2015年数学高考数列压轴题预测及详解

2015年数学高考数列压轴题预测及详解

2

1.已知数歹ij｛a”｝为等差数歹U，每相邻两项小，以+i分别为方程工2-4人工+——=0,(k

ck

是正整数)的两根.

⑴求｛册｝的通项公式；

(2)求C|+c2+---+cn+…之和；

(3)对于以上的数列｛a,J和｛品｝，整数981是否为数列｛—%｝中的项？若是，则

C.

求出相应的项数；若不是，则说明理由.

2.已知二次函数y=/(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)=6x-2,数列他“｝的

前n项和为S“，点(",5“)(〃€"*)均在函数>=/(x)的图像上.

(I)求数列｛6｝的通项公式；

3/2

(II)设a=」一，7；是数列出,｝的前n项和，求使得Tn<—对所有〃eN*都

%%+120

成立的最小正整数m.

3.已知函数/(x)=(x—1)2,数列｛4｝是公差为d的等差数列，数列｛%｝是公比为。的等

比数列(qWl,qeR),若q=/(d+1),1=(q+l),b3=

(1)求数列｛4｝和｛"｝的通项公式；

(2)设数列｛c“｝的前n项和为S,，对〃eN+都有幺土R■+…+%=%川求

瓦+&b,

lim^i±L.

…S2n

4.各项均为正数的数列｛&｝的前〃项和S”函数/(x)=gpx?-(p+q)x+qlnx.

(其中P、(?均为常数，且P>qX)),当x=%时，函数f(x)取得极小值，点

(〃,25“)56/7*)均在函数了=20/一幺+/'*)+4的图象上，(其中F'(x)是函数

x

/(-¥)的导函数)

(1)求国的值;

(2)求数列｛*｝的通项公式；

4s

n

⑶记bn=—°.q，求数列｛么｝的前n项和T,,.

”+3

5.已知函数/(x)在(-1,1)上有意义,/《)=-1,且任意的x、ye(-1,1)都有

小)+—(谭).

I2x

(1)若数列｛%｝满足项=—=(〃€"),求〃X“).

21+玉

⑵求1+2+心…+八+小"上的值.

6.已知函数f(x)=log”x(a>0月一aHl),若数列

2,/⑷),/(4),…J&),2〃+4(〃eN*)成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项为；

(2)若a=2,令b,=a,「f(a”),求数列｛勿｝前n项和5,；

(3)在(2)的条件下对任意〃eN*,都有〃>/-'(0，求实数/的取值范围.

7.已知函数/(x)=ax?+bx+c(a,b,ceR),当时，If(x)l<1

(1)证明：力KI

(2)若/(O)=TJ(x)=l,求实数a的值。

(3)若a=0,6=0,c=—2,记/(x)的图象为C,当xe(0,oo)时，过曲线上点

(x0,/(x0))作曲线的切线4交x轴于点々区,0),过点(/，/(七))作切线4交x轴

于点舄(*2,0)，...依次类推，得到数列X1,无2，%3…，X"，…，求limz

“T8

8.设函数/(x)=lnx,g(x)=ax---2f(x).

x

(1)若g(x)在定义域内为单调函数，求a的取值范围:

(2)证明:©/(x)<x-l(x>0)；

_ln2In3ln/z2n2-n-1、,*小

r+―T-+---+—------(〃zeN,/?>2)

2232n24("+1)

9.某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因

竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2

万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训I,

则测算得自入世后第•个月起累计收入T.与时间n(以月为单位)的关系为T0=an+b,且入

世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，

该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.

10.已知奇函数/(x)=,(X€<).

(I)试确定实数a的值，并证明f(x)为R上的增函数；

(II)记a=/[log(2n=a+a+•••+a,求limS“；

n9}2n”一►8

(III)若方程/。)=。在(-8,o)上有解，试证—l<3/(a)<0.

,3

11.已知/(x)=x-sinx,数列｛x,J满足$=))2xn+]+COSXM-7U=0o(HGN*)

(1)判断并证明函数/(X)的单调性;

TT7T

(2)数列｛>,,｝满足y“S,,为｛y,J的前〃项和。证明：5„<

12.已知数列｛*｝的前〃项和为S“，若」=2,”•““+]=S“+〃(〃+1),

(1)证明数列｛”“｝为等差数列，并求其通项公式；

(2)令T“=V,①当〃为何正整数值时，T„>Tn+l：②若对一切正整数〃，总有T.<m,

求用的取值范围。

13.如图，将圆分成〃个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异,

把不同的染色方法种数记为。求

（j）6，4，4，a4.

