2023-2024学年甘肃省天水市清水县第六中学数学高三上期末教学质量检测试题含解析

2023-2024学年甘肃省天水市清水县第六中学数学高三上期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.12．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．下列命题中，真命题的个数为（）①命题“若，则”的否命题；②命题“若，则或”；③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.A．0 B．1 C．2 D．34．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（）．A． B． C． D．5．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．6．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为()A． B．C． D．7．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（）A．3 B． C． D．8．设复数，则=（）A．1 B． C． D．9．定义在R上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．10．若变量，满足，则的最大值为（）A．3 B．2 C． D．1011．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A． B． C． D．12．已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．(1,2), C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.14．四边形中，，，，，则的最小值是______.15．下图是一个算法流程图,则输出的的值为__________．16．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.18．（12分）设为实数,在极坐标系中,已知圆（）与直线相切,求的值．19．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.20．（12分）已知抛物线：的焦点为，过上一点（）作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，（1）证明：直线的斜率是－1；（2）若，，成等比数列，求直线的方程.21．（12分）设函数，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.22．（10分）已知函数，.（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.2、A【解析】

首先利用二倍角正切公式由，求出，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：∵，∴可解得或，∴“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．3、C【解析】

否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.【详解】①的逆命题为“若，则”，令，可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题；③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题.故选：C.【点睛】本题考查判断命题真假.判断命题真假的思路：(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“”经过逻辑推理，得出“”，则可判定“若，则”是真命题；②判定“若，则”是假命题，只需举一反例即可．4、B【解析】

根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【详解】因为终边上有一点，所以，故选：B【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.5、D【解析】

根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于，，，错误；对于，在上单调递减，，错误；对于，，，，错误；对于，在上单调递增，，正确.故选：.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.6、B【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【详解】如图，，设为的中点，为的中点，由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，由题易知，的补角，分别为，设三棱柱的棱长为2，在中，，；在中，，；在中，，，.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.7、C【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故选：C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.8、A【解析】

根据复数的除法运算，代入化简即可求解.【详解】复数，则故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.9、D【解析】

根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得函数关于直线对称；在，上单调递增，且在时使得；又，，所以选项成立；，比离对称轴远，可得，选项成立；，，可知比离对称轴远，选项成立；，符号不定，，无法比较大小，不一定成立．故选：．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、D【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：如图点坐标分别为，目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．11、A【解析】

由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.12、A【解析】

若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故选：．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，由得，∴，，∴．故答案为：2.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．14、【解析】

在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.【详解】，如图，在中，由正弦定理可得，即，故当时，取到最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．15、3【解析】

分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论.【详解】解:初始,第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;经判断,此时跳出循环,输出.故答案为:【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题的关键是对算法语句的理解,属基础题.16、【解析】

先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积.【详解】解：,，,，设球O1的半径为，由题得，所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，所以球的表面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增；（2）证明见解析【解析】

（1）对求导，分，，进行讨论，可得的单调性；（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，，设，可得，则，设，对求导，利用其单调性可证明.【详解】解：的定义域为，因为，所以，当时，令，得，令，得；当时，则，令，得，或，令，得；当时，，当时，则，令，得；综上所述，当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增；（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，此时，设，又因为，则，设，则对于任意成立，所以在上是增函数，所以对于，有，即，有，因为，所以，即，又在递增，所以，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.18、【解析】

将圆和直线化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.【详解】解:将圆化成普通方程为,整理得．将直线化成普通方程为．因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即解得．【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.19、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．【详解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周长a+b+c=3+3．【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．20、（1）见解析；（2）【解析】

（1）设，，由已知，得，代入中即可；（2）利用抛物线的定义将转化为，再利用韦达定理计算.【详解】（1）在抛物线上，∴，设，，由题可知，，∴，∴，∴，∴，∴（2）由（1）问可设：：，则，，，∴，∴，即（*），将直线与抛物线联立，可得：，所以，代入（*）式，可得满足，∴：.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，，在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由可得，，令，则，令，可得，当时，，所以在上单调递减，且当时，单调递增；当时，单调递减；所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，要使在有两个根，则，所以的取值范围为；（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：即：，只需证：设，即证：要证，只需证：令