新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 双曲线的定义的应用（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．C【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围．【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.根据双曲线定义可知，所以

由焦点在y轴上，所以，且到点的距离比较大所以即曲线方程为故选：C.2．B【分析】根据双曲线的定义，得到点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，进而求得双曲线的渐近线方程，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，点且满足，根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，其中，可得，则，可得双曲线的渐近线方程为，又因为点满足方程，即，结合双曲线的几何性质，可得，即的取值范围是.故选：B.3．C【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.故选：C.4．A【分析】由以为直径的圆经过点得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.【详解】由题意得，设，则，，，，在中，由勾股定理得，解得，则，，在中，由勾股定理得，化简得，所以的离心率，故选：A.5．C【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由题意可知，，所以，解得，所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．由双曲线的定义，知①，②，由①②，得，又，所以的周长为．故选：C.6．B【分析】设点，根据题意得，进而与双曲线方程联立得，即可得答案.【详解】设点，由双曲线可知、，∵，∴，∴，代入双曲线方程，∴，∴，∴，∴到轴的距离是．故选：B．7．B【分析】分类讨论的位置，根据双曲线的定义和余弦定理列式可求出结果.【详解】当在双曲线左支上时，，又，所以，所以，即，整理得，此方程不成立.当在双曲线右支上时，，又，所以，所以，即，整理得，得，所以或（舍去），所以C的离心率为.故选：B8．C【分析】不妨设点在第一象限，根据双曲线的定义得到，再由，得到，进而求得，结合面积公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.故选：C.9．B【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.【详解】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.故选：B.10．A【解析】设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.【详解】由双曲线可得．设，．则，，所以，．因为是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周长．故选：A．【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.11．D【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出．【详解】设，.由，的面积为，可得，∴①由离心率为，可得，代入①式，可得.故选：D.12．D【分析】设，可得出，，在中，利用余弦定理可得出关于的方程，结合可求得该双曲线的离心率.【详解】如下图所示，设，由双曲线的定义可得，则，所以，，在中，，整理可得，即，，解得.故选：D.13．A【分析】利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答.【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，因，由双曲线定义得，解得，，显然有，即是直角三角形，所以的面积.故选：A14．B【分析】由双曲线的定义即可求出的周长.【详解】设，，由题意可得，由双曲线的定义可得，，则的周长是.故选：B.15．A【分析】记，，根据双曲线定义结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得答案.【详解】记，，，∵，∴，在中，由余弦定理得，配方得，即，∴，由任意三角形的面积公式得，∴，而，，，故选：A.16．C【分析】根据双曲线方程，写出a，b，c，不妨设点P在第一象限，，若为直角三角形，分和两种情况讨论，结合双曲线的性质即可得出正确选项.【详解】解：因为双曲线，所以，不妨设点P在第一象限，则，若为直角三角形，当时，则，又，即，所以，，所以，所以的周长是，的面积是；当时，设，代入方程解得（负值舍去），所以，故，所以，所以的周长是，的面积是6，综上所述，若为直角三角形，则的周长是或8，的面积是3或6，故A、B错误；若为锐角三角形，根据上述，则的取值范围是，故C正确；若为钝角三角形，根据上述，则的取值范围是，故D错误.故选：C.17．C【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得，，再在中运用余弦定理建立关于a，b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.【详解】解：由，设，由得，，所以，，又得，，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，故选：C.18．B【分析】设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为，则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率.【详解】设双曲线的左焦点、右焦点，设双曲线的一条渐近线方程为：，可得直线的方程为：，由可得：，即，设，，可得，即，整理可得：，即，由双曲线的定义可得：，所以，设直线的倾斜角为，在中，，，，所以，所以，所以，整理可得：，解得：或（舍），所以双曲线的离心率为，故选：B.19．