（II）为与"向（”22）的关系式；

（III）数列｛""｝的通项公式凡，并证明）。

14.设｛册｝也,｝是两个数列，点加（1,2）,4“（2,勺）8“（t士,2）为直角坐标平面上的点.

nn

（I）对”eN*,若三点共线，求数列｛6｝的通项公式；

ab+a

（H）若数列｛0｝满足：log2c„=''^2+-+V„（其中｛c,J是第三项为8,公比

+〃2+…+

为4的等比数列.求证：点列6（1，仇），一（2,3）,…《（〃,"）在同一条直线上，并求

出此直线的方程.

2

15.已知数歹ij｛an｝,｛b„｝中，«,=r(r>0),a2=t,且x=JF是函数

/(x)=g(a“T一%*一(%-%+i)x的一个极值点。

(1)求数列｛”“｝的通项公式；

(2)若点P„的坐标为eN*),过函数g(x)=ln(l+x2)图象上的点(%,g(a“))

的切线始终与op“平行(点0为坐标原点)；求证：当g<t<2时，不等式

111-

—+—+…—<2"—22对"wN*成立。

瓦%bn

16.函数/*)=(4一1)2*21)的反函数为/T(X),数列｛4｝满足：

%=L=广'(%)("€N*),数列出｝满足:

:/?.-1+K-2+…+^b-^n=疯i-(/〃€一泗、)，

(1)求数列｛《｝和也)的通项公式；

(2)记q=f'[n(lg2+lg/)-lg(^-n)](r>0且f*1),若对任意的〃eN*,恒有c“<cn+I

成立，求实数，的取值范围.

17.已知曲线y=x'-x,过曲线上一点P”（x”，y”）（异于原点）作切线/“。

（I）求证：直线/〃与曲线丫=/一》交于另一点匕+|（%“+],>,+]）；

（II）在（I）的结论中，求出x7与x“的递推关系。若芭=1,求数列卜“｝的通项公式；

（III）在（II）的条件下，记&='•+3+，+•..+」_,问是否存在自然数m,M,

X\X3X5X2n-\

使得不等式水RWM对一切ncN+恒成立，若存在，求出M—m的最小值；否则请说明理由。

18.设数列｛6｝满足％=f(f<1),%+i=型?，(〃=L2,……)

(I)用数学归纳法证明：——['、(〃=1,2,……)；

n-(n-l)r

(II)求lim吧……"向

〃T8〃！

19.某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木,

但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示:

1998年1999年2000年

新植亩数100014001800

沙地亩数252002400022400

而一旦植完，则不会被沙化：

问：(1)每年沙化的亩数为多少？

(11)到那一年可绿化完全部荒沙地?

2

20.已知f(x)=(x-l),g(x)=10(x-l),数歹ij｛an｝满足a,=2

9

(an+1-an)g(an)+f(an)=0,bn=-(n+2)(an-1).

(I)求证：数列｛a0一1｝是等比数列；

(ID当n取何值时，，取最大值，并求出最大值；

tmtm+1

(III)若——<——对任意meN*恒成立，求实数，的取值范围.

b„,bm+l

21.以数列｛%｝的任意相邻两项为坐标的点?(氏€N)均在一次函数y=2x+k

的图象上,数列｛2｝满足条件：b„=an+i-a„(〃eN，4H0),

(1)求证：数列｛2｝是等比数列；

(2)设数列｛七｝,仍“｝的前n项和分别为S.,,Tn,若$6=n，S5=-9,求比的值.

22.已知函数/(x)=logax(a>0且aHl),若数列

2,7(a,),/(a2),-,/(«„),2n+4(〃eN*)成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项a.；

(2)若a=2,令2=a“•/(4)，求数列也,｝前〃项和S“；

⑶在⑵的条件下对任意〃eN*,都有求实数f的取值范围.

23.设g(x)=px-幺一2/(x).其中/(x)=lnx,且g(e)=-2(e为自然对数的底

X

数).

(1)求p与q的关系;

(2)若g(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围;

(3)求证:(i)/(x)<x-l(x>0);

In2In3InnIn1-n-1

(ii)—7-+—+…+—y-<(〃eN*,n>2)

2232n24(〃+1)

b

24.已知函数/(x)=ax-2—21nx,/(l)=0.

x

(I)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；

(II)若函数/U)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且。向=f'(—1—)一〃2+1,

%—+1

已知ai=4,求证：&>2/7+2；

(ni)在(H)的条件下，试比较」一+」一+」一+…+」一与2的大小，并说

1+/1+?1+。31+5

明你的理山.

