2023年广东省云浮市罗定区中考二模数学试题（ 含答案解析 ）

2023年初中毕业生学业水平调研测试九年级数学本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倒数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义可得答案.【详解】解：的倒数是，故选：A．【点睛】本题考查的是倒数的含义，熟记倒数的定义是解本题的关键.2.地球到太阳的距离约为150000000千米，这个数用科学记数法表示为（

）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数；【详解】解：，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法，注意的值的确定方法，当原数大于时，等于原数的整数数位减，按此方法即可正确求解．3.如图的几何体是一个空心圆柱，以下给出这个几何体的两种视图正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正视图可排除A与C，利用俯视图可排B，符合要求便可知．【详解】主视图是从前向后看，由于几何体是一个空心圆柱，看到两个实圆，即圆环，则A、C不正确，俯视图是从上向下看是长方形，空心圆柱有厚度，但看不到用虚线长方形画在实长方形的里边，则B不正确，D正确．故选择：D．【点睛】本题考查正视图与俯视图，立体图形的视图问题，掌握三视图的概念，会用视图选图是解题关键．4.在不透明的袋子里装有个红球、个白球、个黑球，它们除颜色外都相同，从袋子中任意摸出个球．下列判断正确的是（）甲：摸到红球比摸到白球的可能性小；乙：摸到红球和摸到黑球的可能性相同A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对【答案】C【解析】【分析】根据个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．【详解】解：依题意，个红球、个白球、个黑球，白球的个数最多，∴摸到红球比摸到白球的可能性小，故甲正确；摸到红球和摸到黑球的可能性相同，故乙正确；故选：C．【点睛】此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等得出是解题关键．5.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【详解】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵，∴是等边三角形，∴点重合，∴符合条件的点P有2个；故选B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6.若式子有意义，则x的取值范围是（）A. B.且 C.且 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分母不为0，被开方数大于或等于0，解不等式即可．【详解】解：依题意得：且，解得且．故选C．7.已知m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，则m2-5n+2021＝（）A.2020 B.2021 C.2045 D.4042【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2+5m+1=0，化简m2-

5n+

2021得到m2-

5n+

2021=-5m-1-5n+2021=-5

(m+n)

+2020，

再根据根与系数的关系得到m+n=-5，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵m为方程x2

+5x+

1=0的根，∴m2+5m+1=0，∴m2=-5m-1，∴m2-

5n+

2021=-5m-1-5n+2021=-5

(m+n)

+2020，∵m，n是方程x2

+5x+

1=0两根，∴m+n=-5，∴m2-5n+2021=-5×

(-5)

+2020=2045．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，

x2是一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的两根时，x1+x2=-，x1x2=，也考查了一元二次方程根的相关问题．8.已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加入，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组（）A.少6天 B.少8天 C.多3天 D.多6天【答案】B【解析】【分析】题目主要考查分式方程的应用，设乙组单独完成此顶工程需要x天，根据题意列出方程求解即可，注意进行检验．【详解】解：设乙组单独完成此顶工程需要x天，依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．故选：B．9.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【详解】解：A、一次函数y=ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②∠DEB＝45°，③AE＝CE+2BD，④若∠CAE＝30°，则，正确的有（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】①②只要证明△ADF≌△CDB即可解决问题．③如图1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，想办法证明AE−CE＝BC＋EF−EC＝EF＋BE＝2DN＜2BD，即可．④如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．想办法证明△BFH是等边三角形，AC＝AH即可解决问题．【详解】解：∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠AFD＝∠CFE，

∴∠DAF＝∠DCB，

∵AD＝DC，

∴△ADF≌△CDB，

∵AF＝BC，DF＝DB，故①正确，

∴∠DFB＝∠DBF＝45°，

取BF的中点O，连接OD、OE．

∵∠BDF＝∠BEF＝90°，

∴OE＝OF＝OB＝OD，

∴E、F、D、B四点共圆，

∴∠DEB＝∠DFB＝45°，故②正确，

如图1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，∵△ADF≌△CDB，∴，，∵，∴△DMF≌△DNB，∴，∵，∴四边形DMEN是矩形，∵，∴四边形DMEN是正方形，

