2023年高考全国乙卷数学(理)真题（解析版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

理科数学

一、选择题

2+i

Z-r2一

1.设1+1+1,则2=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由题意首先计算复数z的值,然后利用共粗复数的定义确定其共辗复数即可.

2+i2+i_i(2+i)2i-l

【详解】由题意可得z=l-2i,

l+i2+i51-1+ii2-1

则5=1+2i.

故选：B.

2.设集合U=匕集合M={x|x<l},N={x[-l<x<2},则{小22}=（）

A.名（MN）B.NgM

C.N）D,MuQN

【答案】A

【解析】

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x\x>2}即可.

【详解】由题意可得“N={x|x<2},则布（"N）={x|xN2},选项A正确;

Q,M={x|x?l},则N_Q/M={x|x>-1},选项B错误；

MN={x\-\<x<l},贝师（McN）={x|xW-l或xNl},选项C错误；

dN={x|xWT或xN2},则MiqN={x|x<l或xZ2},选项D错误；

故选：A.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为（）

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体AJBCD—AAGR中，/W=BC=2,AA=3,

点H,1,J,K为所在棱上靠近点。,4的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，

则三视图所对应的儿何体为长方体ABCD-A^C^去掉长方体ONIC「LMHB、之后所得的几何体，

4Q

8k-----------

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，

其表面积为：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lxl)=30.

故选：D.

4.已知是偶函数，贝!|。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为/（x）=—J为偶函数，则片x[一¥__（-小_________J=0，

eax-17v77v7eav-le~ax-1-1

又因为x不恒为0,可得e*—e«3=0,即©八=匕（。"，

则x=（〃—l）x，即l=a—1,解得a=2.

故选：D.

5.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（羽田|1«/+,244｝内随机取一点，记该点为A,则直线

兀

04的倾斜角不大于一的概率为（）

4

1111

A.—B.-C.—D.-

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.

【详解】因为区域｛a，y）|ivf+y2J｝表示以。（（）,（））圆心，外圆半径R=2,内圆半径厂=1的圆环,

TT7T

则直线。4的倾斜角不大于一的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角NMON=—,

44

9工

结合对称性可得所求概率02X41・

r=------=—

2兀4

6.已知函数"x）=sin（3°）在区间信引单调递增，直线x]和x=g为函数y=/（x）的图像

I--B.--C.1D.迫

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入》=一名57即1可得到答案.

12

【详解】因为/(X)=sin(w+0)在区间7J单调递增，

T27rJrIT27t

所以一=‘一生=",且。＞0,则7=兀，卬=,=2,

2362T

当》=二时，/(x)取得最小值，则23+e=2E—四，keZ,

662

则0=2%t----,kwZ,不妨取％=0,则/(x)=sin|2x---

故选：D.

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种1,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有

()

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【解析】

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况,

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种,

根据分步乘法公式则共有=12()种,

故选：C.

8.已知圆锥尸O的底面半径为退，。为底面圆心，总为圆锥的母线，ZAOB=120°,若△的的面

积等于上叵，则该圆锥的体积为()

4

A.兀B.&C.3万D.3扁

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

【详解】在J^OB中，4408=120°，而OA=OB=C,取AC中点C,连接OC,PC,有

OCLAB,PCLAB,如图,

ZABO=30.OC=B,AB=2BC=3,由‘尸池的面积为唯，得，x3xPC=唯,

2424

解得PC=苧，于是尸0=ylPC2-OC2=｛（乎）2—（争2=76，

所以圆锥的体积丫=3兀、。42、尸0=；兀'（6）2、#=遍兀.

故选：B

9.已知.ABC为等腰直角三角形，A8为斜边，△A3。为等边三角形，若二面角C—AB—。为150°,

则直线CO与平面ABC所成角的正切值为（）

1B亚

A06D£

5555

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【详解】取AB的中点E，连接CE,DE，因为—ABC是等腰直角三角形，且为斜边，则有CE1AB,

又△ABO是等边三角形，则。E1A5,从而NCED为二面角C-AB-O的平面角，即NCE£>=150,

D,

显然CEcDE=E,CE,DEu平面CDE,于是ABI平面CDE,又ABu平面ABC,

因此平面COE，平面ABC,显然平面CD£c平面ABC=CE,

直线CDu平面CDE,则直线CO在平面ABC内的射影为直线CE,

从而NDCE为直线8与平面ABC所成的角，令A3=2,则CE=1,OE=J^,在&CDE中，由余弦

定理得:

CD=yJCE2+DE2-2CE-DEcosZCED=]l+3—2xlx百x（一争=近，

DECD73sinl50_A/3

由正弦定理得二-----------,即sin/DCE

sinNDCEsinZCED币=后'

显然20CE是锐角，cosNDCE=-si/NDCE

所以直线CO与平面ABC所成的角的正切为且

5

故选：C

10.已知等差数列｛凡｝公差为整，集合S^cosa/neN*｝,若5=｛。,。｝,贝以。=()

A.-1B.--C.0D.工

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作

答.

