒1个单位的速

33

度向点B运动，同时点Q从点B出发以每秒4个单位的速度沿B-O-C-B的方向向点B运动，过点P作直

线PML0B分别交L,h于点M,N.连接MQ.设点P,Q运动的时间是t秒(t>0)

(1)求点A的坐标；

(2)点Q在0C上运动时，试求t为何值时，四边形MNCQ为平行四边形；

(3)试探究是否存在某一时刻t,使MQ〃OB?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

9.如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0,0）,B点坐标是（3,4）,

矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2,4）.

（1）求G点坐标；

（2）求直线EF解析式；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在,

10.如图，已知直线m：y=-/x+b与x轴交于点A(15,0),交y轴于E点.以0A为一边在第一象限内

做矩形OABC,BC与直线m相交于点D,连接0D,01)垂直于直线tn.

(1)求0D的长；

(2)点F在x轴上，设直线BF为n,直线m与直线n的交点P恰好是线段BF的中点，求直线n的解析式;

(3)在(2)的条件下，直线m上是否存在一点Q,直线n上是否存在一点R,使得以0、A、Q、R为顶点,

OA为一边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，Rt^OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点0与原点重合，点A在x轴上，点

C在y轴上，0C=«,/CA0=30度.将Rtz^OAC折叠，使0C边落在AC边上，点。与点D重合，折痕为

CE.

(1)求折痕CE所在直线的解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N,是否存在这样的点M,使得以M、

N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

12.在平面直角坐标系中，四边形AOCB是直角梯形，点A(0,4),AB、0C的长是一元二次方程xZ-llx+28

=0的两根.问：

(1)求点B、C的坐标；

(2)过点B的直线BD交线段0C于点D,且四边形AODB的面积与△BDC的面积比为6：5,求直线BD的解

析式；

(3)若点P在直线BD上，点Q在y轴上，是否存在点P、Q,使得经PQBC为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.

1.【解答】解：(1)把x=m代入y=-4得，y-

•直线y=~-^-x-4交y轴于点B,

Z.B(0,-4),

/.OB=4,

.,.PD=|4-—m-4|=—|m|,

22

故答案为：Im|；

(2)直线y=&x+n交x轴于点A(-8,0),则n=6,

4

故直线表达式为：y=3x+6,则点C(0,6),

4

设点Q(m,3m+6),点E(n,0),点A、B坐标分别为：(-8,0)、(0,-4),

4

①当AB是平行四边形的一条边时，

点A向右平移8个单位向下平移4个单位得到点B,

同样点Q(E)向右平移8个单位向下平移4个单位得到点E(Q),

O.o

即m+8=n,3m+6-4=0或m-8=n,—m+6+4=0,

44

解得：n=孕或-警：

33

②当AB是平行四边形的对角线时，

-8=01+11,-4=—m+6,解得：n=-^-,

43

故点E的坐标为：(［殳，0)或(-丝，0)；

33

2.【解答】解：(1)11：y=2x+2,则点C(0,2),点A(-1,0),

直线L交于点D,且点D的纵坐标为4,则4=2x+2,解得：x=l,故点D(l,4),

从图象看，当x<l时，kx+b>2x+2,

故答案为：x<l；

(2)将点B、D的坐标代入y=kx+b得：1°=3k+b,解得：(k=-2,

14=k+bIb=6

故直线k：y=-2x+6,点E(0,6),则CE=6-2=4,

SACPEXCEXXo---X4X1—2；

22

(3)分别过点A、B作12、L的平行线交于点P”,交过点D作x轴的平行线于点P、P',

①当AB是平行四边形的一条边时，

此时符合条件的点为下图中点P和P',

则AB=4=PA=P'D,

故点P的坐标为(-3,4)或(5,4)；

②当AB是平行四边形的对角线时，

此时符合条件的点为下图中点P”,DA平行且等于BP“，由平移可知，点P"(1,-4)；

综上，点P(-3,4)或(5,4)或(1,-4).

3.【解答】解：(1)令y=0,贝！|3x-3=0,

解得X=1,

・,•点D(1,0),

AAD=4-1=3,

设直线1.2的解析式为y=kx+b(k#0),

则’已二3

4k+b=0

\_3

解得］右下，

b=6

二设直线k的解析式为y=-|-x+6,

'3

联立y=»x+6,

y=3x-3

，点C的坐标为(2,3),

AADC的面积=工义3义3=9；

22

（2）:△ADP与AADC的面积相等，点P是异于点C的点，

.,.点P的纵坐标为-3,

—-x+6=-3,

2

解得X—6,

...点P（6,-3）；

故答案为：（6,-3）；

（3）①AC是平行四边形的对角线时，CH=AD=3,

点H的横坐标为2+3=5,

所以，点H的坐标为（5,3）,

②CD是平行四边形的对角线时，CH=AD=3,

点H的横坐标是2-3=-1,

所以，点H的坐标为（-1,3）,

③AD是对角线时，—AD=—,

22

所以，AD的中点坐标为（5，0）,

2

•.•平行四边形的对角线互相平分，

设点H（x,y）,则平=提，区=0,

222

解得x=3,y--3,

二点H的坐标为（3,-3）,

综上所述，存在点H（5,3）或（-1,3）或（3,-3）,使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形.

4.【解答】解：（1）,.,X2-6X+8=0,

；.XI=4,X2=2（1分），

VOA,0B为方程的两个根，且OA<OB,

；.0A=2,0B=4（1分），

/.A（0,2）,B（-4,0）（1分）；

(2)VOA：AC=2：5,OA=2,

/.AC=5,

.•.OC=OA+AC=2+5=7,

AC(0,7)(1分)，

VZBAO=ZCAP,ZCPB=ZB0A=90°,

/.ZPBD=ZOCD,

,.,ZB0A=ZC0D=90°,

.,.△BOA^ACOD,

.BO=OA

"CO-OD)

._0A'C0_2X7_7

•"unun~""一-1~~~~(1分),

BO42

7

AD,0),

2

设直线CD的解析式为y=kx+b,

b=7

把C(0,7),D弓，0)分别代入得：I7

(>

yk+b=0

02aA

yen—_2x+7(1分);

(3)存在，

,:卜(0,2),B(-4,0),

二设直线AB的解析式为：y=kx+b,

.(b=2

l-4k+b=0'

g

解得：＜2,

.b=2

故直线AB的解析式为：y=/x+2,

将直线AB与直线CD联立，Y^7X+2,

y=-2x+7

・・・P点坐标(2,3),

7、

VD(―,0),B(-4,0),

2

ABD=7.5,

当PMBD是平形四边形，

则BD=PM[=7.5,

・・・A\3=5.5,

/.Mi(-5.5,3),

当PBDM?是平形四边形，

则BD=PM2=7.5,

.'.AM2=9.5,

..M2(9.5,3),

P到x轴距离等于M3到x轴距离，故附的纵坐标为-3,

BE=DF=BD-DE=6,

.\F0=6-3.5=2.5,

・・・M3的横坐标为-2.5,

・・加3的坐标为(-2.5,-3)；

综上所述M点的坐标为：Mi(-5.5,3),M2(9.5,3),M3(-2.5,-3)(3分).

注：本卷中各题若有其它正确的解法，可酌情给分.

5.【解答】解：(1)①•・.四边形OBCD是正方形，D(0,3),

.'.C(3,3).

②证明：如答图1中，在0D上取0H=0M,连接HM,

答图1

V0D=0B,0H=0M,

/.HD=MB,Z0HM=Z0MH,

AZDHM=180°-45°=135°,

TNB平分NCBE,

AZNBE=45°,

ZNBM=180°-45°=135°,

/.ZDHM=ZNBM,

VZDMN=90°,

.\ZDM0+ZNMB=90°,

VZHDM+ZDM0=90°,

.".ZHDM=ZNMB,

^fcADHM和△MBN中，

<ZHDM=ZNME

<DH=MB,

ZDHM=ZNBM

/.△DIIM^AMBN(ASA),

・・.DM=MN.