∴MF＝BN，EM＝EN，

∴EF＋EB＝EM−FM＋EN＋NB＝2EM＝2DN，

∵AE−CE＝BC＋EF−EC＝EF＋BE＝2DN＜2BD，

∴AE−CE＜2BD，即AE＜EC＋2BD，故③错误，

如图2中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N．∵△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，

∴FM＝BN，EM＝EN＝DN，

∴EF＋EB＝EM−MF＋EN＋BN＝2EN＝2DN≤2BD，

∵AE−EC＝ADF＋EF−EC＝BC_EF−EC＝EF＋BE≤2BD，

∴AE≤EC＋2BD，故③错误，

如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．

∵∠CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°，

∴∠DAF＝15°，∠AFD＝75°，

∵∠DFB＝45°，

∴∠AFB＝120°，

∴∠BFH＝60°，

∵FH＝BF，

∴△BFH是等边三角形，

∴BF＝BH，

∵BC⊥FH，

∴FE＝EH，

∴CF＝CH，

∴∠CFH＝∠CHF＝∠AFD＝75°，

∴∠ACH＝75°，

∴∠ACH＝∠AHC＝75°，

∴AC＝AH，

∵AF＋FB＝AF＋FH＝AH，

∴AF＋BF＝AC，故④正确，

故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可．【详解】解：m2-4m=m(m-4)．故答案为：m(m-4)．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12.已知一个角的补角比这个角的一半多，则这个角的度数为____________.【答案】100°【解析】【分析】设这个角的度数为x°，则这个角补角的度数为(180-x)°根据一个角的补角比这个角的一半多，列出方程即可．【详解】解：设这个角的度数为x°，根据题意可得，，解得x=100.故答案为100°.【点睛】本题考查了邻补角的定义，如果两个角有一条公共边，其余两边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角，互为邻补角两个角的和等于180°.13.若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得答案．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵关于x的不等式组无解，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形斜边在轴的负半轴上，顶点在反比例函数（）的图象上，若的面积为4，则的值是______．【答案】【解析】【分析】过点A作交x轴于F，利用等腰直角三角形性质可得，根据，求得的面积，应用的几何意义求k．详解】解：如图，过点A作交x轴于F，∵，，，∴，∴，∴∵顶点在反比例函数（）的图象上∴，∵反比例函数（）的图象在二象限，∴故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，知道是解题的关键．15.如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为__．【答案】4【解析】【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点的运动路线，并确定最小时点所在位置，再求出的长度即可．确定点的运动路线是解题的关键．【详解】解：∵沿折叠，得到，∴，∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，设以B为圆心6为半径的圆与交于点，则，的最小值为的长；在中，∵，，∴，∴，∴的最小值为4，故答案为：4．三、解答题（共8小题，满分75分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角形函数值，绝对值的运算法则求解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，正确计算是解题的关键．17.先化简，再求值（化简后在数字0，，1，2中选择一个你喜欢的x的值代入计算）．【答案】；选择时，值为1（或选择时，值为）【解析】【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得．【详解】解：原式，∵，，，，则选择时，原式，选择时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．18.2022年虎年新春，中国女足逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？【答案】（1）100，图见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据篮球的人数和占所占的百分比求出总人数，用总人数减去其它项目的人数，即可求出足球的人数，从而补全统计图；（2）用“羽毛球”的人数除以总人数再乘以即可求出扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数的值；（3）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和同时选中甲和乙的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：根据题意得本次被调查的学生人数（人），喜爱足球的人数为：（人），条形图如图所示，故答案为：100；【小问2详解】解：“羽毛球”人数所占比例为：，所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数，故答案为：；【小问3详解】解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，∴P（A、B两人进行比赛）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的图形（2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形，并直接写出点的坐标；【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，坐标是（6，4）．