2022年重庆八中高考数学一模试卷及答案解析

2022年重庆八中高考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

I.（5分）设复数Z满足2=弯，则|z|=（）

L\五

A.1B.V2C.-D.—

22

2.（5分）已知集合A={x||x-1|W2},B={x|/-6x+5>0},则AG（CRB）=（）

A.{x|-l〈x<5}B.{M-lWxWl}C.{x|l〈xW5}D.{MlWxW3}

%2y2

3.（5分）与双曲线7-y=1渐近线相同且经过点（百，2）的双曲线的标准方程为（）

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

6423

y2x2y2x2

C.---=1D.---=1

2346

4.（5分）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年公元前222年），其

中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一

个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容

器，如图1,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径为4c7%和高为6cm，

细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的I（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部

后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为（）

5.(5分)已数y=g(X)满足g(x)+g(-x)=0且g(x+4)=g(x),当0WxW2时，g

%0xi

，设/(x)=g(x)+g(x+1),则f(2022)=()

{2—x,1<x<2

A.0B.-1C.-2D.1

第1页共20页

12

6.（5分）已知正实数小匕满足—+:=1,贝113a6-54-b的最小值为（）

ab

A.9B.4+4V2C.10D.无最小值

1o4

7.（5分）已知a=b=log168,c=Q）与，则a,b,c的大小关系为（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.（5分）已知某校为学生提供了四种体育锻炼的方式：跑步、跳绳、排球、篮球.规定学

生体育锻炼必须且只能从上述四种体育锻炼方式中选择一种.已知学生甲不选篮球，学

生乙只选排球，学生丙、丁选择哪种方式体锻炼都可以，这四名学生体育锻炼后，恰好

选择了其中的三种体育锻炼方式，那么他们选择体育锻炼方式的可能情况有（）种.

A.7B.12C.19D.26

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是

符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

（多选）9.（5分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕.为了普

及冰雪运动，某社区举办了一个冰雪运动知识竞赛，并为所有参与竞赛的居民设置了一

等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且7品的单价分别为：一等奖300元、二等奖200

元、三等奖100元、参与奖50元，获奖人数的分配情况如图2所示，则以下说法正确的

B.三等奖的总费用是一等奖总费用的2倍

C.购买奖品的费用的平均数为92.5元

D.奖品的费用的中位数为50元

（多选）10.（5分）已知函数/（久）=sincox+V5cos3X（a）>0）相邻的最高点的距离为IT,

则下列结论正确的是（）

A.函数y=/（x）的图象关于点G，0）中心对称

第2页共20页

•JTTC

B.函数/（x）在区间［―看，子上的值域为［1,2］

C.将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的点然后向左平移，个单位得

y=-2sin（4x+多的图象

D.若/（。）=孝,则/（2。+含=竽

（多选）11.（5分）已知直线，：x+Vly—3b=0（b>0）和圆O：x2+y2^b2,下列说法正

确的有（）

A.不论b如何变化，直线/和圆。都无交点

B.不论6如何变化，直线/恒过定点

C.若P是直线/上任意一点，M,N是圆0上任意两点，则茄•前》0恒成立

D.若直线/上存在两点P,尸2,使得过点2）做圆O的两条切线夹角都为60°,

则|P1P2|=26

（多选）12.（5分）已知函数f（x）=1〃（ex）-x,g（x）=/-x,若关于x的方程f（x）

=a-g（x）的解与€弓，1）,则实数。的可能取值为（）

e2

A.-eB.-C.一D.e

2e

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）

13.（5分）已知正项等比数列｛板｝满足〃2・。5・〃7・410=16,则〃6的值为.

14.（5分）若（2%+1）（/+乡6（°>0）的展开式中含/项的系数为90,则。=.

15.（5分）如图，在梯形ABCQ中，已知AB〃C£>,ABLBD,AD=2BD=2y/3DC=2,若

例是线段4。上的动点，当•靛取最小值时，诂与成1的夹角为.

为椭圆C的左、右焦点，且满足|PFJ=I&F2I，PFr-PF2=6c2,若线段P&交椭圆于

第3页共20页

T2T

M点，且F2M=fF2P,则椭圆C的离心率e=.

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）记S"是公差不为。的等差数列｛〃”｝的前〃项和，若。3=$3,«3«4=S5.

（1）求数列｛的｝的通项公式a”；

（2）求使成立的〃的最小值.

