北京市三帆中学2020-2021学年度第一学期期中考试初三数学卷详解

北京三帆中学2020-2021学年度第一学期期中考试

初三数学试卷

一、选择题

1.二次函数y=（x—-3的最小值是（）

A.IB.-1C.-2D.-3

2.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分类.下列垃圾分类标志分别是可回收物、

厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.B.ZX

3.将抛物线y=2x?平移，得到抛物线y=2（x—4尸+1,下列平移方法正确的是（）

A.先向左平移4个单位，在向上平移1个单位

B.先向左平移4个单位，在向下平移1个单位

C.先向右平移4个单位，在向上平移1个单位

D.先向右平移4个单位，在向下平移1个单位

k

4.反比例函数y=—（&>0）的图象经过点（一2,〃），（一1加）,（3,c）,则b,c的大小

x

关系为（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.

b>a>c

5.如图，A3是。O的直径，点。在圆上，若NC43=32。，则NC84的度数为（）

A.32°B.64°C.68°D.58°

6.如图，已知点C,。是以AB为直径的半圆上的两个点，且AC=B。，下列结论中不

一定成立的是（）

A.AC=BDB.ZABC=ZCBD

C.ZABD+ZACD=180°D.CD//AB

7.如图为二次函数y=av2+/n+c的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（一1,0）、（3,

0）.下列说法：abc>0；方程℃2+bx+c=o的根为玉=-1,x2=3-当x>l时，>随着

x的增大而增大；4a+2〃+c<0.正确的个数是（）

8.弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先

画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，【晓观数学】其边长为半径画弧得到的三角形.

在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈'’.图1中的麦田怪

圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2,成

员甲先借绳子绕行一周画出O。，再将。。三等分，得到A，8，C三点.接着，成员乙分

别以A，B,C为圆心画出图中的弧三角形.研究小组在A,B,C,。四点中的某一点

放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为尸，成员乙所在的位置为Q,若将射线QB绕着

点。逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量x（单位：°,0<x<360）,甲、乙两

人到检测仪器的距离分别记为必和乂（单位：加），绘制出两个函数的图象（如图3）.

结合以上信息判断，下列说法中错误的是（）

A.QO半径为6m

C.当尤=60时，取得最大值12D.检测仪器放置在点A处

二、填空题

9.将二次函数y=d-2x+5化为y=a(x-h)2+k的形式为V=

10.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点(0,2),这个二次

函数的解析式可以是.

11.在半径为2的圆中，圆心角为120。的扇形面积为______.

12.如图，抛物线^=火2(“工0)与直线尸法+出工。)的两个交点坐标分别为4T1),

8(2,4),则使得关于x的不等式a?〈法+c成立的x的取值范围是.

13.如图,AB为。。的直径，弦于点E,已知CD=8,EB=2,则。。的半径为

14.如图，PA，依是。。的切线，A，B为切点,AC是。。的直径，ZBAC^35°,

则NP的度数为.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,-2）,半径为I的动圆OA沿y轴正方

向运动，若运动后0A与X轴相切，则点A的运动距离为.

16.如图，等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4.平面内的直线1经过点A,作

CEL1于点E,连接BE.则当直线/绕着点A转动时，线段BE长度的最大值是.

三、解答题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.解方程：f+4x+3=0.

18.关于刀的一元二次方程/一2%+加一1=0有实数根.

（1）求加的取值范围；

（2）请选择一个符合条件的机的值，并求此时方程的根.

19.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

己知：如图，。。及。。上一点P.

求作：过点P的。。的切线.

①作射线0P-,

②在直线。P外任取一点A,以点A为圆心，4P为半径作。4与射线0P交于另一点B；

③连接并延长BA与交于点C；

④作直线PC；

则直线PC即为所求.

根据小元设计尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：BC是。A的直径，

ZBPC=90°（）（填推理的依据）.

OPJ.PC.

又；0P是。。的半径，

PC是O。的切线（）（填推理的依据）.

20.如图，00的半径为2,四边形ABC。内接于00,圆心。到AC的距离等于6.

（1）求AC的长；

（2）求/ADC的度数.

B

O.

D

21.在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=x-l与双曲线），="相交于点A（2,/〃）.

x

（1）求点A坐标及反比例函数的表达式;

（2）若直线/与x轴交于点8,点P在反比例函数的图象上，当△OPB的面积为1时，求

点尸的坐标.

