2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题三立体几何微专题2立体几何与空间向量大题考法3平行与垂直关系的证明及空间距离的求解

大题考法3平行与垂直关系的证明及空间距离的求解(2023·茂名二模)在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，O为AD的中点．(1)求证：PO⊥BC；(2)若AB∥CD，AB＝8，AD＝DC＝CB＝4，PO＝2eq\r(7)，点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为eq\f(π,6)，求点E到平面PCD的距离．(1)证明：因为PA＝PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC.(2)解：由AB＝8，AD＝DC＝CB＝4，可知四边形ABCD为等腰梯形，易知BD＝4eq\r(3)，因为AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0，0，2eq\r(7))，A(2，0，0)，B(－2，4eq\r(3)，0)，C(－4，2eq\r(3)，0)，D(－2，0，0)，平面ABCD的法向量为n＝(0，0，1)，设E(x，y，z)，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝(x－2，y，z)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝(x，y，z－2eq\r(7))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2，4eq\r(3)，－2eq\r(7))，因为直线AE与平面ABCD所成角为eq\f(π,6)，所以sineq\f(π,6)＝|cos〈n，eq\o(AE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|z|,\r(（x－2）2＋y2＋z2))＝eq\f(1,2)，所以x2－4x＋4＋y2－3z2＝0，①因为点E在棱PB上，所以eq\o(PE,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(0<λ<1)，即(x，y，z－2eq\r(7))＝λ(－2，4eq\r(3)，－2eq\r(7))，所以x＝－2λ，y＝4eq\r(3)λ，z＝2eq\r(7)－2eq\r(7)λ，代入①解得λ＝eq\f(1,2)或λ＝5(舍去)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝(－1，2eq\r(3)，－eq\r(7))，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(－2，0，－2eq\r(7))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－4，2eq\r(3)，－2eq\r(7))，设m＝(x1，y1，z1)为平面PCD的一个法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(PD,\s\up6(→))＝－2x1－2\r(7)z1＝0，,m·\o(PC,\s\up6(→))＝－4x1＋2\r(3)y1－2\r(7)z1＝0，))令z1＝1，得x1＝－eq\r(7)，y1＝－eq\f(\r(21),3)，所以平面PCD的法向量m＝(－eq\r(7)，－eq\f(\r(21),3)，1)，所以点E到平面PCD的距离d＝eq\f(|\o(PE,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq\f(2\r(7),\r(\f(31,3)))＝2eq\r(\f(21,31))＝eq\f(2\r(651),31).求空间距离的方法(1)求点到面的距离可以用等体积转化法．(2)求点到线的距离和点到面的距离也可以用向量法，套用点线距和点面距公式(见知识方法5)，此外线面距和面面距常转化为点面距求解．(2023·汕头龙湖区三模)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA＝PD，E为PB的中点，已知VE-ABC＝eq\f(2,3)，S△PAD＝2.(1)证明：PD∥平面EAC；(2)求点C到平面PAD的距离；(3)若平面PAD⊥平面ABCD，求直线EC与平面PCD所成角的正弦值．(1)证明：连接BD，交AC于O，连接EO(如图1)，由条件得O为BD的中点，因为E为PB的中点，所以EO是△PBD的中位线，所以EO∥PD，因为EO⊂平面EAC，PD⊄平面EAC，所以PD∥平面EAC.(2)解：设点C到平面PAD的距离为d，因为E为PB的中点，所以P到平面ABCD的距离等于E到平面ABCD的距离等于2倍，因为VE-ABC＝eq\f(2,3)，得VPABC＝eq\f(4,3)，由VP-ABC＝VP-ACD＝VC-PAD，可得VC-PAD＝eq\f(4,3)，因为VC-PAD＝eq\f(1,3)S△PAD·d＝eq\f(4,3)，S△PAD＝2，所以d＝2，故点C到平面PAD的距离为2.(3)解：作PQ⊥AD，交AD于Q，因为PA＝PD，则Q为AD的中点，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，则PQ⊥平面ABCD，过Q作QM⊥AD，交BC于M，则PQ⊥QM，以Q为坐标原点，QM、QD、QP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图2，因为CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD即为C到平面PAD的距离，由(2)可知点C到平面PAD的距离为2，即CD＝2，从而正方形ABCD边长为2，故AD＝2，因为S△PAD＝eq\f(1,2)AD·PQ＝2，所以PQ＝2，所以P(0，0，2)，B(2，－1，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，E(1，－eq\f(1,2)，1)，则eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2，1，－2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1，eq\f(3,2)，－1)；设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up6(→))＝2x＋y－2z＝0，,n·\o(CD,\s\up6(→))＝－2x＝0，))取n＝(0，2，1)，设直线EC与平面PCD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈e