正弦平面电磁波

第七章正弦平面电磁波时谐场：场量随时间按正弦规律变化的电磁场。时谐场也称为正弦电磁场。正弦电磁波在工程上应用广泛，有如下特点：

1、易于激励；

2、由傅立叶级数可知：在线性媒质中，正弦电磁波可以合成其他形式的电磁波。本章主要内容：时谐场的波动方程——亥姆霍兹方程无界理想媒质中的均匀平面波无界导电媒质（损耗媒质）中的均匀平面波在媒质分界面上波的反射与透射第一节亥姆霍兹方程一、时谐场场量的复数表示时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程。对于时谐场，其场量和都是以一定的角频率随时间t按正弦规律变化。在直角坐标系下，电场可表示为：

式中：为电场在各方向分量的幅度为电场各分量的初始相位由复变函数，知：，则：式中：场量上加点表示为复数。因此时谐场中，电场强度可表示为式中：同理，可得：二、麦克斯韦方程组的复数形式很明显，对于时谐场故由麦克斯韦方程组微分形式，可得：为了简化书写，约定写做，而项则省略不写，则方程变为：麦克斯韦方程组复数形式注意：1）方程中各场量形式上是实数及源量均应为复数形式（为了简化书写而略写）。

2）方程中虽然没有与时间相关的因子，时间因子为缺省式子。

3）麦克斯韦方程组复数形式只能用于时谐场。说明：场量的复数形式：

场量的实数形式：

场量的复数形式转换为实数形式的方法：三、亥姆霍兹方程在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化，则则无源空间的波动方程变为：亥姆霍兹方程若令：，则亥姆霍兹方程变为

说明：亥姆霍兹方程的解为时谐场（正弦电磁波）。可以推知，在时谐场中，平均坡印廷矢量可以表示为：上式中：、为场量的复数表达式；为对场量取共轭运算。第二节平均坡印廷矢量

坡印廷矢量瞬时形式：

平均坡印廷矢量：在上面的式子中，和均应为实数形式，即：代入第一式，证明：第三节理想介质中的均匀平面波平面波：波阵面为平面的电磁波（等相位面为平面）。均匀平面波：等相位面为平面，且在等相位面上，电、磁场场量的振幅、方向、相位处处相等的电磁波。在实际应用中，纯粹的均匀平面波并不存在。但某些实际存在的波型，在远离波源的一小部分波阵面，仍可近似看作均匀平面波。一、亥姆霍兹方程的平面波解在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区域中，电场场量满足亥姆霍兹方程，即：

考虑一种简单情况，即电磁波电场沿x方向，波只沿z方向传播，则由均匀平面波性质，知只随z坐标变化。则方程可以简化为：解一元二次微分方程，可得上方程通解为：式中:、为待定常数（由边界条件确定）.讨论：1、为通解的复数表达形式，通解的实数表达形式为：

2、通解的物理意义：波动方程平面波解

不同时刻的波形kzEx

0π2π3π首先考察。其实数形式为：在不同时刻，波形如右图。从图可知，随时间t增加，波形向+z方向平移。故：表示向+z方向传播的均匀平面波；同理可知：表示向-z方向传播的均匀平面波；亥姆霍兹方程通解的物理意义：表示沿z向(+z,-z)方向传播的均匀平面波的合成波。二、无界理想媒质中均匀平面波的传播特性在无界媒质中，若均匀平面波向+z向传播，且电场方向指向方向，则其电场场量表达式为：电磁波的场量表达式包含了有关波特性的信息。

1、均匀平面波电场场量的一般表达式式中：表示电磁波中电场的幅度的方向表示电磁波中电场的方向表示电磁波动的角频率为波矢量为波的初始相位

2、波的频率和周期频率：周期：波数k:长为距离内包含的波长数。

3、波数k、波长与波矢量波长:波矢量：表征波传播特性的矢量式中：k即为波数即为表示波传播方向的单位矢量。

4、相位速度（波速）

zEx

0π2π3π如图所示电磁波向+z方向传播，从波形上可以认为是整个波形随着时间变化向+z方向平移。相位：两边对时间t去导数，得：讨论：1、电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关。

2、真空中电磁波的相位速度：

真空中电磁波相位速度为光速。

5、场量，的关系为表示波传播方向的单位矢量。同理可以推得：

从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值。定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征阻抗，用表示，即：——媒质本征阻抗

特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：

结论：在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为377。

说明：、、三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。6、能量密度和能流密度电场能量密度：磁场能量密度：结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。实数表达形式电磁波的能量密度：kEH小结：无界理想媒质中均匀平面波的传播特性：电场与磁场的振幅相差一个因子电场、磁场的时空变化关系相同。电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减。电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。、、（波的传播方向）满足右手螺旋关系电磁波的能流密度：例频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿+Z方向传播，介质的特性参数为。设电场沿x方向，即。已知：当t=0,z=1/8m时，电场等于其振幅值。试求:（1）波的传播速度、波长、波数；（2）电场和磁场的瞬时表达式；（3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。解：由已知条件可知：频率:

振幅:(1)(2)设由条件，可知：由已知条件，可得：(3)另解：第四节波的极化特性注意：电磁波的极化方式由辐射源(即天线)的性质决定。一、极化的定义波的极化：指空间某固定位置处电场强度矢量随时间变化的特性。极化的描述：用电场强度矢量终端端点在空间形成的轨迹表示。二、极化的分类：线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端点的轨迹是一条直线；椭圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆（椭圆的一种特殊情况是圆）E=excos(wt-kz)yxo观察平面，z=constz显然，电场的振动方向始终是沿x轴方向，所以这是一个沿x方向的线极化波。三、极化的判断通过两个相互正交的线极化波叠加，合成得到不同的极化方式。由电磁波电场场量或者磁场场量，可以判断波的极化方式。yzxo设均匀平面电磁波向+z方向传播，则一般情况下，其电场可以表示为：由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选取z=0点作为分析点，即：场量表达式中，的取值将决定波的极化方式。1、当时电场与x轴夹角为：结论：当时，电磁波为线极化波。2、当且时合成电场的模及其与x轴夹角为：从上可知：合成电场矢量终端形成轨迹为一圆，电场矢量与x轴夹角随时间变化而改变。如图，当时，可以判断出：电场矢量终端运动方向与电磁波传播方向满足右手螺旋关系——右旋极化波。

结论：当且时，合成波为右旋圆极化波。同理：当且时，合成波为左旋圆极化波。说明：上述结论适用于向+z方向传播的均匀平面波。对于向－z方向传播的均匀平面波，其波的极化旋转方向与向+z方向传播的同幅同相波相反。结论：两个频率相同、传播方向相同的正交电场分量的振幅和相位是任意的，则其合成波为椭圆极化波。说明：圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特殊情况。3、其他情形例根据电场表示式判断它们所表征的波的极化形式。所以，合成波为线极化波。解：解：故：合成波为左旋圆极化波。解：合成波为右旋圆极化波。解：故：合成波为右旋圆极化波。解：合成波为椭圆极化波。第五节导电媒质中的均匀平面波一、导电媒质中的波动方程在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为第一个方程可以改写为称为复介电常数或等效介电常数导电媒质的典型特征是电导率

≠0。电磁波在其中传播时，有传导电流存在，同时伴随着电磁能量的损耗，电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同。说明：复介电常数其中：，仅与媒质本身介电常数有关；，与媒质本身导电率和波的频率有关；为了方便描述导电媒质的损耗特性，引入媒质损耗正切角(用表示)的概念。定义：引入等效复介电常数后，麦克斯韦方程组可记做：推得导电媒质中的波动方程为：式中：称为复波数。比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程可知：方程形式完全相同，差别仅在于二、导电媒质中的波动方程的解因此，在损耗媒质中波动方程对应于沿+z方向传播的均匀平面波解为：式中：，为复数。可建立方程组：令,则由

所以损耗媒质中波动方程解可以写为：写成实数形式（瞬时形式），得：三、导电媒质中的平面波的传播特性

1、波的振幅和传播因子振幅：随着波传播(z增加)，振幅不断减小。传播因子：波为均匀平面波（行波）。

2、幅度因子和相位因子只影响波的振幅，故称为幅度因子；只影响波的相位，故称为相位因子；其意义与k相同，即为损耗媒质中的波数。

3、相位速度（波速）在理想媒质中：在损耗媒质中：很明显：损耗媒质中波的相速与波的频率有关。

色散现象：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。具有色散效应的波称为色散波。结论：导电媒质（损耗媒质）中的电磁波为色散波。

4、场量，的关系可以推知：在导电媒质中，场量，之间关系与在理想介质中场量间关系相同，即：式中：为波传播方向为导电媒质本征阻抗讨论：(1)、、三者相互垂直，且满足右手螺旋关系

(2)

在导电媒质中，电场和磁场在空间中不同相。电场相位超前磁场相位。小结：无限大导电媒质中电磁波的特性：

1、为横电磁波（TEM波），、、三者满足右手螺旋关系2、电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小；3、电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；4、是色散波。波的相速与频率相关。四、媒质导电性对场的影响对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由决定。从上可知：媒质是良导体还是弱导体，与电磁波的频率有关，是一个相对的概念。

1、良导体中的电磁波在良导体中，，则前面讨论得到的，近似为

重要性质：在良导体中，电场相位超前磁场相位在良导体中，衰减因子。对于一般的高频电磁波(GHz)，当媒质导电率较大时，往往很大，电磁波在此导电媒质中传播很小的距离后，电、磁场场量的振幅将衰减到很小。因此：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这种现象成为趋肤效应。我们用趋肤深度(穿透深度)来表征良导体中趋肤效应的强弱。趋肤深度：电磁波穿入良导体中，当波的幅度下降为表面处振幅的时，波在良导体中传播的距离，称为趋肤深度。

2、弱导体中的电磁波在良导体中，，则前面讨论得到的，近似为在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近似等于理想媒质中波的相位常数，第六节