22.若二次函数y=a?+/JX+。的x与y的部份对应值如下表:

X-4-3-2-101

y-503430

（1）求此二次函数的解析式；

（2）画出此函数图象（不用列表）；

（3）结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围.

23.为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是

如图所示的抛物线的一部份.已知实心球出手处A距离地面的高度是1米，当实心球运行的

25

水平距离为3米时，达到最大高度/米的3处，实心球的落地点为C.

(1)如图，已知AOL8于。，以。为原点，CO所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

在图中画出坐标系，点B的坐标为；

(2)小明此次投掷的成绩是多少米？

24.如图，在AABC中，BC^AC,以为直径的0。与边AB相交于点。，与边

相交于点/，DE1AC,垂足为点E，连接0Q.

(1)求证：OE与。。相切；

(2)若AE=2,O。的半径H=4，求。E的长.

25.已函数y=/+J■，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质:

X

(1)自变量X的取值范围是；

(2)x与y的儿组对应值如下表，请补全表格:

%...0.20.511.5225

2.521.510.50.2

y...5.853.51.5805.04mn2.924.56.65

1.754.96

其中m=,n=.

(3)下图中画出了函数一部份图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象；

(4)请写出这个函数一条性质：；

(5)结合图象，直接写出方程/一2%+-=0的所有实根：.

X

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+/〃的顶点为A

(1)求抛物线的顶点坐标(用用表示)；

(2)若点A在第一象限，且QA=0，求抛物线的解析式；

(3)已知点3(“一1,机—2),C(2,2),若抛物线与线段8C有公共点，结合函数图象，直

接写出的取值范围

27.已知：过。。上一点A作两条弦AB、AC,且NA=45°,(AB>AC都不经过。)

过A作AC的垂线Ab，交。。于。，直线80,AC交于点E，直线BC,AO交于点F.

(1)请在图1中，按要求补全图形；

(2)在图2中探索线段BE和的数量关系，并证明你的结论；

(3)探索线段A3、AE，AR的数量关系，并直接写出你的结论.

E

B

D

O.

图1

图2

28.平面直角坐标系x0y中，任意两点8(4,%)之间的距离可以利用公式

AB

我们定义点A与8的轴距为：一匐，4，=|9一力|

当A3=2么或A3=2dv时，称点8是点A的倍轴点.

(1)已知点A(l,o),则在点4(2,6)，B2(3,l),(1,2)中，点A的倍轴点

(2)若点”(加,〃)是原点。的倍轴点，当初，〃均为非负数的时候，所有满足要求的点〃

组成了图形“，请你在图1中画出图形”，并描述图形”的特点;

(3)A(f,0),。。的半径为1点A的倍轴点在。。上，求，的取值范围；。。上正好存在

四个点A的倍轴点，直接写出，的取值范围.

5广

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345x

备用图

北京三帆中学2020-2021学年度第一学期期中考试

初三数学试卷

一、选择题

1.二次函数y=（x—-3的最小值是（)

A.IB.-1C.—2D.—3

【答案】D

【解析】

【分析】

题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答.

【详解】解：二次函数y=（x—l>—3的开口向上，顶点坐标为（I,-3）,

所以最小值为-3.

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是正确掌握二次函数的顶点式，若题目

给出是-一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式.

2.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分类.下列垃圾分类标志分别是可回收物、

厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据轴对称图形和中心对称的概念求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意;

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；

c、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，掌握知识点是解题关键.

3.将抛物线y=2/平移，得到抛物线y=2（x-4）2+l,下列平移方法正确的是（）

A.先向左平移4个单位，在向上平移1个单位

B.先向左平移4个单位，在向下平移1个单位

C.先向右平移4个单位，在向上平移1个单位

D.先向右平移4个单位，在向下平移1个单位

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况.

【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0,0）,抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4,

1）,而点（0,0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4,1）,

所以抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+l.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以

求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐

标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

4.反比例函数y=>优>0）的图象经过点（一2,。），（一1力）,（3,c）,则a,b,。的大小

x

关系为（）

A.c>a>hB.c>b>aC.a>b>cD.

b>a>c

【答案】A

【解析】

【分析】

此题根据反比例函数k值与0的关系结合图像即可判断大小.