答案

1.解：

（1）设等差数列｛%｝的公差为4由题意得

a

k+%+i=4k

2（k是正整数）

4+%=4k

14+1+%+2=4优+D(4)

(4)-(3)得ak+2-ak=4=2d:.d=2

由(3)得%+%+]=6+*+2=4〃，/.an=2n-\

八[。[+心=4gfd=2

另解:由(1)得I2得《(其余略)

。2+。3=8[(2)=1

(2)由⑵式得an-a”1=一

%

._2_2_J1

"anan+i(2"-1)(2〃+1)2n-l2n+1

c,+c,+•••+c„=(1--)+(---)+-••+(-------5-)

12"3352n-l2〃+l

(10分)

「•G++…+%+…=lim(G+Q+…+g)=lim(l-------)=1

Q〃—>8"TOO2〃+1

(3)由(1)⑵得冬=(2n—1)2(2”+1)

g

：n是正整数，(2〃一(2〃+1)是随n的增大而增大，

又卫2=2891<981,—=1573>981

C5。6

・・・整数981不是数列｛2｝中的项.

2.解：(I)设这二次函数F&)班x(aWO)，则f坳由于F'&)=6x—2得

a=3,b=-2f所以f(x)=3x-2x.

又因为点（小5〃）5£%*）均在函数了=/。）的图像上，所以S〃=3#—2L

2

当〃22时，an=SnSn-i=(3n—2n)—(3(n-l)-2(n-l)]=6n—5.

2

当〃=/时，ai=Si=3XI—2=6X1—5,所以，an=6n~5(neN*)

3=_______3________11

(ID由(I)得知勿6〃+1)

“"%+i(6H-5)[6(/?-1)-5]26n-5

故Tn==­(1)+(-------)+・・•+(------------------)=—(1--------).

占，2L77136/1-56〃+1」26〃+1

IIHI1m

因此，要使一(1--------[〃wN*)成立的处必须且仅须满足上《一，即

26〃+120220

mKQ,所以满足要求的最小正整数0为10.

3.解：(1)数列｛6,｝为等比数列，，%-4=2d.为等比数列，

乂%—q=于(d+1)—于(d—1)——(d—2)~,

・・・d2-(d-2)2=2d,解得d=2,a,=/(l)=0.

4=2(〃-1).又•••也｝为等比数列，%=q2.

瓦

a_/(4_[_(q-2)2.0_2y_2

~r==-~i---•一瓦—=q

•qW1,qGR.,••q—2,仇=4.%=4(—2尸=(—2严.

(2)由幺+幺+…+鼠=%+|①

仇玩b„

£L+a+...+SzL=fl)i②

blb2b“_i

n+1

①-②得色=an+i-an=2.，c“=2b“=2-(-2)=8(-2)"-'.

b.

对于｛%｝，—=-2,q=8,知其为等比数列.

%

2

==S*产自1-(-2严],S2„=|[l-(-2)-].

1—(—Z)333

1-(-2严।

lim^i±L=lim=—2・

"TOOSnT81—(—2产

4初ZTX£，(、/、qp%2_(p+q)x+q(x-l)(px-t7)

4.解：(I)解：f(x)=px-(p+q)+-=----------------------=---------------,

XXX

令/(x)=。，得x-1或x=—,v0<—<1,

pP

当产变4七时，f(x),F(x)的变化情况如下表：

1(1,+8)

(0,幺)qa1)

P7p

f(X)+0—0+

f(x)极大值、极小值

所以f(x)在产1处取得最小值，即己二1.

22

(II)y=2px一幺+f'(x)+q=2px+px-p,2Stl=2p•〃；+p•a〃一p,(neN"),

x

由于a=L所以2%=2p・a；+p・a[-p,得p=i.

2S〃=2a；+a“一]................①.

又：.2S〃_]=2%_]+Q〃_]—I..................................②。

①一②得2a〃=2(a；-。)+a〃-an_x,

•二2(。：-a；-)—(%+*—i)=0,/.(alt+an_x)(。“一an_x-1-)=0,

由于a“>0,，％-a,”=！，所以｛a｝是以a=l,公差为』的等差数列,

22

[/八1〃+1

/.a=1+(〃-1)x—=-----.