18.（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,从以下三个条件中任选一

个：①。cosB=（.2a-b）cosC；②2csin（4+看）=a+b；③bsin"*=csinB,解答如

下的问题：

（1）求角C；

（2）若力为线段AB上一点，且满足C£）=BO=2AD,设求。.

19.（12分）如图4,在斜三棱柱ABC-Ai81cl中，AiB_L平面ABC,AiB=A8=3,BC=2,

AC=V13,E是A4i的中点.

（1）求四面体E-8CC1的体积；

（2）求二面角C-EB-C1的余弦值的大小.

B为切点分别作抛物线C的两条切线交于点P.

（1）若线段AB的中点N的纵坐标为|,求直线A8的方程；

（2）求动点P的轨迹.

21.（12分）长江是我国第一大河，永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展

的千秋大计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令，是我国保护长江的百年大计,

是保护后代子孙生活环境的重大举措.某科研机构发现：在理想状态下，鱼群数量y随

时间，的增长满足指数模型：y=aebt,其中a表示初始时刻的鱼群数量，h表示鱼群的增

长率.该科研机构在某个监测站从2021年1月到2021年7月每个月测一次数据，数据

整理如下：

第4页共20页

时间/（单1234567

位：月）

鱼群数量8101424417693

y（单位：

千克）

（1）根据上表与参考数据，建立理想状态下鱼群的数量y关于时间f的回归方程；

（2）科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率匕与某个环境指标x（xG（0,2n））满足

关系：/,=一凶瞪竺i+c（其中c与每年禁渔的总时间”（单位：月）（0W4W12,JGN）

有关，c=4—1.）

（i）在2020年起实施全年禁渔令以后，若希望鱼群数量增加，如何控制环境指标x的

取值范围？

（ii）在2020年之前，长江每年的禁渔时长为3个月，请说明我国在2020年起实施全

年禁渔令的科学性.参考数据：

J45

yV£7=1£：=1《科*45

383.251478103.601.574.26

其中女=仇力,V=

参考公式：对于一组数据（〃1,Vl）,（W2,V2）,…，Vw）,其回归直线U=Q+/?〃的

斜率和截距的最小二乘估计公式分别为7=不"尸；,a=v-pu.

诔=1埠一疝

22.（12分）已知函数/（x）=xlnx-a（x-1）.

（1）若f（x）20,求a的值；

（2）证明：对一切〃CN*均有（噜）nOix（71-1）x…x2x1Ve（噜）"+1成立.（其中

e为自然对数的底数）.

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2022年重庆八中高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.(5分)设复数Z满足2=雪，贝此尸()

L1

A.1B.V2C.-

2

,缶刀凭丫缶丑・•3+2i(3+2t)(2+3i)13i

【解答】解：♦z=q=)2_3d(2+3«F=i

\z\=VO2+I2=1.

故选：A.

2.(5分)已知集合4={矶・1|W2},B={x\x1-6x+5>0},则AC(CRB)=()

A.{x|-lWxW5}B.{X|-1WXW1}C.{x|lWxW5}D.{x|lWxW3}

【解答】解：=-1WXW3},B={x|x<l或x>5},

，CRB={X|1WXW5},AH(CRB)={X|KW3}.

故选：D.

X2V2

3.（5分）与双曲线7-y=1渐近线相同且经过点（VL2）的双曲线的标准方程为（）

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

6423

y2x2y2x2

C.---=1D.---=1

2346

X2v2

【解答】解：由题意可知，可设双曲线的方程是7r-J=a,

32

34

把点（次，2）代入方程得,--=A,

解得人=-1,

22

故所求的双曲线的方程是：Jy——x=1.

23

故选：C.

4.（5分）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年公元前222年），其

中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一

个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容

器，如图I,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径为4cm和高为6cm,

第6页共20页

细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的;（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部

后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为（）

9327

【解答】解：由题意可知，开始时，沙漏上部分圆雉中的细沙的高H=|x6=4,底面

圆的半径r=:x4=等，故细沙的体积U=\nr2H=izrx(^)2x4=等，

OO3OZ/

i647r

当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为2,设高为,则-兀X22XH'=—,

327

得卬=竽，

故此锥形沙堆的高为募cm.

故选：B.