【详解】Vk>0,

.••在反比例函数过一三象限，在各象限内y随x的增大而减小，

V3>0>-l>-2,

.*.c>a>b；

故选A.

【点睛】此题考查反比例函数k值与函数图像关系，数形结合即可.

5.如图，AB是。。的直径，点。在圆上，若NC4B=32°,则NCBA的度数为（）

A.32°B.64°C.68°D.58°

【答案】D

【解析】

【分析】

据直径所对的圆周角是直角，得NA与NB互余，问题可解.

【详解】如图

是。。的直径，点C在圆上

ZC=90°

ZCAB+ZCBA=90°

二ZCBA=90°-ZCAB=90°-32°=58°

故选：D.

【点睛】此题考查直径上的圆周角.直径所对圆周角为直角是经常用到的一个性质.

6.如图，已知点C,。是以A3为直径的半圆上的两个点，且AC=5£>，下列结论中不

一定成立的是（

H

A.AC=BDB.ZABC=NCBD

C.NAB。+NACO=180。D.CD//AB

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆的性质，内接四边形和平行线的性质对选项逐一判定即可.

【详解】A、AC=BD,

，AC=BD,故本选项成立；

B、要使NABC=NCBD,则AC=8,即AC=CD,根据题意无法得出这个条件，故本

选项不成立；

C、•••四边形ABCD是圆的内接四边形，

AZABD+ZACD=180°,故本选项成立；

D、•.”=80，

/CBA=NDCB,

CD//AB；

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的性质，内接四边形和平行线的性质，掌握这些知识点是解题关键.

7.如图为二次函数'=0?+乐+。的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为(-1,0),(3,

0).下列说法：abc>0；方程以2+/zx+c=0的根为玉=-1,々=3；当x>”寸，>随着

x的增大而增大；4a+2b+c<0.正确的个数是()

【答案】C

【解析】

【分析】

①由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号，根据对称轴确定b的符号；

②根据二次函数图象与x轴的交点解答；

③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断；

④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y的符号.

【详解】解：①抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上,

b

；.a>0,-->0,c<0,

2a

即b<0,

abc>0,正确；

②二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴的交点是(-1,0)、(3,0),

方程ax2+bx+c=O的根为x1=-1,X2=3

故本选项正确；

③函数对称轴是直线x=l,

根据图象当x>l时，y随x的增大而增大；

④根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0),(3,0),

，当x=2时，y<0

...当x=l时4a+2b+c<0,正确.

共有四个正确的，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数

的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具

有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目.

8.弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先

画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，【晓观数学】其边长为半径画弧得到的三角形.

在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为‘‘麦田怪圈''.图1中的麦田怪

圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2,成

员甲先借绳子绕行一周画出。。，再将。。三等分，得到A，B,。三点.接着，成员乙分

别以A，B,C为圆心画出图中的弧三角形.研究小组在A，B,C,。四点中的某一点

放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为P,成员乙所在的位置为。，若将射线OB绕着

点。逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量X（单位：°,0<x<360）,甲、乙两

人到检测仪器的距离分别记为,和%（单位：加），绘制出两个函数的图象（如图3）.

结合以上信息判断，下列说法中错误的是（

图3

A.Q0的半径为6mB.图3中。的值为270

C.当x=60时，月取得最大值12D.检测仪器放置在点A处

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，根据题意，找到甲、乙对应的图像，然后求得a=240。，以及AB=6JJ，

4403=1x360。=120。，进而求出圆半径，再对选项逐一分析即可.

3

【详解】解：•••将射线08绕着点。逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量x,且成

员乙所在的位置为Q,

.•.根据如图3所示，实线部分图像距离先保持不变，再下降至0,然后上升可判断则实线部

分为应为乙的图象，（点Q在以A点为圆心画的上，则AQ距离不变），

...当Q点从B点逆时针运动时，图像如图中实线所示，检测仪器应该A点,

2

・・・Q从B点到A点时，运动的角度为§个圆周，

a=-x360°=240°,

3

结合图可得A8=6G，ZAOB=1X360°=120°,

如图，连接AB、OA、OB,过。作ODLAB于点D,

VOA=OB,OD±AB,

AD=BD=-AB=373,ZAOD=4BOD=-ZAOB=60°

22

/.NQBO=30°

小巫

,,cos30°

2

QO的半径为6m

如图，当射线OB转至6c中点位置时，即P在0A所在直线上，yi取最大值，长度为。。

的直径12m,此时转过的圆心角为60。，即尤=60.