由M(2,0)知0M=2,

VZDMN=90°,

.\ZDM0+ZNME=90°,ZNME+ZMNE=90°,

/.ZDM0=ZMNE,

在△口!«)和aMNE中，

<ZDOM=ZNEM=90°

<ZDM0=ZMNE，

DM二MN

/.△DMO^AMNE(AAS),

；.ME=D0=3,NE=0M=2,

・・・0E=0M+ME=2+3=5,

・••点N坐标(5,2),

二四边形MNCP是平行四边形，C(3,3),

/.P(0,1).

设直线PN的解析式为：y=kx+b(kN0).

则产1,

(5k+b=2

解得［5.

.b=l

故直线PN的解析式为：y=5x+l；

5

(3)结论：MN平分NFMB成立.

证明：如答图3中，在B0延长线上取OA=CF,

在AAOD和4FCD中，

rDO=DC

<ZDOA=ZC=90°,

,OA=CF

.,.△DOA^ADCF(SAS),

；.AD=DF,ZADO=ZCDF,

VZMDN=45°,

.,.ZCDF+Z0DM=45°,

二NAD0+/0DM=45°,

.♦./ADM=NFDM,

在△DMA和△DMF中，

'DM=DM

<ZMDA=ZMDF.

DA=DF

.,.△DMA^ADMF(SAS),

ZDFM=ZDAM=ZDFC,

过M作MP1DN于P,则/FMP=ZCDF,

由(2)可知NNMF+NFMP=/PMN=45°,

AZNMB=ZMDO,ZMDO+ZCDF=45°,

ZNMB=ZNMF,即MN平分NFMB.

6.【解答】解：⑴6矩形OABC中，A(4,0),C(0,3)

.,.Z0AB=ZB=90°，BC=0A=4,AB=0C=3

•..O'A所在直线将矩形分成面积比为5：1的两部分

...小的部分面积为矩形面积的工

6

①如图1,当直线O'A交0C边于点D,则S△颂=5S也松弛

6

0A«0D=—0A«OC

26

.\0D=—OC=1

3

Z.D(0,1)

设直线O'A关系式为：y=kx+b

.J0+b=1解得」卜"

l4k+b=0[b=1

直线O'A关系式为：y=-—x+1

4

②如图2,当直线O'A交BC边于点E,则S&,«=—S也彩飒

6

A—AB«BE=』AB・BC

26

14

；.BE=—BC=—

33

?.CE=—BC=—

33

?.E,3)

3

设直线O'A关系式为：y=kx+b

k+b=3

但3kb3解得：，八k=卫4

4k+b=0b=9

二直线O'A关系式为：y=-—x+9

4

综上所述，O'A所在直线的函数关系式为y=-1x+l或y=-2x+9.

(2)①若四边形AO'CB'为平行四边形，则0'与0重合，还没开始旋转，不符合题意.

②若四边形CO'B'A为平行四边形，如图3,

过点0'作O'FJ_x轴于点F,交BC于点G,O'A交BC于E

四边形OFGC是矩形

；.OF=CG,FG=0C=3

•.•CO'〃AB',且CO'=AB'

.,.CO'=AB=3,ZC0'E=Z0'AB'=ZABE=90°

在△[)'£与AABE中，

'/CEO'=ZAEB

<NC0'E=ZABE

CO'=AB

/.△CO'E^AABE(AAS)

；.CE=AE,O'E=BE

设CE=a,则O'E=BE=4-a

YRtaCO'E中,CO'2+O'E2=CE2

32+(4-a)'a?