5.(5分)已数y=g(x)满足g(x)+g(-x)=0且g(x+4)=g(x),当0WxW2时，g

x0vxv1

'——，设/(x)=g(x)+g(x+1),则/(2022)=()

(2-x,1<x<2

A.0B.-1C.-2D.1

【解答】解:根据题意，y=g(x)满足g(x)+g(-x)=0且g(x+4)=g(x),

则g(x)是奇函数且是周期为4的周期函数，

又由当0WxW2时，g(x)=2‘1,

(2—x,1<x<2

贝！Jg(2022)=g(2+505X4)=g(2)=0,g(2023)=g(-1+506X4)=g(-1)

=-g(1)=-1,

又由f(x)=g(x)+g(x+1),

故/(2022)=g(2022)+g(2023)=-1,

故选：B.

第7页共20页

12

6.（5分）已知正实数〃，b满足一+工=1,则-5。-。的最小值为（）

ab

A.9B.4+4&C.10D.无最小值

、12

【解答】解：正实数〃，人满足一+-=1,则2〃+2=出?，所以3出?-5。-力=6。+38-5。

ab

-b=a+2b,

所以a+2b=（a+2b）《+$=5+等+^Z9,当且仅当a=b=3时，等号成立，

故选：A.

1O4

7.（5分）已知a=e.4,b=log168,c=（/），，则mb,c的大小关系为（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【解答】解：•.•a=eJ,.•.a4=e-i=：e（1,1）,

•"=logi68=巧。%2=["=（1）4=船G，

.".b<a,

;c=（33V.,.,一</?,

.'.a>b>c,

故选：C.

8.（5分）己知某校为学生提供了四种体育锻炼的方式：跑步、跳绳、排球、篮球.规定学

生体育锻炼必须且只能从上述四种体育锻炼方式中选择一种.已知学生甲不选篮球，学

生乙只选排球，学生丙、丁选择哪种方式体锻炼都可以，这四名学生体育锻炼后，恰好

选择了其中的三种体育锻炼方式，那么他们选择体育锻炼方式的可能情况有（）种.

A.7B.12C.19D.26

【解答】解：①若四人选择的三种体育锻炼方式中没有篮球，则甲，乙，丙可以在另外

三种方式中任选，但跑步，跳绳必须有人选，分三类，故共有胆+弓+武=12；

②若四人选择的三种体育锻炼方式中没有跑步，当甲选排球时，则丙，丁必须去选跳绳

和篮球，故共有肠=2；当甲选择跳绳时，分三类，共有1+般«=5,

③同理若四人选择的三种体育锻炼方式中没有跳绳，共有7种情况；

综上，根据分类计数原理可得共有7+7+12=26种.

故选：D.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是

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符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

（多选）9.（5分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕.为了普

及冰雪运动，某社区举办了一个冰雪运动知识竞赛，并为所有参与竞赛的居民设置了一

等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且考品的单价分别为：一等奖300元、二等奖200

元、三等奖100元、参与奖50元，获奖人数的分配情况如图2所示，则以下说法正确的

B.三等奖的总费用是一等奖总费用的2倍

C.购买奖品的费用的平均数为92.5元

D.奖品的费用的中位数为50元

【解答】解：对于A,假设共有100人参加本次竞赛，参与奖占：1-30%-10%-5%=

55%,

.•.参与奖总费用为100X55%X50=2750元，

三等奖的总费用为100X30%X100=3000元，

二等奖的总费用为100X10%X200=2000元，

一等奖的总费用为1OOX5%X3OO=15OO元，

三等奖总费用最高，故A错误；

对于8,由A知三等奖的总费用是一等奖总费用的2倍，故B正确；

对于C,购买奖品的费用的平均数为：50X55%+100X30%+200X10%+300X5%=92.5

元，故C正确；

对于£>,参与奖的从数有100义55%=55人，超过了人娄的一半，

...中位数为50元，故O正确.

故选：BCD.

（多选）10.（5分）已知函数/（x）=siruox+百cosa>x（3>0）相邻的最高点的距离为m

第9页共20页

则下列结论正确的是()

A.函数y=/(x)的图象关于点G，0)中心对称

77"7T

B.函数f(x)在区间[一强,上的值域为[1,2]

C.将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的士然后向左平移四个单位得

24

y=-2sin(4x+亨)的图象

D.若/(。)=冬则/(20+含=竽

【解答】解：由题意，化简得/(x)=sina)x+V3cosa)x=2sin(a)x+^),

由题意知周期/=普=11,得3=2,

所以/G)=2sin(2x+j),当工=专时，2x+9=n,故A项正确；

当天日一卷，号时，2升注[0,n],故/(X)G[0,2],故8项错误；

将函数y=/(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的去得到y=2sin⑷+引，

再向左平移3个单位，可得y=2sin(4x+ir+^)=-2sin(4x+9故C项正确；

由/(0)=2in(20+'=*,可得：sin(20+电=*,

于是/(2。+居)=2sin(4。+普)=2cos(4。+鄂=2[1-2sin2(26+1)]=等,故D

项正确.