均匀平面波对分界面的垂直入射本节讨论单一频率均匀平面波在两个半无界介质分界面上的反射与透射，设分界面为无限大平面，分界面位于z=0处。本节以入射波为x方向的线极化波为例进行讨论。一、对理想导体的分界面的垂直入射x入反yz设左半空间是理想介质，

1＝0；右半空间为理想导体，

2＝∞。分界面在z=0平面上。理想介质内将存在入射波和反射波。设入射波电场为设反射波电场为则入射波磁场为则反射波磁场为由理想导体边界条件可知：反射波电场为：理想媒质中的合成场为：合成波场量的实数表达式为：讨论：1、合成波的性质：对任意时刻t，在合成波电场皆为零对任意时刻t，在合成波磁场皆为零zEx0zHy0zHy0zEx0合成波的性质：

合成波为纯驻波振幅随距离变化电场和磁场最大值和最小值位置错开

/4电场和磁场原地振荡，电、磁能量相互转化。2、导体表面的场和电流在理想导体表面的感应面电流为：3、合成波的平均能流密度结论：合成波(驻波)不传播电磁能量，只存在能量转化。二、对两种理想介质分界面的垂直入射x入反12yz透设左、右半空间均为理想介质，

1＝

2＝0。电磁波在介质分界面上将发生反射和透射。透射波在介质2中将继续沿＋z方向传播。设入射波电场为(一般已知)设反射波电场为设透射波电场为由两种理想介质边界条件可知：媒质1中总的电场、磁场为：式中：，为媒质1、2的本征阻抗。定义：反射系数透射系数则媒质1中合成波为：讨论：1、媒质1中合成波的传播特点：前一项包含行波因子，表示振幅为(1+

)Eim、沿+z方向传播的行波；后一项是振幅为2

Eim的驻波；合成波为行驻波（混合波）：相当于一个行波叠加在一个驻波上，电场的中心值不再是零，出现波节，但波节点场值不为零。

2、反射系数和透射系数关系为：当媒质2为理想导体时，，可知电磁波垂直入射到理想导体面上时，反射系数为－1。

3、当分界面两边为导电媒质时，媒质本征阻抗为复数，即均为复数，故：也为复数。

在导电媒质两边，入射波和反射波、入射波和透射波不同相。第七节

均匀平面波对分界面的斜入射电磁波垂直入射时，电场和磁场总是平行分界面的。斜入射时，传播方向与分界面法向不平行，电场或磁场可能与分界面不平行。yxE∥EiE⊥k入射角

i入射面分界面介质2介质1入射方向z一、几个重要概念入射面：入射射线与分界面法线构成的平面。平行极化入射：入射波电场方向平行于入射面的入射方式。垂直极化入射：入射波电场方向垂直于入射面的入射方式。入射角：入射射线与分界面法线夹角。二、反射定律和折射定律xkin

i分界面21z

r

tkrkt电磁波斜入射到介质分解面上时，将发生反射和折(透)射现象。反射波和透射波的传播方向遵循反射定律和折射定律。斯耐尔反射定律：斯耐尔折射定律：三、垂直极化波对理想介质分界面的斜入射

设z<0和z>0空间分别为两个半无限完纯介质。设入、反、透射三波的传播方向分别为ei、er、et，且ki=eik1，kr=erk1，kr=erk2，有xein

i分界面21z

i

teretHiEiErHrHtEt设：则：在边界面上，有由斯耐尔折射定律，知三者相等。即：由边界条件可知，在边界面上可得：菲涅尔公式若媒质为非磁性媒质，即：

⊥＞0，入、透射波同相

2＜

1时,

i＜

t,⊥＞0,入、反射波同相

2＞

1时,

i＞

t,⊥＜0,入、反射波反相，半波损失同理：说明：1）2）入射波、反射波相位关系：四、平行极化波对理想介质分界面的斜入射xein

i分界面21z

i

teretHiEiErHrEtHt同理，在介质分界面两边根据边界条件，可以求得：非磁性媒质中五、两种特殊情况1、全反射和临界角从斯耐尔折射定律可知，对于非磁性媒质，当(即波从光密媒质入射到光疏媒质)时即：透射角大于入射角。很明显，当入射角增大为某一特定角度时，透射角。当入射角进一步增大时，就将不再存在透射波——全反射。定义：刚好产生全反射时的入射角称为临界角,即讨论：1)当时，

即电磁波被完全反射回来。2）当发生全反射时透射波的性质：由折射定律，有当时，此时为复角。此时，透射波的行波因子可以变形为：透射波沿+x传播，但其振幅沿+z按指数规律衰减；当电磁波以大于临界角的角度入射时，进入介质2的电磁波将沿着分界面传播，且其振幅随进入介质2的深度迅速衰减，这种波称为表面波；可以证明进入介质2平均能流密度（平均功率）为零，即没有能量进入介质2；

工程上利用这个原理制做介质波导（如光纤）。2、无反射(全透射)和布儒斯特角