河北省沧州市泊头市高三联考2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（含答案）

沧州市普通高中2024届高三年级教学质量监测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，集合．则（）A．B．C．D．2．若复数．其中，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知等比数列的公比为q，则“”是“数列为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）A．18B．24C．36D．485．已知体积为1的正四棱台上、下底面的边长分别为，若棱台的高为，则（）A．B．C．D．6．已知定义域为R的函数满足，当时，，则（）A．B．2C．D．37．已知的外接圆圆心为O．且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．8．已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列不等关系成立的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则下列结论正确的是（）A．B．直线AE到平面的距离为2C．点B到直线的距离为D．平面AEC，截正方体的截面的面积为11．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．阅读量人数学生类别性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下列推断正确的是（）A．这200名学生阅读量的平均数大于25本B．这200名学生阅读量的中位数一定在区间内C．这200名学生中的初中生阅读量的75%分位数可能在区间内D．这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数一定在区间内12．已知圆与圆的公共弦长为，直线l与圆相切于点P，M为l上一点，且满足，则下列选项正确的是（）A．B．点M的轨迹方程是C．直线l截圆所得弦的最大值为D．设圆与圆交于A，B两点，则的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则_______．14．的展开式中，的系数为_______．15．已知P是椭圆上一点，且在x轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为_______．16．已知是定义域为的可导函数，是的导函数，若（e为自然对数的底数），则在上的最大值为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求角B；（2）若．且，求．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，M是的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）比亚迪，这个在中国乘用车市场崭露头角的中国品牌，如今已经在全球汽车品牌销量前十中占据一席之地．这一成就不仅是比亚迪的里程碑，更是中国新能源汽车行业的里程碑，标志着中国已经在全球范围内成为了新能源汽车领域的强国．比亚迪旗下的宋plus自2020年9月上市以来，在SUV车型中的月销量遥遥领先，现统计了自上市以来截止到2023年8月的宋plus的月销量数据．（1）通过调查研究发现，其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等，影响了汽车的月销量，现将残差过大的数据剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月销量y（单位：万辆）和月份编号x的成对样本数据统计．月份2022.82022.92022.122023.12023.22023.32023.42023.62023.72023.8月份编号12345678910月销量（单位：万辆）4.254.594.993.563.723.012.462.723.023.28请用样本相关系数说明y与x之间的关系可否用一元线性回归模型拟合?若能，求出y关于x的经验回归方程：若不能，请说明理由．（运算过程及结果均精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合）（2）为庆祝2023年“双节”（中秋节和国庆节），某地4s店特推出抽奖优惠活动，奖项共设—、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励1万元，5千元、2千元，抽中一等奖，二等奖、三等奖的概率分别为，现有甲、乙两人参加了抽奖活动（每人只有一次抽奖机会），假设他们是否中奖相互独立，求两人所获奖金总额超过1万元的概率．参考公式：样本相关系数，参考数据：．21．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，其中A，B两点的横坐标之积为．（1）求p的值；（2）若在x轴上存在一点，满足，求k的值．22．（本小题满分12分）已知函数（e为自然对数的底数）．（1）当时，求函数的极值；（2）证明：，当时，．沧州市普通高中2024届高三年级教学质量监测数学参考答案题号123456789101112答案CDDBAABBBCABDABBC1．C解析：∵，∴．∵，∴．故选C．[命题意图]集合是高考必考内容，该题考查集合的运算．该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查．考查学生的运算求解能力．2．D解析：由题知，．则．因此复数z对应的点在第四象限．故选D．[命题意图]复数是高考的必考内容．该题考查复数的几何意义，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查．考查学生的运算求解能力．3．D解析：对于充分性，当时．数列不具有单调性．故充分性不成立；对于必要性，当数列为递减数列，若．则．故必要性不成立，故选D．[命题意图]数列是高考的必考内容．该题考查数列的单调性．该题从数学素养上体现对学生数学逻辑推理素养的考查．考查学生的逻辑推理能力．4．B解析：当第一棒为丙时，排列方案有种；当第一棒为甲或者乙时，排列方案有种．故不同的传递方案有24种．