【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点连线即可；（2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【小问1详解】解：如图，△A1B1C1为所作，点C1点的坐标为（﹣3，2）；【小问2详解】解：如图，△A2B2C2为所作，点C2点的坐标为（6，4）．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．20.如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．（2）点P是x轴上一动点，当值最小时，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数表达式为（2）【解析】【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得，从而可得反比例函数表达式；再求出点、坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．求出直线的解析式后令，即可得到点坐标．小问1详解】解：四边形为矩形，，，．由中点坐标公式可得点坐标为，反比例函数的图象经过线段的中点，，故反比例函数表达式为．令，则；令，则．故点坐标为，．设直线的解析式为，代入、坐标得：，解得：，故一次函数的解析式为．【小问2详解】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．如图．由坐标可得对称点，设直线的解析式为，代入点、坐标，得：，解得：．则直线的解析式为，令，则．点坐标为，．故答案为：，．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．21.河南灵宝苹果为中华苹果之翘楚，被誉为“中华名果”．某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果．已知2箱红富士苹果的进价与3箱新红星苹果的进价的和为282元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元．（1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？（2）如果购进红富士苹果有优惠，优惠方案是：购进红富士苹果超过20箱，超出部分可以享受七折优惠．若购进（，且为整数）箱红富士苹果需要花费元，求与之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在红富士、新红星两种苹果中选购其中一种，且数量超过20箱，请你帮助超市选择购进哪种苹果更省钱．【答案】（1）每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是60元和54元；（2）；（3）见详解．【解析】【分析】（1）设每箱新红星苹果的进价是x元，则每箱红富士苹果的进价为x+6元，然后列方程即可解答；（2）分别列出和时与之间的函数关系式即可；（3）列出购进新红星苹果的花费，列不等式即可解决.【详解】解：（1）设每箱新红星苹果的进价是x元，则每箱红富士苹果的进价为x+6元，根据题意可列方程为，解得，54+6=60，每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是60元和54元；（2）当时，，当时，，∴（3）设购进苹果为b箱，购进新红星苹果的花费为z元，，，若时，解得，即，此时购进新红星苹果更省，若时，解得，此时购进红富士苹果更省，若时，解得，此时购进两种苹果费用相同．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次方程和不等式的应用，正确得出函数关系式是解题关键．22.如图，A，B，C是上的三点，且，，点D为优弧上的动点，且．（1）如图1，若，延长到F，使得，连接，求证：是的切线；（2）如图2，若的角平分线与相交于E，求的半径与的长；（3）如图3，将的边所在的直线绕点A旋转得到，直线与相交于M，N，连接．在运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．【答案】（1）见解析（2）的半径为，（3）在运动的过程中，的值不发生变化，其值为25【解析】【分析】（1）连接，先证，推出，得到四边形是平行四边形，，再得到，即可证得结论；（2）连接交于H，连接，由垂径定理得，根据，求出，设的半径为x，则，，在中，由勾股定理求出，的半径为，根据角平分线定义及同弧所对圆周角相等得到，由此得到；（3）连接，并延长交于Q，连接，过点A作于P，证明，得到，由（2）可知，点A到直线的距离为3，直线绕点A旋转得到，A到直线的距离始终等于3，不会发生改变，由此得到．【小问1详解】证明：连接，如图1所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；图1【小问2详解】解：连接交于H，连接，如图2所示：∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，设的半径为x，则，，在中，由勾股定理得：，解得：，∴的半径为，∵平分，∴，∵，∴，∴；图2【小问3详解】解：连接，并延长交于Q，连接，过点A作于P，如图3所示：则是的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）可知，点A到直线的距离为3，直线绕点A旋转得到，∴点A到直线的距离始终等于3，不会发生改变，∴，∵，∴，∴在运动的过程中，的值不发生变化，其值为25．图3【点睛】此题考查锐角三角函数，证明直线是圆的切线，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，等知识，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且∠OBC＝30°，OB＝3OA．（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式；（2）点P为直线B