解得：a=2^

8

/.CE=—,O'E=—

88

•••。(=限2_0,E2^625_«.=3

864

\—X0'CX0'E=—XECXO'G,

22

3X/

-0-c____匕-21

25一访’

8

.72

二CG=7o/C2-0zG2=

25

91

.,.O'F=O'G+FG=—+3=96

2525

.,z7296x

•・nUk----,-----)

2525

③若四边形CAO'B'为平行四边形，如图4,

过点O'作O'F_Lx轴于点F,CB'交x轴于点H

VCB'/7AO',且CB'=AO'

.,.CB'=A0'=BC=4,ZCB'A=ZO'AB'=ZB=90°,ZAHB'=Z0'AF

在RtAABC与RtAAB'C中

fAC=AC

lBC=ByC

/.RtAABC与RtAAB'C(HL)

/.ZACB=ZACBr

•・・BC〃OA

/.ZACB=ZOAC

ZACBr=ZOAC

ACH=AH

设OH=h,则CH=AH=4-h

VRtACOII中，CO2+OH2=CH2

.\32+h2=(4-h)

解得：

8

79R

.\OH=—,CH=—,

88

同上可求：O'F=90,AF=—

2525

0F=0A+AF=4+丝

2525

./12896x

..0(---，--)

2525

综上所述，点O'的坐标为(孕，笑)或(挈96、

---------)

25252525

(3)如图5,VZB'=90°,AB'=3,B'M=—C'B"=2

2

AM=VABZ2+ByM2=7S2+22=V13

二当点M运动到线段CA延长线上时，CM最长，如图6,

•.,AC={OA240c2=5,

SAABC="--ABXBC——-ACXBN

22

19

；.BN=—

5

-

**•SAABM=­AM>DIMN-----------------

25

y

图1

7.【解答】解：(1)(a+2)2+7^3=0«则a=-2,b=3,

即点A、B的坐标分别为(-2,2)、(0,3),

2=2m+n_1

将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n得：(~解得：m=T,

ln=3n=3

故直线k的表达式为：y=/x+3；

(2)①当点P在0A上方时，

S&AOP=SAAOB»则点P在过点B且平行于0A的直线上,

该直线的表达式为：y=-x+3,

将点P坐标代入上式得：5=-m+3,

解得：m=-2,

故点P(-2,5)；

②当点P在0A下方时，

同理可得：点P(-8,5)；

故点P的坐标为(-2,5)或(-8,5)；

(3)直线y=2x-2分别交x轴、y轴于E、F两点，则点E、F的坐标分别为：(1,0)、(0,-2),

①当EF是平行四边形的一条边时，

当点M在点N的上方时，

点E向左平移1个单位向下平移2个单位得到F,

则点M左平移1个单位向下平移2个单位得到N,

„„I

即：m=n-l,-m=—n+1,

2

解得：m=-1,故点M(-1,1)；

当点M在点N的下方时，

同理可得：点M(-3,3)；

②当EF是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：m+n—1,-m+—n+3=-2,

解得：m=红，则点M(卫，一旦).

333

综上，点M坐标为：(-1,1)或(-3,3)或(旦，-里).

33

(_3

y7

8.【解答】解：(1)将两直线解析式联立得：《，一八，

解得：

(也，乌;

55

(2),.,PMLx轴，丫轴_1_乂轴，

・・.PM〃CQ,

当PM=CQ时，四边形MNCQ为平行四边形,

：.B(5,0),C(0,—),即0B=5,0C=—,

33

.,.CQ=0C-0Q=--(4t-5)-4t,

VOP=t,

与N横坐标为t,

，MN=PN-PM=-&+型-&=-空t+组

334123

.3525++20

3123

解得：t=鲤，

23

则当t="秒时，四边形MNCQ为平行四边形;

23

(3)①当点Q在0C上时，如图2,()Q=4t-5,MP=

VQM/70B,OQ〃PM,ZP0Q=90°,

二四边形POQM是矩形,

；.OQ=PM,

9

A4t-5=—t,

4

解得：t=察，

13

②当点Q在BC上时，如图3：

在ABOC中，

OC43

sinZ0BC=—,MP=—t,QB=20-4t,

BC54

在RtABPQ中，点Q到x轴的距离=€^1111(^=/

(20-4t),

5

点Q到x轴的距离为MP,即3t=•1(20-4t),

45

解得：t=空.

79

综上所述：当t=2色或1=奖•时，MQ/70B.