:.A、C、D正确，

故选B.

【点睛】此题考查正多边形和圆、等腰三角形三线合一及弧三角形的相关问题，根据题意找

到正确的函数的图象是解本题的关键.

二、填空题

9.将二次函数y=x1-2x+5化为y=a[x-h)2+k的形式为J=.

【答案】y=(x-l)2+4；

【解析】

【分析】

利用配方法整理即可得解；

【详解】解：(1)y=x2-2x+5=x2-2x+1+4

=(x-1)2+4,

故答案为:(x-1)2+4.

【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题

的关键.

10.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0,2）,这个二次

函数的解析式可以是.

【答案】y=_f+2（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.

【详解】解：•.■图象为开口向下，并且与y轴交于点（0,2）,

.*.a<0,c=2,

・・・二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）.

故答案为y=-x2+2（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的

关键.

11.在半径为2的圆中，圆心角为120。的扇形面积为.

4

【答案】一万

3

【解析】

【分析】

根据扇形的面积计算公式计算即可；

【详解】•••半径为2,圆心角为120。，

.RwgHirr120XX224

.•扇形的面积=-------------——7Tt

3603

_4

故答案是：一兀.

3

【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，准确计算是解题的关键.

12.如图，抛物线^=如2（。力0）与直线y=+的两个交点坐标分别为

3（2,4）,则使得关于x的不等式办2<bx+c成立的x的取值范围是.

【答案】-l<x<2

【解析】

【分析】

由OX?〈法+。可得：二次函数值小于一次函数值，可得二次函数的图像在一次函数图像的

下方，结合函数的图像与交点坐标，从而可得答案.

【详解】解：由3c2<bx+c可得：

二次函数值小于一次函数值，

二次函数的图像在一次函数图像的下方，

又交点坐标分别为47,1),8(2,4),

所以：结合图像可得：-l<x<2,

故答案为：—l<x<2.

【点睛】本题考查的是利用二次函数与一次函数的图像解一元二次不等式，掌握数形结合的

思想是解题的关键.

13.如图,AB为。。的直径,弦CDLAB于点E,已知CD=8,£B=2,则。。的半径为.

【答案】5

【解析】

【分析】

连接0C,设。。的半径为R,根据垂径定理求出CE,根据勾股定理列式计算，得到答案.

【详解】连接OC,

设。。的半径为七则OE=R-2,

'JCDLAB,

：.CE=—CD=4,

2

由勾股定理得，OC=O玲+CE1,即审=(R-2)2+42,

解得，R=5,

则。。的半径为5,

故答案为5.

【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对

的两条弧.

14.如图，PA,是。。的切线，A，B为切点、,AC是。。的直径，Nfi4c=35°,

则NP的度数为_______.

【答案】70。

【解析】

【分析】

根据题意可以求得/OAP和/OBP的度数，然后根据/BAC=35。，即可求得NP的度数.

【详解】解：连接OB：

；PA、PB是。O的两条切线，A、B是切点，AC是。。的直径，

，/OAP=NOBP=90。，

VZBAC=35°,OA=OB,

.•.ZBAC=ZOBA=35°,

/PAB=NPBA=55°,

，/P=180°-/PAB-/PBA=70°,

即NP的度数是70。，

故答案为：70。.

【点睛】本题考查切线的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,

利用切线的性质解答问题.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-2）,半径为1的动圆0A沿＞轴正方

向运动，若运动后OA与x轴相切，则点4的运动距离为.

【答案】1或3

【解析】

【分析】

利用切线的性质得到点A到x轴的距离，再进行计算即可;

【详解】若运动后。A与x轴相切，

则点A到x轴的距离为1,此时点A的坐标为（0,-1）或（0』），

所以运动距离是一1一（一2）=1或1-（-2）=3,

点A运动的距离是1或3.

故答案是1或3.

【点睛】本题主要考查了切线的有关性质，准确分析计算是解题的关键.

16.如图，等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4.平面内的直线1经过点A,作

CEL1于点E,连接BE.则当直线/绕着点A转动时，线段BE长度的最大值是.