C【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.故选：C.20．A【分析】先确定，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以.故选：A.21．C【分析】设，.根据圆锥曲线定义与勾股定理可得，从而可得，结合，可得结果.【详解】设，.在椭圆中，，所以.在双曲线中，，所以，所以，即，得，即.因为，所以，解得.故选：C22．C【分析】利用双曲线的定义和三角形的周长即得．【详解】由题可得，则的周长为.故选：C．23．D【分析】设，根据题意可得，由双曲线定义得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．【详解】易知共线，共线，如图，设，则.因为，所以，则，则，又因为，所以，则,在中，，即，所以.故选：D24．A【解析】根据，得到三角形为直角三角形，再利用直角三角形内切圆切线长定理，求得半径，再根据内切圆的半径为，建立方程求解.【详解】如图所示：因为，所以三角形为直角三角形，故它的内切圆半径，所以故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及直角三角形内切圆问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.25．C【解析】如图，设，，由双曲线定义知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面积法即可求得【详解】由题意，双曲线中，如图，设，，由双曲线定义知两边平方得：在中，由余弦定理可得：，即两式相减得：，即利用等面积法可知：，即解得故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设，分别为椭圆的左，右焦点，点为椭圆上的一点，且，则椭圆焦点三角形面积（2）设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点，且，则双曲线焦点三角形面积26．C【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得为等边三角形，从而得，然后在中，利用余弦定理化简可得到，从而可求出离心率的值.【详解】设，则，设，则由双曲线的定义得，，解得，所以，，，，所以为等边三角形，所以，则，在中，由余弦定理得，,即，化简得，，所以双曲线的离心率为，故选：C.27．D【分析】利用双曲线的定义以及已知条件，结合勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．【详解】依题意得，，，得，又因为到直线的距离为，由，得，所以．故答案为：2．【点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质的应用，是基本知识的考查．28．C【分析】由题意，得，根据双曲线方程，可得，从而可表示出，设圆的半径为，利用等面积法计算出，从而代入公式求解面积.【详解】如图，因为圆，分别为与的内切圆，轴，所以，由题意，，所以，由通径可得，再由双曲线的定义可知，设圆，圆的半径为，由等面积法可得，即，得，所以，故四边形的面积为.故选：C【点睛】关于三角形内切圆的半径的计算通常采用等面积法，计算出三角形的周长，底边长与高，再利用面积相等列式计算.29．B【分析】由的周长为，结合双曲线的定义和对称性得到，，再由为的中点，得到为等边三角形求解.【详解】如图所示：由对称性可知，因为的周长为，所以，又，所以，．因为为的中点，所以，则为等边三角形，所以，，．又因为，所以在中，．所以，，即双曲线的渐近线方程为．故选：B30．D【分析】由M是三角形外心可得，根据圆周角与圆心角关系得∠F1PF2＝，根据余弦定理、双曲线的定义得，由三角形面积公式，即可确定的数量关系，写出渐近线方程即可.【详解】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即，∴，而，∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．故选：D．【点睛】关键点点睛：利用外接圆的性质求∠F1PF2，由余弦定理、双曲线的定义及三角形面积公式求焦点三角形的面积，进而确定双曲线参数的数量关系.31．D【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可.【详解】解：由可知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，，，，.所以动点的轨迹方程是.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义，求双曲线的标准方程，属于基础题.32．B【分析】取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率.【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，.故选：B.33．D【分析】根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.【详解】∵，，∴，∴，∴的周长为．故选：D34．C【解析】先根据双曲线方程得到，，，设，，可得，.由，在根据余弦定理可得:，即可求得答案.【详解】，所以，，，在双曲线上，设，，①由，在根据余弦定理可得:故②由①②可得，直角的面积故选：C.【点睛】思路点睛：在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.35．CD【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.【详解】对于A：若，则.因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：二者联立解得：.故A错误；对于B：光由所经过的路程为.故B错误；对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.故C正确.对于D：设直线PT的方程为.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正确故选：CD36．ACD【分析】对于：根据题意可得，则点的轨迹是以，为焦点的椭圆，即可判断是否正确；对于：根据题意可得，则的轨迹为以点，为焦点的双曲线，其中，，进而可得双曲线的方程，即可判断是否正确；对于：根据题意可得点的轨迹是以，为焦点的双曲线及方程，进而可得离心率，即可判断是否正确．对于：根据题意可得的轨迹方程为，设，直线的方程，它与的交点的坐标，即可计算是否为定值，即可判断是否正确．【详解】解：当时，点在圆内，此时有故的轨迹是以为焦点的椭圆，故A正确；当时，点在圆外，此时有，故的轨迹是以为焦点的双曲线，其中故双曲线方程为故错误；当时时的轨迹是以为焦点的双曲线，方程为，所以离心率，当时4，故正确；当时，的轨迹方程为，设则，直线的方程为，它与的交点的坐标为，所以所以为定值，故正确.故选：ACD.37．ACD【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式求解，对于B，由焦点三角形的面积公式求出，再由以双曲线的定义和勾股定理列方程组可求得结果，对于C，当为直角三角形时，求出临界值进行判断，对于D，利用相关点法结合重心坐标公式求解【详解】由，得，则焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确．当S＝4时，，由，可得，故B错误．当时，S＝4，当时，，因为为锐角三角形，所以，故C正确．设，则，由题设知，则，所以，故D正确．故选：ACD38．AB【分析】对选项A，由题意列式得，即可求得；对选项B，利用等边三角形的性质求解得，，即可得；对选项C，可得，即可判断，对选项D，举出反例即可判断.【详解】由题意，对于选项A，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故选项A正确；对于选项B，因为，解得，所以，所以，故选项B正确；对于选项C，由题意可得显然不等，故选项C错误；对于选项D，若为右顶点时，则为坐标原点，此时，故选项D错误.故选：AB.【点睛】关于双曲线的离心率的求解，一般需要先列关于的等式或者不等式，从而求解出离心率的范围；关于双曲线的焦点三角形的应用，一般需要用到双曲线的定义以及余弦定理列式来求解.39．BCD【分析】由双曲线的标准方程得出，然后求出离心率判断A，结合双曲线的性质判断B，然后结合双曲线的定义判断C,D.【详解】对于A：，∴A错误；对于B：的最小值为，B正确；对于C：如图，的周长（当且仅当Q，P，三点共线时取等号），C正确；对于D：如图，设的内切圆分别与，，切于点A，B，D，则，，，∴.又，∴，∴，∴M点的纵坐标为3，D正确.故选：BCD.40．ABD【分析】对于A，先求出点坐标，求出和的坐标，即可计算；对于B，将点坐标代入双曲线的方程，建立与的齐次方程即可求出离心率；对于C，代斜率的坐标计算公式化简可求，对于D，分别化简，，，结合与的数量关系即可判断【详解】因为为正三角形，所以所以，所以故A正确将点坐标代入双曲线方程可得即即即即设（），则解之得：或（舍）所以，所以故B正确故C错误设的内切圆半径为，则，，所以，即，故D正确故选：ABD41．【分析】根据向量的线性运算可得，再根据焦点三角形中的关系可得，再根据等腰三角形的性质可列式求得离心率，进而求得渐近线的方程.【详解】因为，故，即，故，根据双曲线的定义有，故，又直线斜率为，故，所以，根据等腰三角形的性质有，即，解得，故.故双曲线的渐近线方程为故答案为：42．【分析】根据余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.【详解】不妨设点P在双曲线的右支上，则，，在△F1PF2中，由余弦定理，，∴，∴.故答案为：.43．【解析】根据渐近线方程得斜率可得，根据双曲线的定义以及勾股定理可得，可得，，从而可得双曲线的方程．【详解】设，则由渐近线方程为，，又，所以两式相减，得，而，所以，所以，所以，，故双曲线的方程为．故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查转化能力与运算能力，属中档题．44．9【分析】建立直角坐标系，由题意结合双曲线的定义可得点的轨迹方程为，转化条件得，由求出最大值后即可得解.【详解】以所在直线为轴，的中垂线为轴，如图建立直角坐标系，则，，由得点的轨迹方程为，所以，设，则，因为，所以，所以的最大值为9.故答案为：9.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算法则及向量模的坐标表示，考查了双曲线定义的应用，属于中档题.45．【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，，由余弦定理可得：即，解得，因为，所以，，可得，故，故答案为：46．3【分析】在中，设，则或．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得．在中，设，则或．当时，由余弦定理，得，解得，所以．当时，由余弦定理，得，无解．故．故答案为：3.47．(1)3(2)【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，根据根与系数的关系可求得弦长；（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.(1)解：因为双曲线的焦点为，所以，设．联立，整理得：，.(2)解：记的周长为，则．，又得．点在右支，故．同理：点在左支，．48．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据三角形面积公式及双曲线定义化简可得，求出即可得出方程；（2）利用导数的几何意义求出切线斜率并化简可得，求出切线及切线与直线的交点，利用两点间距离公式并结合双曲线方程化简可得.（1）设的内切圆半径为r，则，因为，所以，即，可得，所以，由双曲线的定义和几何性质，得，又，解得，所以的方程为.（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为.由可得由题意知.若点P在双曲线右支的上半支上，则所以，故因为,所以,若点P在双曲线右支的下半支上，则同理可得综上，，代入直线l的方程得,即，由，可得，所以直线l的方程为,即因为直线的方程为x=2，所以直线l与直线的