“n22

八宜、rn(n-l)1n2+3n..4s〃“

EDs,=〃+^^、=—5―,由勿=rw=时，

224n+3

所以=q+2q2+3q，+...+(〃一l)q"“+nqn由p>q〉0,而p=1，故qW1,

34n+]

qTn=q?+2q+3q+...+(〃-l)q"+nq,

n｝n,t+]

(1—q)Tn=g+q2+,3+…+q'+q—nq〃*=—~~-nq

l-q

..................................M分

(1-/)"q

5.解:(1),/1+>21xI/.I^X"l<1Xx,=—.

""1+x；2

；」"/区)=/(M

而/(k)=/(斗)=/(^^)=/(x„)+/(x„)=2/(x„).

1+x；l+x“x“

2，｛/(x“)｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故/,区)=-2"T

"/u„)

(2)由题设，有〃0)+/(0)=/(3)=/(0),的(0)=0

1+0

Y-Y

又X€(-1,1),</1(%)+/(-%)=/(-—)=/(0)=0,

1-Xr

得/(-X)=—/(X),故知/'(X)在(—1,1)上为奇函数.由

111

[=]=(:+1)(左+2)=m-I+2

2

k+3k+\―(k+l)(k+2)-1-11-,1

1-------------------------1-------------------------------

(k+l)(k+2)(k+1)(A+2)

得/+，)="/-)+/(-1二)=/(J?)-/(1二)

1k+2k+\k+2

于是?忆+;J"(；)〃,)=1/(

2〃+2〃+2

-——)+/(—^―)=0.

故l+/(.)+/([1)…+/(2

511n+3〃+ln+2

6.解：(1)由2〃+4=2+(〃+2一1)4求得4=2,所以/(。“)=2+("+1-1>2=2"+2,

求得%=/"+2.

2"2=(〃+1)"'"3,

(2)bn=an-f(an)=(2n+2)a

5„=2-25+3-27+4-29+--+(〃+1)・22n+3,错位相减得S„=(3〃+2)丁—26

所

(3)=--4>1,以｛a｝为递增数列.bn中的最小项为

bn〃+l

b,=2-25=26,f-'(t)=2',所以r<6.

7.解：]

(1).."=5[/(1)-/(一1)由题意1/(1)隆1//(—1)隆1

证明：

由.-.I^1=11/(1)-/(-1)|<1(|/(1)|+|/(-1)I)<1

f⑴=/2加遂，(三1近fQ夕土q=c=_1,力=2_a

f(x)=CLX~+(2_a)x_1

当XG[—1,1]时l/(x)l<1nl/(—1)l<1

即I2a-3隆1=1WaW2

考察实数—=l-ie[-i,O]

la2a2

-r-.Cl-2CL_22/c、-2(Q—2)2

而/(=-)=a・(1T-)+(2-a)・(l^)T=

2〃2Q2a4a

4a

(3)当a=\,b=0,c=一2时，f(x)=x2-2

函数f(x)在点(/J(%))处的切线方程为y=fM+fXx0)(x-x0)

令y=。得尤i=%。-J(xo)

/'(x。)

同理得马"-的，…x.L”f(Xn)

f'M

—)

x“

12

上式两边取极限lim3+1=1im亍㈠”+_一)

M—>00RT8乙Xn

令X"=A

li/»m-><»

12

则A=—(A+—),A〉0

2A

x

：■A--X/2-EP]imn=

->co

o痴八、，/、,a2ax-2x+a

8.解：⑴g(x)=a+———=------------

xxx

•；g(x)在(0,+8)单调,

/.ax2-2x+a^0或四？一2九+Q20在(0,+8)恒成立,

即心二或〃之工在(0,+00)恒成立,

x2+lx2+l

...aW0或。21.

(2)①设p(x)=/(x)-x+1,则

x

当x=1时，Q'(X)=0

当0<x<l时，<p'(x)>0.,.夕(x)递增,当%>1时,<p\x)<0s(x)递减,

•••夕(x)1rax=9⑴=0

・・・e(x)=/(x)—x+1WO即/(x)<x-l(x>0)

②由①，ZW<i_l(x>o)

XX

又

n~n(n4-1)n/?4-1

〃

...左边=!J-r*........+J,,•(+..2..).....