【答案】2+275

【解析】

【分析】

以AC为直径作圆O,连接BO,并延长交圆O于点E',可得BO+O£>BE，从而可得

BO+OE>Br,即BE为最大值，再由勾股定理求出BO的长即可解决问题.

【详解】解：由题意知，CEJJ于点E,

...以AC为直径作圆O,

VCE1AE,

.•.点E在圆O上运动，

连接BO,并延长交圆O于点如图，

Z.BO+OE'>BE'，

VOE=O

.,.BO+OE>BE,

，BE的长为最大值，

VAO=OC=OE,且AB=AC=4,

2

又•.，NBAC=90°

BO2=AO2+AB2=4?+2?=20

BO=275

.*.BE=5O+QE=26+2

故答案为：2+2非

【点睛】此题主要考查了求线段的最大值，构造出4ACE的外接贺是解答本题的关键.

三、解答题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.解方程：X2+4%+3=0.

【答案】％=-1,x2=一3

【解析】

【分析】

直接因式分解即可求解.

【详解】x2+4x+3=0

(x+3)(x+l)=0

%——1,%2—3.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键.

18.关于x的一元二次方程犬―2%+加一1=。有实数根.

(1)求用的取值范围；

(2)请选择一个符合条件的〃?的值，并求此时方程的根.

【答案】(1)m<2；(2)答案不唯一.

【解析】

【分析】

(1)根据△"),解不等式即可求解；

(2)选择一个符合条件的m的值，解方程即可求解.

【详解】解：⑴根据题意,得△=b2-4a*0,

即(-2)2-4(m-1)>0,

解得mW2.

(2)当m=l时，方程为x2-2x=0,

解得xi=0,X2=2.

注：m值不唯一.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a和)的根的判别式△=b?-4ac：当△>(),

方程有两个不相等的实数根：当△=()，方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数

根.

19.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

己知：如图，。。及。。上一点P.

求作：过点P的。。的切线.

①作射线OP;

②在直线。P外任取一点4以点A为圆心，AP为半径作GM,与射线OP交于另一点8；

③连接并延长BA与。A交于点C；

④作直线PC-.

则直线PC即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明：

证明：BC是。A的直径，

ZSPC=90°（）（填推理的依据）.

OP±PC.

又：OP是。。的半径，

・・.PC是O。的切线（）（填推理的依据）.

【答案】（1）补全的图形见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直

于这条半径的直线是圆的切线.

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出图形即可；

（2）根据圆周角定理得到NBPC=90。，根据切线的判定定理即可得到结论.

【详解】（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；

（2）证明：：BC是OA的直径，

.•.NBPC=90。（圆周角定理），

.,.OP±PC.

又OP是。。的半径，

...PC是G）0的切线（切线的判定）.

故答案为圆周角定理，切线的判定.

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键.

20.如图，OO的半径为2,四边形ABC。内接于。。，圆心。到AC的距离等于6.

（1）求AC的长；

（2）求/ADC的度数.

B

O-

D

【答案】⑴2；（2）150°

【解析】

【分析】

（1）过点。作OEJ_AC于点E，根据勾股定理求出CE,即可得出答案；

（2）连接。4,先求出ZAOC=60°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出/B=30。,

即可得出答案.

【详解】（1）过点。作OE_LAC于点E，如图，

B

则在中，OE=0OC=2,

•••CE=y/0C2-0E2=,22一(可=1

AC=2CE=2；

(2)连接04,如图：

B

D

•.•由(1)知，在△AOC中，AC=OA^OC,

：.ZAOC=60°,

•.•弧4。=弧AC,

Z8」NAOC=30°,

2

/.ZADC=180°-ZB=180°-30°=150°.

【点睛】本题考查了垂径定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题

关键.

21.在平面直角坐标系中，直线/：丁=%-1与双曲线丁=幺相交于点42,，〃).

(1)求点A坐标及反比例函数的表达式；

(2)若直线/与x轴交于点8,点P在反比例函数的图象上，当aOPB的面积为1时，求

点P的坐标.

2

【答案】⑴点42,1),反比例函数y=『⑵点P(l,2)或(一1,-2)

【解析】

【分析】

(1)代入坐标点先求坐标，再求反比例函数表达式；

(2)作图，根据图像求出P点纵坐标，再代入反比例函数即可求出坐标.

