人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（原卷版）

第06讲1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课程标准学习目标①会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值②会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.1、能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解.2、通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础.知识点01：点到线面距离1、点到直线的距离已知直线SKIPIF1<0的单位方向向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的定点，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0外一点.设SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<02、点到平面的距离如图，已知平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内的定点，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一点.过点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0的方向向量，且点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离就是SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的长度.SKIPIF1<0【即学即练1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在圆锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是底面圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，由圆锥的几何性质可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.故选：B.知识点02：用向量法求空间角1、用向量运算求两条直线所成角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.【即学即练2】（2023春·陕西汉中·高二统考期末）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为体对角线SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：A.2、用向量运算求直线与平面所成角设直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，直线与平面所成的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的角为SKIPIF1<0，则有①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.（注意此公式中最后的形式是：SKIPIF1<0）【即学即练3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03、用向量运算求平面与平面的夹角如图，若SKIPIF1<0于A，SKIPIF1<0于B，平面PAB交SKIPIF1<0于E，则∠AEB为二面角SKIPIF1<0的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若SKIPIF1<0分别为面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则SKIPIF1<0；若二面角为顿二面角（取负），则SKIPIF1<0；【即学即练4】（2023·高一课时练习）正方体SKIPIF1<0中，二面角SKIPIF1<0的大小为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图，以SKIPIF1<0为坐标原点建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，设正方体的棱长为2，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，则SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型01利用空间向量求点线距【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知空间三点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为_____________．【典例3】（多选）（2023春·江西宜春·高二江西省丰城中学校考开学考试）点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，它与经过坐标原点且方向向量为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，SKIPIF1<0为正方形SKIPIF1<0的中心，若SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内的一个动点，则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为__________.题型02利用空间向量求点面距【典例1】（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【典例3】（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，如图（1）．把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图（2）．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【变式1】（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，分别取棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一个动点，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，矩形SKIPIF1<0和梯形SKIPIF1<0所在平面互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【变式3】（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的一个三等分点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．

(1)证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．

题型03转化与化归思想在求空间距离中的应用【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为___________.【典例2】（2023·高二单元测试）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【典例3】（2023秋·广东广州·高二广州市白云中学校考期末）如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【变式1】（2023·浙江温州·统考模拟预测）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为______．【变式2】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为2，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．题型04利用向量方法求两异面直线所成角（定值）【典例1】（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）已知正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，BD，SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与FG所成的角的余弦值为______.

【典例3】（2023·江苏·统考二模）如图，在三棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为45°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值.【变式1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在正四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值.题型05利用向量方法求两异面直线所成角（最值或范围）【典例1】（2023春·高二单元测试）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0两两垂直且相等，点SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上移动，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角余弦值的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）如图，已知四棱台的底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是侧棱SKIPIF1<0所在直线上的动点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·高三课时练习）已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0为定长，当SKIPIF1<0的长度变化时，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的取值范围是______．【变式1】（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的异于点SKIPIF1<0的动点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段EF上的一动点，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型06已知异面直线所成角求参数【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一点，若异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角最小时，则线段SKIPIF1<0的长为____________【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点（不包括端点），若线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0成SKIPIF1<0的角，则线段SKIPIF1<0的长度可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型07利用向量方法求直线与平面所成角【典例1】（2023·陕西商洛·统考二模）在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.(1)证明：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【典例3】（2023春·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【变式1】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为__________.【变式2】（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成角的正弦值．题型08利用向量方法求直线与平面所成角（最值或范围）【典例1】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，圆台的下底面圆SKIPIF1<0的直径为SKIPIF1<0，圆台的上底面圆SKIPIF1<0的直径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是弧SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一动点，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的取值范围.

【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，动点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上移动，设SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角，求SKIPIF1<0的取值范围．【典例3】（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是边长为2的正方形，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角最大时，求四棱锥SKIPIF1<0的体积.【变式1】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以通过SKIPIF1<0以直线SKIPIF1<0为轴旋转得到，且二面角SKIPIF1<0是直二面角．动点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上．

(1)当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点时，求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值；(2)求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值．

【变式2】（2023春·江苏常州·高二校联考期中）如图，圆锥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点，SKIPIF1<0是底面的圆心，SKIPIF1<0为底面直径，SKIPIF1<0，圆锥高SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在高SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是圆锥SKIPIF1<0底面的内接正三角形.(1)若PO=SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0是否垂直，并证明；(2)点SKIPIF1<0在高SKIPIF1<0上的动点，当SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大时，求三棱锥SKIPIF1<0的体积.题型09已知直线与平面所成角求参数【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知四棱锥SKIPIF1<0的底面为平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（异于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【典例3】（2023春·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期中）如图所示，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0菱形SKIPIF1<0所在的平面，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的点.（1）求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，是否存在点SKIPIF1<0，使直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，请求出SKIPIF1<0的值，若不存在，请说明理由.【变式1】（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直径的圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的点，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0上的点，且满足SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．【变式2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）在底面SKIPIF1<0为梯形的多面体中.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，且四边形SKIPIF1<0为矩形．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点SKIPIF1<0的位置并加以证明．题型10利用向量方法求两个平面的夹角（定值）【典例1】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中点.

(1)求三棱锥SKIPIF1<0的体积；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.【典例2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）如图，圆SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.【变式1】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上．

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面PBC；(2)当SKIPIF1<0时，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【变式2】（2023·河南·模拟预测）如图，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大小.题型11利用向量方法求两个平面的夹角（最值或范围）【典例1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的动点.SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点SKIPIF1<0的位置.【典例2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面ABCD.(1)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0为何值时，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的二面角的正弦值最小？【变式1】（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图①所示，长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到图②的四棱锥SKIPIF1<0．(1)求四棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值；(2)设SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夹角余弦值的最小值．【变式2】（2023春·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的二面角为SKIPIF1<0为锐角SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0=__________．题型12已知平面与平面所成角求参数【典例1】（2023·全国·校联考模拟预测）在直四棱柱SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，探索在棱SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023秋·湖北·高二统考期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在，请说明理由．【变式1】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的点.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)是否存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段SKIPIF1<0的长.【变式2】（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）如图2，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0位置（如图3），且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，满足SKIPIF1<0，试问：是否存在一个实数SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·高二课时练习）已知平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内，则SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为（

）A．10 B．3C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）已知两平面的法向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则两平面所成的二面角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）如图在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E，F，G分别是SKIPIF1<0棱的中点，P是底面SKIPIF1<0内一个动点，若直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平行，则线