14.3 因式分解（原卷版）

2023-2024学年八年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）14.3因式分解1.理解因式分解的概念，理解和掌握提公因式法的有关概念和分解因式的方法；2.理解和掌握利用平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。一、提公因式法1.因式分解(1)定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。(2)因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形。即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性。【理解和拓展】①因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式；右边每个因式必须是整式。②因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解。③因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。2.公因式(1)定义：多项式的各项中都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式。(2)确定多项式的公因式的方法：确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂。最后，还要根据情况确定符号。3.提公因式法(1)定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。(2)提公因式的步骤①确定应提取的公因式。②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。③把多项式写成这两个因式的积的形式。【理解和拓展】①所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能再有公因式。②如果多项式的首项系数是负数，应先提出“-”号。③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为“1”，而不是“0”。分解因式口诀：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”。题型一判断是否是因式分解下列变形中，是因式分解的是（）A． B．C． D．1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．B．C．D．2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．题型二提公因式法分解因式分解因式：．1．已知，，则的值是．2．若，，则的值是．二、公式法1.用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即a²-b²=(a+b)(a-b)。这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来。(2)平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积。凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式。2.用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方，即(a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来。(2)完全平方公式的特点：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数乘积的2倍(乘积项)，符号可正也可负；右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号与左边的乘积项的符号相同。3.因式分解的一般步骤可归纳为“一提、二套、三试、四分、五查”。(1)一提是指如果多项式有公因式，那么应先提取公因式；(2)二套是指如果各项没有公因式，那么可尝试套用公式来分解因式；(3)三试是指如果以上两种方法不能分解，可尝试用其他方法(如十字相乘法等)来分解；(4)四分是指遇到多项式为四项及以上的情况时，可考虑分组分解的方法；(5)五查是指检查因式分解是否彻底，即要求分解后每个因式都不能再进行因式分解了。题型三平方差公式分解因式分解因式：．1．分解因式：．2．已知，，则的值是．题型四运用完全平方公式分解因式用完全平方公式填空：．1．因式分解：．2．已知，则．题型五综合运用公式法分解因式分解因式：．1．分解因式：．2．在实数范围内因式分解：．题型六十字相乘法分解因式分解因式：．1．分解因式．2．分解因式：．题型七分组分解法因式分解：．1．分解因式：．2．分解因式：．一、单选题1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．2．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（

）A． B．C． D．3．若，则的值为（）A． B． C．10 D．4．下列多项式能用平方差公式因式分解的是（

）A． B． C． D．5．下列分解因式正确的是（

）A． B．C． D．6．下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．7．当互为相反数时，代数式的值为（

）A．2 B．0 C． D．18．定义；如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称两个代数式为“相反式”，有下列四个结论：（1）代数式：的“相反式”是；（2）若与互为“相反式”，则的值为；（3）当时，代数式（，，，是常数的值为10，则它的“相反式”的值为；（4）无论取何值，代数式的值总大于其“相反式”的值，则的取值范围为．其中正确的结论个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．在实数范围内因式分解：10．若，则．11．已知：，，，则．12．甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为．三、解答题13．因式分解．(1)；(2)．14．已知．(1)求和的值；(2)已知，求的值．15．有些多项式不能直接运用提取公因式法等方法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的．例如：．根据上面的方法因式分解：(1)；(2)．16．观察下列式子：；；；(1)上面整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含、的字母表示）不用证明；(2)直接用你发现的公式写出计算结果：______；(3)分解因式：．17．阅读以下材料：材料：因式分解：．解：将“”看成整体，，则原式，再将“A”还原，得原式，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：；(2)求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于0的数．18．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式．解题过程如下：．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)若a，b为非零实数，，且，求的值．19．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释如图，有足够多的A，B，C三种纸片：A种是边长为的正方形，B种是边长为的正方形，C种是宽为，长为的长方形．用A种纸片张，B种纸片张，C种纸片张可以拼出（不重不漏）如图所示的正方形．根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法，反过来也可以解释多项式，因式分解的结果为，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：(1)若多项式表示分别由，，张A，B，C三种纸片拼出如图所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式进行因式分解；(2)我们可以借助图再拼出一个更长方形，使该长方形刚好由张A种纸片，张