【详解】(1)TA在y=x・l上,

当x=2时,y=l,即m=l,

点42,1）,

2

再把A的坐标代入反比例函数解得：丁=一；

x

（2）

由函数表达式可求得点3（1,0）,

・・q-1

,0AOPB-1，

即:OBlyp1=1,

，Iy"=i,

点P（l,2）或（-1,-2）；

【点睛】此题考查反比例函数与一次函数相关知识，结合图像是关键.

22.若二次函数y=a?+Z?x+c的x与N的部份对应值如下表：

X-4-3-2-101

y-503430

（1）求此二次函数的解析式；

（2）画出此函数图象（不用列表）；

（3）结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围.

【答案】⑴y=-x2-2x+3；(2)见详解；(3)-5<y<4.

【解析】

【分析】

(1)利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为(T,4),则可设顶点式

y=a(x+1)2+4,然后把(0,3)代入求出a的值即；

(2)利用描点法画二次函数图象；

(3)观察函数函数图象，当时，函数的最大值为4,于是可得到y的取值范围为

-5<y<4.

【详解】解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(T,4),设y=a(x+1)2+4,

把(0,3)代入得a(0+1)2+4=3,

解得a=T,

二抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3；

(2)如图，

%

(3)如图：当-4Wx<l时，-5Wy*.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式

时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当

已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物

线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，

可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质.

23.为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是

如图所示的抛物线的一部份.己知实心球出手处A距离地面的高度是2米，当实心球运行的

25

水平距离为3米时，达到最大高度一米的B处，实心球的落地点为C.

9

(1)如图，已知AOLC。于。，以。为原点，CO所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

在图中画出坐标系，点8的坐标为；

(2)小明此次投掷的成绩是多少米？

【答案】⑴气3,互1；(2)8米

【解析】

【分析】

(1)根据题意直接写出坐标即可；

(2)求出二次函数表达式，求C点横坐标即可;

【详解】(1)坐标系

(2)设抛物线的表达式为y=a(x—3>+§(470)

由抛物线经过点

得与=a(-3)2+解得a~~~

y=」(X-3)2+—

-99

y=0时，X[=8,x2=-2(舍)

答：小明此次投掷的成绩是8米

【点睛】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键

24.如图，在AABC中，BC=AC,以为直径的。。与边A3相交于点。，与边AB

相交于点/，DE1AC,垂足为点E，连接OO.

(1)求证：OE与。。相切；

(2)若A£=2,的半径H=4,求OE的长.

【答案】(1)见解析；(2)2G

【解析】

【分析】

(1)根据内错角证明两直线平行，再换算角度即可证明DE与OO相切;

(2)构造直角三角形根据勾股定理即可求出DE的长.

【详解】(1)证明：连接C£>

VBC为QO的直径，...ZBDC=90°

：.CD±AB

又：BC=AC：.Z1=Z2

OD=ocN1=N3N2——N3

：.ODUAC

NODE=ZAED

•：DEIAC：.ZAED^90°

：.NODE=90°:.DE1OD

OE与0。相切

(2)过。作ON_LC/于N,

可得四边形QDEN是矩形，

:.EN=OD=R=4,ON=DE

又：AE=2,AC=CB=4+4=8,

CN=AC-AE-EN=AC-AE—OD=2,

在RSONC中,ON=^/OC2-CN2

；•ON=20，

；•DE=

【点睛】此题考查圆的相关知识，涉及到切线，平行线的判定，勾股定理等.

,1

25.已函数y=r+-,请结合学习函数经验，探究它的相关性质：

X

(1)自变量X的取值范围是；

(2)工与y的几组对应值如下表，请补全表格:

X0.20.511.522.5

2.521.510.50.2

》...5.853.51.5805.04mn2.924.56.65

1.754.96

其中加二,〃二.

(3)下图中画出了函数的一部份图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象；

(4)请写出这个函数的一条性质：；

(5)结合图象，直接写出方程/-2》+工=0所有实根：.

【答案】(1)龙。0;(2)2.25,2；(3)见解析;(4)答案不唯一；(5)%=-0.6,x2=l,

=1.6.

【解析】

【分析】

(1)观察解析式可直接得出结果；

(2)分别带入相应自变量的值即可计算出；

(3)先描点，然后用平滑的曲线连接各点；

(4)可根写增减性，也可写相应取值范围内的最值;

(5)看作两个函数交点问题来解决即可.