图3

9.【解答】解：（1）由已知得，FG=AF=2,FB=1

•.•四边形ABCD为矩形

.,.ZB=90°

=22=

BGVFG-FBV22-12=<^

：.G点的坐标为（3,4-V3）;

（2）设直线EF的解析式是y=kx+b

在RtABFG中，cosZBFG=—=—

FG2

.../BFG=60°

二NAFE=/EFG=60°

，AE=AFtan/AFE=2tan60°=2百

；.E点的坐标为（0,4-273）

又F点的坐标是（2,4）

/[b=4-2V3

l2k+b=4

解得k=E，b=4-2V3；

二直线EF的解析式为y=V3x+4-2A/3;

注：

求E点坐标方法二：过点E作EPLBC于点P,利用△BFGs^.PGE得到0E=4-2次，所以E（0,4-2次）;

求E点坐标方法三：过点E作EP1BC于点P,在Rt^GEP中，由勾股定理得EG2=Gp2+EP\得到OE=4-2«,

所以E（0,4-273）;

求E点坐标方法四：连接AG,证4AEG是等边三角形，得到0E=4-2，W所以E（0,

(3)若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形:

①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示.

过此点作MiH_Lx轴于点H,

VM1N1/7FG,

ZHN,M,=ZHQF,

又•；AB〃OQ,

NHQF=NBFG,

ZHNiMi=ZBFG

又•.,/MiHN尸NB=90°,MN=FG,

AMiHN.^AGBF,

.,.MiH=GB=V3，即yMi=V3-

由直线EF解析式y=«x+4-2百，求出而=3-g

o

Mi(3-—)；

o

②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示.

仿照与①相同的办法，可求得Mz(l-华■,-百)；

③FG为平行四边形的对角线，如图3所示.

过岫作FB延长线的垂线，垂足为H.

O

?.ZM31IF=ZGCN3=90,ZM3FH=ZGN3C,MF=GN3,

二△MFH丝△GNC,则有M3H=CG=4-弧,所以立的纵坐标为8-愿；

代入直线EF解析式，得到g的横坐标为1+年

_3

：.M3(1+-^-,8-后.

3

综上所述，存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形.

点M的坐标为:Mi(3-F),M2-73),M3(1+^1,8-V3).

333

10.【解答】解：（1）设直线m与y轴交于点E,

把A(15,0)代入y=-Lx+b,得

22

,-.OE=—

2

-'-AE=VoA2+OE2=yV5

,.,SAOA=—OA«OE=—AE«OD

E22

；.()D=OA.OE

AE

(2)VAOCD^AAOE

PC_OD

OA=IE

，B点坐标为（15,6）

•..点P是FB的中点

二点P的纵坐标为3

•Q—14.15

..3=--x+---

22

/.x=9

点坐标（9,3）设直线n的解析式为y=kx+b把B（15,6）和P（9,3）代入得:

（15k+b=6,解得

l9k+b=3

二直线n的解析式为y=^x--|；

（3）存在Qi（3,至），Q2（望，-3）.

2424

11.【解答】解：（1）由题意知NCA0=30°,

.,.ZOCE=ZECD=—Z0CA=30°,

2

.•.在RtaCOE中，OE=OC«tanZ0CE=V3X—=1,

3

...点E的坐标是（I,0）,

设直线CE的解析式为y=kx+b.

把点C（0,百），E（1,0）代入得飞，

lk+b=O

.[b=V3

TkS

二直线CE的解析式为y=-禽x+我.

(2)在RtZ\AOC中，AC=—————=2次,

sinZCAO

A0=——4——=3,

tanNCAO

.；CD=0C=F，

二AD=AC-CD=2我-百=愿,

过点D作DF_LOA于点F,

在RtZXAFD中，DF=AD・sinZCAO=—,

2

AF=AD»cosZCAO=—,

2

3

.,.OF=AO-AF=—.

2_

二点D的坐标是（3,5）.

22

(3)存在两个符合条件的M点，

第一种情况：此点在第四象限内，设为此，延长DF交直线CE于此,

连接MQ,