故选B[命题意图]计数原理是高考的必考内容，该题考查分类加法计数原理及分步乘法计数原理，该题从数学素养上体现对学生数学逻辑推理素养的考查，考查学生的逻辑推理能力．5．A解析：由题知．四棱台的体积．所以．故选A．[命题意图]立体几何是高考的必考内容．该题考查棱台的体积公式，该题从数学素养上体现对学生数学直观想象素养的考查，考查学生的直观想象能力．6．A、解析：∵，∴为奇函数．∵∴，因此的周期为6，由．得，∴，故选A．[命题意图]函数是高考的必考内容．该题考查函数的奇偶性和周期性，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．7．B解析：∵．∴O为BC的中点．且，则为直角三角形．，则向量在向量上的投影向量为．故选B．[命题意图]向量是高考的必考内容，该题考查向量的线性运算和投影向量，投影向量是新教材增加的内容，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．8．B解析：由题意可知．．渐近线方程为，不妨设为．则过F且与平行的直线为，联立解得，则，由D，B，F三点共线得，解得，因为点B在双曲线上，则，化简得，则．故选B[命题意图]双曲线是高考的必考内容，该题考查双曲线的离心率，该题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查．考查学生的逻辑推理能力．9．BC解析：当时，，故A错误；当时，，当时，，当时，，故BC正确；当时，满足，但，故D错误．故选BC．[命题意图]不等式性质是高考的必考内容，该题考查不等式的性质，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的数学运算能力．10．ABD解析：对A选项，因为，则．故A正确；对B选项，由题意可得．直线平面，所以直线AE到平面的距离为点A到平面的距离．即为2．故B正确；对C选项，在中，，则点B到直线的距离为．故C错误；对D选项．取CD的中点G．则截面为菱形．其面积，故D正确，故选ABD．[命题意图]立体几何是高考的必考内容．该题考查立体几何及空间向量的内容，该题从数学素养上体现对学生直观想象素养的考查，考查学生的空间想象能力．11．AB解析：对A选项．由表中数据可知．男生的平均阅读量为24.5本，女生的平均阅读量为25.5本，而男生97人．女生103人，故这200名学生的平均阅读量大于25本，故A正确；对B选项，由于．阅读量在内有15人，在内有60人，在内有51人，故这200名学生阅读量的中位数一定在区间内．故B正确；对C选项，设在区间内的初中生有x人．由于在内有15人．故．．而．故C错误；对D选项，当时，初中生共有人，25%分位数为第29个与第30个的平均数．因此在区间内，当时，初中生共有人，25%分位数为第33个数，因此在区间内，故D错误，故选AB．[命题意图]统计是高考的必考内容，该题考查样本的数字特征及新教材增加的百分位数，该题从数学素养上体现对学生数据分析素养的考查．考查学生的数据分析能力．12．BC解析：对A选项．由题知．两圆相减得．由弦长为．得，因此，故A错误；对B选项，设M的坐标为，由，可得，故B正确；对C选项，不妨取，设P的坐标为．则直线l的方程为，则到直线l的距离，∵，∴，则弦长，故C正确；对D选项．取AB中点为D．则．记圆心坐标O，．则，∴，故D错误，故选BC．[命题意图]直线与圆是高考的必考内容．该题考查直线与圆，圆与圆的位置关系．该题从数学素养上体现对学生数学直观想象素养的考查．考查学生的空间想象能力．13．解析：由已知得．则．[命题意图]三角恒等变换是高考的必考内容，该题考查二倍角公式和弦化切公式，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．14．1680解析：由二项式定理知．的展开式中项为．[命题意图]二项式定理是高考的必考内容．该题考查求特定项的系数．该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查．考查学生的运算求解能力．15．解析：由题可知，则直线的方程为，代入椭圆方程中．消去x，得．解得或（舍），则．[命题意图]椭圆是高考的必考内容，该题考查椭圆的定义和求焦点三角形的面积．该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．16．2解析：∵，∴，∴，由，得．则．∴，∴在上单调递增，在上单调递减．故最大值为．[命题意图]函数与导数是高考的必考内容，该题考查导数的运算及构造函数，该题从数学素养上体现对学生数学抽象素养的考查，考查学生的数学抽象能力．17．解：（1）设数列的公差为d，则，解得，（3分）∴，∴数列的通项公式为，数列的通项公式为．（5分）（2）由题可知（7分）则（10分）[命题意图]数列是高考的必考内容，该题考查等差数列，等比数列的通项公式和数列求和，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查．考查学生的运算求解能力．18．解：（1）在中，由正弦定理，得，∵为锐角三角形，∴．（4分）（2）在中，由余弦定理得，即，解得或．．（6分）当时，，则，与为锐角三角形矛盾，则∴，∴为等边三角形．（9分）在中，由正弦定理，得解得．（12分）[命题意图]解三角形是高考的必考内容，该题考查正、余弦定理，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．19．解：（1）以B为坐标原点．BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．，（2分）∴．（4分），∴．∴．（6分）（2）设平面的法向量为．∴，∴，令，得．（8分）设平面的法向量为∴，∴，令．得，（10分）∴．所以平面与平面夹角的余弦值为．（12分）[命题意图]立体几何是高考的必考内容，该题考查直线与直线的位置关系和平面与平面的夹角，该题从数学素养上体现对学生数学直观想象素养的考查，考查学生的直观想象能力．20．解：（1）根据表格数据，得，（2分）∴样本相关系数∵，∴该模型可以用一元线性回归模型拟合，（5分）∴．∴，（7分）∴．（8分）（2）设两人所获奖金总额为X万元，获奖金额X的所有可能取值为0.4，0.7，1，1.2，1.5，2，所以，故两人所获奖金总额超过1万元的概率为（12分）[命题意图]回归分析是高考的必考内容．该题考查一元线性回归模型和求相互独立事件概率．该题从数学素养上体现对学生数据分析素养的考查，考查学生的数据分析能力，