【详解】(1)XH0；

(2)分别将x=0.5和x=l带入解析式，得加=2.25,〃=2；

(3)如图；

（4）答案不唯一，

如：当％<0时，y随工的增大而减小;

,।,1

（5）对于方程V—2x+-=0,可变形为f+±=2x,求该方程的实数根，即为求函数X

XX

,1

与力交点的横坐标，其中x=f+—,%=2x,故在图中做出％=2x的图象，如图，

x

直接可读出三个交点得横坐标为X1=-0.6,x2=l,x3=1.6.

【点睛】本题考查的是新函数探究问题，但本质上考查的是对函数的研究方法和逻辑；掌握

函数求自变量取值范围，以及根据函数解析式求确定自变量时的函数值是基础;画函数图象,

并且注意根据自变量的取值范围来确定图象形式是关键;利用作好的图象解决问题是此类题

型考查的基本核心，注重数形结合的思想，将复杂的方程或不等式简单化，是本题的目的.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线）=一/+2氏一机2+机的顶点为A

（1）求抛物线的顶点坐标（用用表示）；

（2）若点A在第一象限，且。4=0，求抛物线的解析式；

（3）已知点5（机一1,加一2）,C（2,2）,若抛物线与线段8。有公共点，结合函数图象，直

接写出用的取值范围

【答案】(1)(北加)；(2)y=-f+2x或写为：y=-(x-l)2+l；(3)m<2,或〃zN3.

【解析】

【分析】

(1)化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标：

(2)求出点A0,列方程求解即可；

(3)考虑点C在抛物线上时m的值，再结合图形，分情况进行讨论.

【详解】(1)Vy=-x2+2mx-m2+m--(x-m)2+m,

...抛物线的顶点A坐标为(m,m).

(2)点A在第一象限,

OA=Om,

"­'0A=O

m=1

抛物线的表达式为y=—V+2x,或写为：y=-U-l)2+l

(3)把C(2,2)代入了=-%2+2切%-根2+加，得

2=-22+4-m-nr+m>

解得加=2或3,

结合图象可得：

当加W2时，抛物线与线段8c有公共点，

当2<根<3时，抛物线与线段8C无公共点，

当加23时，抛物线与线段8C有公共点；

综上，当机W2或加23时，抛物线与线段有公共点.

【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质.

27.已知：过。。上一点A作两条弦A3、AC,且NA=45°,（A3、AC都不经过0）

过A作AC的垂线A/，交。。于。，直线BD，AC交于点E，直线8C，交于点尸.

（1）请在图1中，按要求补全图形；

（2）在图2中探索线段跖和8尸的数量关系，并证明你的结论；

（3）探索线段A3、AE，A尸的数量关系，并直接写出你的结论.

【答案】（1）见解析；（2）BE=BF，理由见解析；（3）AE=AF+y[2AB

【解析】

【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）连接EF，CD,取EF中点G连接6G、AG,证明3、E、A、F四点共圆进而

可证出结论；

（3）由（2）知，点A、B、E、F四点共圆，连接CD,交AB于点P,则CD过圆心0,

由证得出△ACBs^APDsCPB,进而可证AC+AD=JI43，由等量代换可得出结论.

【详解】解：（1）补全图形

Bi

（///。.

C\~E

（2）BE=BF

证明：连接族，CD,CD过圆心O,CD为直径，取Ef中点G连接BG、AG

AF1AE，ZDBF=90°,

ZEBF=ZFAE=90°

；EG^AG

：.EG=BG=AG=GF

:.B、E、A、F在圆G上，

，N1=N2,

：/DAE=90。，NBAD=45。，

Z2=ZBAD=45°,

XVZEBF=90°,

；.NBEF=45°=/1,

•••BE=BF，

故答案为：BE=BF；

B

E

(3)由(2)知，点A、B、E、F四点共圆，连接CD,交AB于点P,则CD过圆心O,

NBEA=/BFA,BE=BF，NEBC=/DBF=NDAE=90。，

.".△EBC^AFBD,

；.BC=BD,CE=DF,

在ZkACB和AAPD中，

ZCAB=ZDAB=45°,ZABC=ZADC,ZBCD=45°,

.".△ACB^AAPD^CPB,

.ACABBCAB

••丽—而'版一葭'

AC-AD^AP-AB,BC2=BPAB,

CD为直径，AC2+