平稳过程的相关函数

3.2平稳过程的相关函数定理3.1（相关函数的性质）设

Rx(τ)是平稳过程{X(t),-∞<t<∞}的相关函数ⅰ)Rx(0)≥0;ⅱ)Rx(-τ)=Rx(τ),即Rx(τ)是偶函数;ⅲ)|Rx(τ)|≤Rx(0);ⅳ)R(τ)

具有非负定性，即对任意的n,任意的t1,t2...tn，任意的复数l1,l2…ln.总有证明：（ⅰ）由相关函数的定义知道，Rx(0)=EX2(t)=ψ2x≥0即平稳过程的自相关函数在τ=0处是非负值（ⅱ）根据相关函数Rx(t1,t2)具有对称性的推论可得：Rx(-τ)=EX(t)X(t-τ)=EX(t-τ)X(t)（令s=t-τ）=EX(s)X(s+τ)=Rx(τ)即自相关函数是变量τ的偶函数随机变量X、Y，总有(E(XY))2≤E(X2)E(Y2)

（ⅲ）根据Cauchy-Schwarz不等式可推出：自相关函数在τ=0处有最大值思考：是不是只有在0处才取得最大值？（ⅳ）这是相关函数Rx(t1,t2)具有非负性（定理3.1（ⅱ））的直接推论，定理可推广到复平稳过程Z(t)中：只需将（

ⅱ

）改成证明如下：

对协方差函数CX（τ），不难得到类似的性质：协方差和相关函数在τ=0处取得最大值

复平稳过程的相关函数不是偶函数,具有共轭对称性定义3.4设{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}是两个平稳过程.如果互相关函数对一切t,t+τ∈T与t无关，那么,称X(t)与Y(t)是平稳相关的，也称X(t)与Y(t)是联合平稳的.在X(t)与Y(t)是联合平稳的情形下，通常记互相关函数定义3.4也可以推广到复随机过程上去，这里就不再详细叙述了。当X(t)与Y(t)联合平稳时，互协方差函数与t无关。两个平稳相关的随机过程的互相关函数不再具有定理3.1中给出的那些性质。定理3.2（互相关函数的性质）设RXY(τ)是两个平稳相关的平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数。（ⅰ）RXY(-τ)=RYX

(τ)（ⅱ）|RXY(τ)2|≦RX(0)RY(0)证明（ⅰ）由互相关函数的定义知道，

RXY(-τ)=EX(t)Y(t-τ)=EY(t-τ)X(t)(记s=t-τ)=EY(s)X(s+τ)

=RYX(τ)证明（ⅱ）由柯西—许瓦兹不等式推得

|RXY(τ)|2=|EX(t)Y(t+τ)|2

≦E(X2(t))E(Y2(t+τ))=RX(0)RY(0)对于互协方差函数CXY(τ),也有类似的两条性质。例3.7设X(t)是雷达的发射信号，遇目标后返回接收机的微弱信号（即回波信号）时aX(t-τ0),其中，a是近于0的正数，τ0是信号返回所需时间。由于回波信号必然伴有噪声，记噪声为N(t),于是，接收机收到的全信号为Y(t)=aX(t-τ0)+N(t).

假定雷达发射信号X(t)与噪声N(t)是平稳相关的Y(t)的均值函数为常数aµX+µN，且相关函数RY(t,t+τ)=EY(t)Y(t+τ)

=E[aX(t-τ0)+N(t)][aX(t+τ-τ0)+N(t+τ)]

=a2RX(τ)+RN(τ)+aRXN(τ+τ0)+aRXN(τ-τ0)=RY(τ)与t无关，因此，Y(t)也是一个平稳过程。X(t),Y(t)的互相关函数RXY(t,t+τ)=EX(t)Y(t+τ)=EX(t)(aX(t+τ-τ0)+N(t+τ))=aEX(t)X(t+τ-τ0)+EX(t)N(t+τ)=aRX(τ-τ0)+RXN(τ)=RXY(τ)与t无关，因此，X(t),Y(t)也平稳相关。如果噪声N(t)的均值µN=0，且N(t)与X(t)相互独立，那么，由RXN(τ)=EX(t)N(t+τ)=EX(t)EN(t+τ)=µXµN=0推得，X(t)与Y(t)的相互函数RXY(τ)=aRX(τ-τ0)

这是利用互相关函数从全信号中检测小信号