232n2

(1-+(1-+・••+(1--y)

2~3n"

=,(〃-i)」d+M…+4)

222232n2

1111

<—----———J-•••——)

334nn4-1

=l(n_l)_l(l__L)=2"J"7=右边

222n+14(〃+1)

•••原不等式成立

9.解：入世改革后经过n个月的纯收入为Tn-300-/?万元

不改革时的纯收入为70〃-[3〃+-2]

90=a+b。=80

(7分)

110=2a+bb=10

由题意建立不等式80〃+10—300-n>70n-3n-(n-1)/2

即〃2+i山一290〉。得〃>12・2

nGN,取〃=13

答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.

10.解：(I)〃_吁。2'+,―2a2+"2得+(—

2-v+l2、+1

2

a=1,.\f(x)=1---------

'2、+1

设一00<再<X2<+00

小)一"2(2、,-2.

-(2』+心+1)

X2

2'<2处,2*1+1>0,2'+1>0.•./(x1)</(x2)

/(x)在R上单调递增

(II)a=------?=__1_

"2"-1+12"-'

C1111、/c1、

=-(Z11+-+^-+^-+-+—)=-(2-^j-)

.1,limS„=-2

n—>oo

(HI)/(x)=1—<1

2'+1

又f(x)为奇函数，且在R上为单调增函数

当—))物(x)e(-l,0)

欲使f(x)=(z在(-8,0)上有解

.•--1<«<0(10分)；./(一1)</9)</(0)即_；<”0<0

即-l<3/(a)<0.

1】解：⑴/'(x)=l-cosx>0,仅当尤=2%乃(&€Z)时,f(x)=O,故/(x)在R上

单调递增。

(2)/(x)为奇函数，/(0)=0,

由(1)知当x20时，/(x)之0,即x-sinx20,也就是sinx«x在［0,+8)上恒成立。

由已知得x,,+]_]=_gcosx“=]Sin(x“一])

所以lx“+]_gl=；lsin(x“一?-gl

r-r-IS|I兀IJ1I万IJ1I兀1/J1]兀兀

所以I——1<-1x„i——I4fIx“2---K…4——rIx.——1I=--

“2222222'i122n+1

cJ/111、/I1、万

S4%(——H-----+......H--------)=71•(----------)<-

"22232"+|22"12

12.解：(1)令〃=1,1・。2=。]+1，2,B|Ja2-ai=2

"・见用=S“+〃("+】)

由，

(«-1)•«„=S„_,+M(H-1)

=>〃,%+i一(〃一1)%=%+2〃=an+l-an=2(〃>2)

2(〃£N*),

a2-at=2,：.an+l-an

即数列｛%｝是以2为首项、2为公差的等差数列，:.a”=2n

^S“n(n+1)(n+1Yw+2)nn乂

⑵①T"二寸==\2仆’即〃>2(〃eN)②：

S3

7]=甘=14=丁3=万,又...〃>2时，Tn>T„+l

，各项中数值最大为±3，；对一切正整数〃，总有恒成立，因此3

2"2

13.

13.解：(I)当〃=1时，不同的染色方法种数4=3

当"=2时，不同的染色方法种数4=6,

当”=3时，不同的染色方法种数为=6,

当"=4时，分扇形区域1,3同色与异色两种情形

.•.不同的染色方法种数&=3x1x2x2+3x2x1x1=18。

(II)依次对扇形区域1，2,3,…,〃，〃+1染色，不同的染色方法种数为3x2”,其中扇形

区域1与n+1不同色的有种，扇形区域1与«+1同色的有q种

.4,+4田=3X2"("22)

(III)=3X2"(〃N2)

2

・a2+a3=3x2

3

a3+a4=3x2

nl

an_x+an=3x2~

将上述〃-2个等式两边分别乘以(-1)'伙=2,3,…，"-1),再相加，得

l

a2+(-1)"'a,,=3x2-3x2'+…+3x(-1广'x2"-=3x>[:]

.a„=T+2-(-1)-

••，

3,(n=1)

a""|2n+2-(-l)n,(«>2)

从而V7V7o

(III)证明：当〃=1时，q=3>2xl

当”=2时，a2=6>2x2,

当〃*3时，

4=2”+2.(-1)"=(1+1)"+2.(-1)"

=l+"+C：+C：+-+C；2+〃+i+2.(-l)”

>2n+2+2-(-l)"

>2n

a—2

14.解：(I)因三点纥共线，.,.%——

2-1n-1.