故选：ACD.

(多选)11.(5分)已知直线〃工+鱼、-3/?=03>0)和圆O：/+丫2=庐，下列说法正

确的有()

A.不论。如何变化，直线/和圆。都无交点

B.不论6如何变化，直线/恒过定点

C.若尸是直线/上任意一点，M,N是圆。上任意两点，则茄•而>0恒成立

D.若直线/上存在两点P\,P2,使得过点P"i=l,2)做圆O的两条切线夹角都为60°,

则|PIP2|=2〃

【解答】解：圆。：W+y2=/的圆心O(0,0),半径为6,

圆心O到直线，：x+Vly—3b=0(b>0)的距离1=号^=B。>匕，故直线/和圆。

第10页共20页

相离，故A正确；

由直线2；x+&y-3b=0(b>0)的方程知是平行直线系方程，故直线不可能过定点，

故8错误；

当M,N是过P与圆相切的切线的切点时，NMPN最大，又P是直线/上的动点，

当尸是过。向直线/作垂线的垂足时，NMPN最大，此时P。是点。到直线的距离d=V3b,

所以sinNO/W=H=*=孚V孝，故NMPOV?故NMPNV货

所以茄・前>0恒成立，故C正确；

直线/上存在两点P,P2,使得过点E(i=l,2)做圆O的两条切线夹角都为60°,

则NMPO=30°,此时|OPi|=2b,

即|尸|尸2|为以O为圆心，2b为半径的圆与直线/相交的弦，故上铲2|=2>/462-3炉=26,

故D正确.

(多选)12.(5分)已知函数f(x)=ln(ex')-x,g(x)=/-x,若关于x的方程/(x)

=a，g(x)的解%)€3，1),则实数〃的可能取值为()

e2

A.-eB.-C.-D.e

2e

【解答】解：对于函数/(x)=1〃(ex)-x^lnx-x+1,则，(x)=]—1=?,

11

当*<r<l时;f(x)>0,故函数/(x)在(71)上单调递增，此时/(X)</(1)

=0,

1

当一<X<1,g(x)=X(X-1)<0,

e

1

当aWO且一<rVl时，则f(x)(x),

e

当a>0时，令h(x)=a・g(x)=a(x2-x),

第11页共20页

111

由二次函数的基本性质可知，函数〃(X)在(-,一)上单调递减，在(一,1)上单调递

e22

增，

1

且力(1)=0,h(-)<0,则〃(x)<h(1)=0,

e

111ill

要使得当刈€(一，1)时，f(xo)=ag(xo),只需/(一)<h(-),即—/(—--)»

eeeee

解•得ciV：1，即0V。V'1,

e—ie—k

故选：BC.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上)

13.(5分)已知正项等比数列｛〃,1｝满足〃2・。5・〃7・〃1()=16,则〃6的值为2.

【解答】解：,。5•。7•@10=al,Q20=16，

.•.QiqS=2,

即46=2,

故答案为：2.

14.(5分)若(2x+l)(x2+36(a>0)的展开式中含/项的系数为90,则。=_避

【解答】解：：(/+》6的通项公式为Tr+[=小”-3r,

令12-3尸=6,求得r=2；令12-3r=7,求得厂无整数解.

(2x+1)(/+今6(a〉o)的展开式中含P项的系数为2x弓・/=90,则a=百，

故答案为：V3.

15.(5分)如图，在梯形ABC。中，已知AB〃CZ),AB1BD,AD=2BD=2用DC=2,若

M是线段A。上的动点，当•能取最小值时，诂与沆的夹角为n

~2—

【解答】解：取线段8c中点N,如图,

第12页共20页

由极化恒等式可得:

MB•MC=(MN+NB)・(MN+NC)=(MN+NB”(MN-NB)

=MN2-NB2=|M/V]2-|NBF=\MN\2-^\BC\2=\MN\2-^^\BD\2+|DC|2)=|M/V]2-1,

要使藤•薪最小，则最小，此时MVJ_A£>,

\'AB±BD,AD=2BD=2陋DC=2,：.60°,

々

.BD=\,3AB//CD,：.ZDBC=60Q,

&

3

u

：BD=\fAB//CD,：.ZDBC=30°,

•:DN=BN,；.NBDN=30°,AZADN=90°,：.DN±AD,

*：DN±AD,.・・M与。重合，

1T71

此时MB与MC的夹角为7

71

故答案为：

16.(5分)己知P为椭圆C：，+l(a>b>0)外一点，Fi(-c,0),Fi(c,0)分别

为椭圆C的左、右焦点，且满足IPFJ=正抵1，帝•欣=6c2,若线段尸放交椭圆于

M点，且F2M=5尸22，则椭圆C的离心率

2

【解答】解：设尸(xo,川)，因为|PFi|=|招尸2|,PFT-PF2=6c,

则俨+G~y。2t,”解得x°=-2c，w=土gc,

U-c-%0^一、0)・(”&，-yo)=6cz

即P(-2c,±V3c),

T2T2

而F2M=可尸22，即(XM-C,)；M)=w(-2c-C,±V3c),

,2J12>/3

可得XM=-c,yM="y。，即M(-c,~c),

C24c2_

将M的坐标代入椭圆的方程可得：—+—=1,e=g房=.2-,2,

a23b2a

第13页共20页

整理可得：e2岩或3(舍)，

即e=字，

故答案为：二.

3

四、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)记S,是公差不为0的等差数列｛〃”｝的前〃项和，若03=S3,a3(i4=S5.

(1)求数列｛斯｝的通项公式而；

(2)求使品>。"成立的n的最小值.

【解答】解：(1)因为数列S”是公差d不为0的等差数列｛〃”｝的前〃项和，

若43=S3,a344=S5,

所以1的+2d=3al+3d,

1(%+24)(%+3d)=5al+10d,

解得ki=T，或(舍)，

Q=2(d=0,

所以an=ai+(n-l)d—2n-3.

22

(2)劭=2"-3,ai=-l,Sn=-n+x2=n-2n,Sn>an,即n-2n>2n

-3.

整理可得M-4〃+3>0,解得〃>3或“VI时，

由于"为正整数，故"的最小正值为4.

18.(12分)在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为小b,c,从以下三个条件中任选一

个：①ccosB=(2a-b)cosC；②2csin(4+看)=a+b；③bsin"；'=csinB,解答如

下的问题：

(1)求角C；

(2)若。为线段AB上一点，且满足CQ=BQ=2A。，设NBC£>=。，求。.

【解答】解：(1)若选①：由正弦定理可得，sinCcosB=(2sirt4-sinB)cosC,

.*.sinCcos^=2sinAcosC-sinBcosC,

.\2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+8)=sinA,

VAG(0,Ti),

二•sinAWO,

第14页共20页

cosC=

又C€(0,分

n

AC=3,

若选②：由2csin(4+看)=Q+b,展开得gcsin/l+ccosA—a—b=0,

又由正弦定理可知V5sinCsinA+sinCcosA—sinA-sinB=0,

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以KsinCsi几4—sinA—sinAcosC=0,

又AE(0,n),则sin4>0,

所以，5si?iC-cosC=1,

所以2si九(C—看)=1,可得sizi(C—')='

又C£(0,IT),所以C—看6(—卷，片3，

所以C—A5可得c=?

若选③：bsin4罗=csinB,可得bs讥(勺马=bcos^=csinB,

由正弦定理可得sinBcos苧=sinCsinB,

又sinBWO,可得cos亨=sinC=2sin^cos^

C7TC1

因为CE(0,IT),—G(0/5),可得5出2=中

可得£=p所以C=?•

263

(2)因为5£)=CD,所以B=N3C£>=e,

77"2

在△ACD中,Z-ACD=^-d,Z.CAD=^n-0,

ADCD

由正弦定理得2

sin©-。)sin(-7r-0)

因为CD=2AD,所以2sing-0)=sin(|TT-0),即gcos。-sin0=孚cos。+1sin0,

3V3R

所以一sin。——cos0=0,即tan。=-y,

223

又0V6V多所以"亲

19.(12分)如图4,在斜三棱柱4BC-48C1中,4B_L平面ABC,AiB=AB=3,BC=2,

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AC=jn,E是AAi的中点.

