不等式性质和基本不等式

不等关系不等式一元二次不等式第1讲(1)对称性：a>b⇔b<a,(3)可加性：a>b⇔.a+c>b+c推论：同向不等式可加.a>b,c>d=a+c>b+d(4)可乘性：a>b,c>0=ac>bc,a>b,c<0=ac<bc推论1:同向(正)可乘：a>b>0,c>d>0≥ac>bd推论2:可乘方(正):a>b>0≥a*>b(n∈N*,n≥2)第4讲基本不等式a,b∈R,则a²+b²≥2ab;2求最值：当且仅当a=b时等号成立.,当且仅当a=b时等号成立.,当且仅当a=b时等号成立.考点1利用基本不等式求最值(或取值范围)题型1.当积ab为定值时，求和a+b最小值构造均值不等式∴【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即(1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件.题型2.当和a+b为定值时，求积ab最大值例2.已知x>0,y>0,且3x+4y=12,求lgx+Igy的最大值及此时x、y的值.【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现.应将解析∵x>0,y>0,3x+4y=12,解得【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一.考点2利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.[解析]∵a²+b²≥2ab,b²+c²≥2bc,a²+c²≥2ac,相加整理得a²+b²+c²≥ab+bc+ca.当且仅当a=b=c时等号成立.【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.例2.已知a,b为正数，求证：【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.两式相加，得.3.(广东省梅州、揭阳两市四校2008届高三第三次联考)设x,y均为正实数，且解析：由可化为xy=8+x+y,∵x,y均为正实数考点1:比较法两个数的大小与【解题思路】作差整理，定符号解析：【名师指引】作差比较法的步骤是：1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；3、判断符号；4、作出结论.考点2不等式的性质题型：验证或推导简单不等式的有关结论【解题思路】以不等式的性质为基础，进行推导∴(m—a)-(n-b)=(m-n)+(b-a)>0→m-a>n-b;证法二：∵a<b∴-a>-b又∵m>n∴m+(一a)>n+(一b)例2.已知下列三个不等式①ab>0;②;③bc>ad,以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题.【解题思路】以比较法为基础进行变形得②成立，∴①③→②.(2)若ab>0,,则bc>ad,∴①②=③.(3)若①②一③.综上所述可组成3个正确命题.【名师指引】注意运用性质时须满足的条件，如a>b意从c>0,c=0,c<0三个方面讨论.时，判断ac与bc的大小关系应注考点3不等式性质综合应用题型1.用比较法证函数的单调性于f(2)=1,所以2=1+1=f(2)解得基础巩固训练A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb²<ab²解析：由3.老有()