第02讲 5.2导数的运算（解析版）

课程标准学习目标①能根据定义求函数的导数。②能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。③理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。④了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。1.掌握基本初等函数的求导；2.熟练掌握导数的运算公式；3.能准确应用公式计算函数的导数；4.会求简单的复合函数的导数；5.能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题..知识点01：基本初等函数的导数公式原函数导函数(为常数)知识点02：导数的四则运算法则1、两个函数和的和（或差）的导数法则：.2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；.3、由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即【即学即练1】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）（2）知识点03：复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．【即学即练2】（2023上·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知函数，则=.【答案】3【详解】由题意知，，所以.故答案为：3.知识点04：切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.【即学即练3】（2023上·贵州黔西·高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）曲线在处的切线方程为．【答案】【详解】，则当时，，所以曲线在处的切线方程为，即.故答案为：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.【即学即练4】（2023下·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知，则函数的图像过点的切线方程为.【答案】或【详解】设切点为，由可得，，由导数的几何意义可得，切线的斜率，因为，所以切线方程为，将点代入，得，即，得，解得或，当时，切点坐标为，相应的切线方程为；当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即，所以切线方程为或.故答案为：或题型01导数公式与运算法则的简单应用【典例1】（2023上·河北邯郸·高三校联考阶段练习）下列求导运算中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D【典例2】（2023下·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）求下列函数的导数.(1)(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）整理可得，.（2）.【变式1】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选:D.题型02利用导数公式与运算法则求复合函数的导数【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，【详解】（1）令，因为，所以.（2）令，因为，.（3）令，因为，.（4）令，因为，.（5）令，因为，.（6）令，因为，.【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）可由及复合而成，所以．（2）可由及复合而成，所以．【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)中间变量为，(2)中间变量为，(3)中间变量为，(4)中间变量为，【详解】（1）对于，中间变量为，则，所以.（2）对于，中间变量为，则，所以.（3）对于，中间变量为，则，所以.（4）对于，中间变量为，则，.题型03解析式中含的导数问题【典例1】（2022下·吉林长春·高二统考期中）若，则等于（

）A．2 B．0 C．2 D．4【答案】D【详解】因为，所以所以，得所以，所以故选：D【典例2】（2022下·山东·高二校联考阶段练习）已知函数，是的导函数，则．【答案】24【详解】因为，所以，所以，即，，，故．故答案为：【变式1】（2022·四川攀枝花·统考一模）已知函数，则（

）A． B． C．6 D．14【答案】C【详解】，则，则，故选：C【变式2】（2022下·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）已知函数，则的值为．【答案】【详解】∵，∴，∴∴．故答案为：.题型04求切线斜率【典例1】（2023下·北京海淀·高二首都师范大学附属中学校考期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，设切点为，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程的斜率为.故选：B【典例2】（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）函数（b＞0，a∈R）在点处的切线斜率的最小值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【详解】，所以在点处的切线斜率是，因为b＞0，所以，当且仅当即时等号成立，故选：C．【变式1】（2022上·河南·高三河南省淮阳中学校联考阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由，得，设切点坐标为，则切线方程为，把点代入并整理，得，解得或（舍去），故切线斜率为．故选：C．【变式2】（2022下·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对，求导可得，，得到，所以，，所以，，故选D题型05求切线方程（在型）【典例1】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）设，函数的导函数为，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题设是偶函数，∴，解得，∴，∴曲线在原点处的切线方程为.故选：A【典例2】（2023上·云南昆明·高三统考期中）曲线在点处的切线方程是【答案】【详解】由可得，所以，所以由点斜式可得切线方程为，即，故答案为：【变式1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程是．【答案】【详解】，，，所以曲线在点处的切线方程是，即.故答案为：【变式2】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为【答案】【详解】由题意，所以且，所以，因此的图象在处的切线斜率为，所以的图象在处的切线方程为，化简得.故答案为：.题型06求切线方程（过型）【典例1】（2023下·山东威海·高二统考期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程.【答案】或（任写一个即可）【详解】，设切点为，故切线方程为，由于切线过原点，故，整理得，解得或.当时，切线方程为，即.当时，切线方程为，即.故答案为：或（任写一个即可）【典例2】（2023下·河南南阳·高二校联考期中）已知函数．(1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；(2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程．【答案】(1)或（2，0）(2)或．【详解】（1），设，因为直线的斜率为4，所以，解得或2．，．所以点Q的坐标为或（2，0）．（2）设切点为，则，，所以在该点处的切线方程为．因为切线过原点，所以，解得或1．又因为，，所以切线方程为或．【变式1】（2022上·山西·高三统考阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为．【答案】【详解】设切点为，则，得，则切点为，切线方程为，即．故答案为：.【变式2】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知函数．(1)用导数的定义，求函数在处的导数；(2)过点作的切线，求切线方程．【答案】(1)12(2)或【详解】（1）因为，所以，则．（2），设切点，则切线的斜率为，故切线方程为，将点代入得，即，得，解得或，所以切线方程为或．题型07利用相切关系求最小距离【典例1】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.【答案】【详解】

由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得：；由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得；由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..故答案为：.【典例2】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，则的最小距离为.【答案】/【详解】令，则，即曲线在处的切线方程为：，即,如下图所示，当时的最小值为点到直线的距离（为垂足）.故.故答案为：【变式1】（2023下·江西赣州·高二统考期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为.【答案】【详解】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，由，得，所以切点为，则点到直线的距离就是的最小值，即.故答案为：.【变式2】（2023上·高二课时练习）在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离．【答案】/【详解】设，又，则过点的切线斜率，当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最短，即，解得：，此时，它到直线的距离，故答案为：.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023上·江苏南京·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，，故A错误；对于B，根据复合函数的求导法则，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.2．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确．故选：D．3．（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，所求切线斜率，所求切线方程为：，即.故选：A.4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】直线的斜率为，由题设知：在处的切线的斜率为，而，∴，可得.故选：C.5．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）函数的图象在处切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以，故选：B.6．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知函数，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【详解】由已知可得，，所以，，所以，.故选：C.7．（2023上·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【详解】，由题意可知，切线的斜率，则，解得：，，所以.故选：A8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若曲线与直线相切，则实数（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【详解】直线，即，对于，则，设切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，即，由题意可得，解得.故选：B.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列导数的运算中正确的是（

）A． B．C．＝ D．【答案】ABD【详解】,正确；，正确；，正确；因为，所以C项错误，其余都正确.故选：ABD10．（2023下·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】由，得，设切点坐标为，则，则过切点的切线方程为，把点代入，可得，整理得：，即或.当时，切线方程为;当时，切线方程为.故选：BC.三、填空题11．（2023上·广东惠州·高三博师高中校考阶段练习）已知函数，则.【答案】【详解】函数，求导得，当时，，所以.故答案为：12．（2023·广东佛山·统考一模）已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则.【答案】【详解】易知：必有.设两曲线的交点为，，，由题意：，两式相除得：，∵，∴.代入得：解得.故答案为：四、解答题13．（2023下·新疆和田·高二校考期中）已知函数，点在曲线上.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）由题意，故，所以，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令所求切线在曲线上的切点为，则，所以切线方程为，又在切线上，故或，所以切线方程为或.14．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）；(2)求与曲线相切，并过点的直线方程.【答案】(1)6(2