（1）求四面体E-BCG的体积；

（2）求二面角C-EB-Cl的余弦值的大小.

【解答】（1）证明：在三棱柱中，〃平面BCCIBI=%_BCQ=%-BCQ=%I"B「

........（3分）

由AB=3,BC=2,AC=V13,AB2+BC2=AC2,

由勾股定理知AB±BC,

11

V

E-BCCA=VC1-ABC=3X2X3x2x3=3.........................(5分)

(2)解：AiBJ_平面ABC,以8为原点，BA为x轴，8c为y轴，8A1为z轴，建立空

间直角坐标系.

则C(0,2,0),E&0,1),B(0,0,0),Ci(-3,2,3).....................

(6分)

TT42

在平面中，BC=(0,2,0),=0,金.

设平面CEB的法向量元=（尤「zi）,贝”呼.?=°’即2yl=0/

3,3_

BE•=0,、尹1+2Z1=0n，

取元=(L0,-1)...........................(8分)

t—qq

在平面£8。中，BQ=(-3,2,3),BE=0,务.

BCi•九2=即-3x2+2y2+3z2=0,

设平面EBCl的法向量几2=（%2，yzfz2）»则33

(尹2+三20,

BE-n2=0/

取电=(1/3,-1).（10分）

工日J五£2/22

于血c°s的'电＞=而鬲=声不=五'

V22

又二面角C-EB-C\为锐角，故所求二面角的余弦值为一二.（12分）

11

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20.（12分）已知抛物线C：y=/,过点M（l,2）的直线交抛物线C于A,B两点，以A,

B为切点分别作抛物线C的两条切线交于点P.

3

（1）若线段AB的中点N的纵坐标为5,求直线AB的方程；

（2）求动点尸的轨迹.

【解答】解：（1）依题意有：直线AB的斜率必存在，故可设直线AB的方程为y-2=A

（.x-1）.

y-2=k(x-1),可得：/一日+八2=0.

由

y=x2,

设A（xi,yi）,B（X2,”），则有川+%2=女，x\x2=k-2.........................（2

分）

于是：丫1+=好+以=（%1+'2）2—2%1%2=1—2々+4=3,解得攵=1,

故直线AB的方程为x-尹1=0............................................（5分）

（2）设尸（jto,jo）,对于抛物线y=/,y=2xf...............................（6

分）

于是：4点处切线方程为y-#=2Y]（x-xi）,.................................（7

分）

点P在该切线上,故y（）-必=2%式々）一打），即君一+y（）=0.

同理：P点坐标也满足慰-2XOX2+%=0，

于是：xi,工2是方程x2-2wx+yo=O的两根，

所以XI+X2=2XO,xix2=yo..............................................（10分）

又由（1）可知：x\-^-x2=k,xix2=k-2,

于是&=5，y0=k-2,于是P的轨迹方程为2x-y-2=0,点P的轨迹是一条直

线.....................................................................（12分）

第17页共20页

y—好=2/。一川，得到卜。=为审1+*2，来求解］

【本题也可联立

xx

.y-xj=2X2（X-X2）,7。=l2

21.（12分）长江是我国第一大河，永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展

的千秋大计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令，是我国保护长江的百年大计,

是保护后代子孙生活环境的重大举措.某科研机构发现：在理想状态下，鱼群数量y随

时间r的增长满足指数模型：y=a』,其中a表示初始时刻的鱼群数量，6表示鱼群的增

长率.该科研机构在某个监测站从2021年1月到2021年7月每个月测一次数据，数据

整理如下：

时间/（单1234567

位：月）

鱼群数量8101424417693

y（单位：

千克）

（1）根据上表与参考数据，建立理想状态下鱼群的数量y关于时间f的回归方程；

（2）科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率〃与某个环境指标x（xe（0,2TT））满足

关系：/,=一如黄*+c（其中c与每年禁渔的总时间”（单位：月）（0W”W12,JGN）

有关，c=备—1.）

（i）在2020年起实施全年禁渔令以后，若希望鱼群数量增加，如何控制环境指标x的

取值范围？

（ii）在2020年之前，长江每年的禁渔时长为3个月，请说明我国在2020年起实施全

年禁渔令的科学性.参考数据：

yVtRiJ*/.45

383.251478103.601.574.26

其中%=，0，v=|sr=i