---------1

n

得%=2+2(〃-1)故数列｛册｝的通项公式为%=2〃

(II)由题意c“=84T=22"-3%+&+…+%=〃(2；2〃)=“(〃+])

。向+••,+%耳%仇

+a2b2+a2b2+•••+dnbll

由题意得c〃=2。*2+…+册，.・.22"-3=2例+小+…+册

2n-3=----------------------------,ab+ab^+…a,/”=7?(n+l)(2n-3)

%+・•・+%｝]2

当〃22时，anbn=n(n+1)(2〃-3)-(n-l)n(2n-5)=n(6n-8)

=2〃=3〃-4.当上1时，bx=-1,也适合上式，:.bn=3n-4(ne)

(3

因为两点PpPn的斜率K=&二匕=—0=3(〃eN*)为常数

〃一1n-\

所以点列巴(1,")，「2(2,为),…?("，勾)在同一条直线上，

且方程为：y—4=3(x—1),即3x—y—4=0.

15.解：⑴/'(V7)=On(%+]-%)=«%-a,i)(〃N2)

/7—n

：.L=t(n>2)

4一明

2+

•••an+i-an=(t-t)t'-'^an+]-an=t"'-t

nn

3%=t-t-'，an_}-a.?=一讨，CI)_67|=广

n

an-a{=t-t,an=t"(t丰1)

f=l时，an-an_,=a„_,-an_2a2-a,-0

,,a.=1

综上

an=f"(〃eN*)

(2)由0=g'3“)得，=

l+”“1+f

<0,

花手”+?)

/.----1------1-•,•H----<—[(2+2-+…+2")+(—I------F…4-----)]

b]b2bn2242"

11i------巴

=2n--(l+2-n)<2n---2-Vl-2-n=2n-22

22

16.解：(1)V/(x)=(Vx-1)2(x>1),A/(x)=(Vx+1)2(x>0),

；・4川=/T(/)=(向+1):，即向—疯=1(〃eN*),

数歹U{J「}是以6=1为首项，公差为1的等差数列，

.•.禽=1+(〃-1)=〃，即=〃2(〃WN*)

0-1।4-2+…+铝=禽=〃,

由于

222

%一5-1)

>•I+•••+n-\(n>2)

2222”T

”,一〃

两式相减得，当“22忖,—1,即b-2"+n,

2"n

它对n=1也适合，hn=2"+"(〃eN*)

(2)C,=叫1g⑵)=1g(或_〃)]=叫1g⑵)=

由Q<C用,得nflg/<(n+l)r+1lgz

nn

①当r>1吐由Igr>0,可得空----,・.・-----<1(〃EN*)，

〃+1n+l

/.t>"对一■切〃eN*都成立，

〃+1

此时£>1

17

②当0<t<1时，由1gt<0,可得〃>(〃+l)t,t<----，

〃+1

n1n

*/------>—(neA^*),0<r<------对一切〃eN”都成立

n+12n+1

.c1

♦♦0<f<一

2

由①②可得，对一切〃eN*都有C“<。用的/的取值范围为0</<；或/>1

17.解：(1)/=3/—1,/“：丁=(3%2—1)(工一/)+乙3一/，

y=(3x；—l)x—2x；,

V

y-Jr'—x,

(x-x.)(』+xnx-2x；)=0,

(X-X„)2(X+2X„)=0.

/.x=xn,x'=-2xn.

“与曲线交于另一点产“+1（-2居,-8%；+2x„）

(II)3=—2x”,

当匹=1时,x.=(—2)i

(III)R“>/?,=1,

n123n„

"14164，i

4/?„=4+2+-+—+•••+—@

"4164"-2

②-①得：3R"=4+1+；+：.<史<6.

163

1<R„<2,二.知—机的最小值为2-0=2

此时M=2,m=0

18.解：(1)(1)当〃=1时，4]=，，命题成立。

即a_m一1)一k-2月

(2)假定〃=%时命题成立,以——

k(k+1)k(k+1)

那么,

-

2k-akk[(k-l)-(k-2y

2k—7\

k+1_(k+1)上一(A—1)“

=2仅T)Z(Z-2)，=

因此，当"=Z+1时.，命题也成立

综合(1)(2)对任何自然数n命题都成立

〃〃))

23(2-f)[(T--2r]

(11)aI—19cij—

122-t3-2t9n-(n-l)z

+-(n-l)f]

an+\

(〃+1)-nt

1・2・3…4-l)z

+i

(n+1)-nt

n\