27r27r27r

【详解】依题意,等差数列依,J中,«„=n|+(n-l)-y=yn+(«1-y),

27c2兀

显然函数y=cos[7〃+(卬一7)]的周期为3,而〃eN*,即cosa“最多3个不同取值，又

{cosa〃|〃wN*}={〃,/?},

则在COSQ^COSGCOS/中，cosax=cosa2cosa3cosaxcosa2=cosa3,

27rZ7TTT

于是有cos^=cos(^+—),即有。+(。+7)=2kit,kGZ,解得6=kTt--^,kwZ,

所以ZeZ,ab=cos(/cn-])cos[(E-])+手]=-cos(左兀-5)coslai=-cos2kncos]=-g,

故选：B

11.设A,B为双曲线f-卷=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1T)

【答案】D

【解析】

【分析】根据点差法分析可得&3认=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对

于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设A（x，x）,8（w，%），则AB的中点加然”，21/

X+%

X2_X+%

可得“A8

%—%+"2%,+%2

2

X”

O

因为A,8在双曲线上，则〈

所以心8心=上二4=9.

大一々

对于选项A：可得左=1,须8=9，则AB:y=9x—8,

y=9x-8

联立方程(2/消去y得72f—2x72x+73=0,

I9

此时A=(-2X72)2-4X72X73=-288<0,

所以直线A3与双曲线没有交点，故A错误;

995

对于选项B：可得左=一2,女AB=一万，则48:丁=一5%一万

95

V=——X——

,22

联立方程V2,消去y得45f+2x45x+61=0，

/卜.1

I9

此时△=（2x45『-4x45x61=-4x45x16<0,

所以直线A8与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得左=3,心8=3,则=

由双曲线方程可得。=1,人=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线，

所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；

997

对于选项D：k=4,kAB=—,则=

97

y=-x——

44

联立方程｛2,消去>得63/+126%-193=0，

j丁-1

19

此时4=126?+4x63xl93>0,故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

12.已知（O的半径为1,直线以与《。相切于点A,直线PB与0。交于8,C两点，。为BC的中点，

若|PO|=JL则PA-PD的最大值为（）

A1+6R1+20

22

C.1+0D.2+0

【答案】A

【解析】

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA.p。

7T

2a——2a+-然后结合三角函数的性质即可确定P4PD

4

的最大值.

【详解】如图所示，|Q4|=1,|OP|=J2,则由题意可知:NAPO=45,

7T

当点A。位于直线PO异侧时，设NOPC^a,O<a<~,

则：PA-PD=\pA\'\pD\cos\a+~^

=1x72cosacos［。?

cosa——cosa------sma

22

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.仁

=----------------sin2。

22

_7C_.TC,7C7C

一,则—W2a----W—

4444

兀7T

・••当2a-T=一二时，，24.。。有最大值1.

则:PAPD=|PA|，|PO|COS

=1xV2cosacosa--

\4

V2cosa—cosad-----sina

\22/

=cos2a+s•inacosa

1+cos2a1.

=-------------b—sin2a

22

1V2.r乃］

22I4J

八71_7C7C

0<cz<—,则一W2a+—W—

4442

.•.当2。+工=工时，1PA.p£）有最大值比亚•.

422

综上可得，pA.po的最大值为匕也.

2

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了

学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

二、填空题

13.已知点A（l,石）在抛物线C：V=2px上，则A到C的准线的距离为.

9

【答案】一

4

【解析】

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为X=-*,最后利

4

用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.

【详解】由题意可得：（&y=2pxl,则2〃=5,抛物线的方程为y2=5_r,

准线方程为x=—2,点A到c的准线的距离为1—

4I4J4

9

故答案为：一.

4

无一3y<-1

14.若x,y满足约束条件<x+2y<9,则z=2x—y的最大值为.

3>x+y>7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.

【详解】作出可行域如下图所示：

z-2x-y,移项得y=2x-z,

x-3y=-1fx=5

联立有《二c,解得〈C，

x+2y=9[y=2

设A（5,2）,显然平移直线y=2x使其经过点A,此时截距-z最小，贝壮最大,

代入得z=8,

故答案为：8.

15.已知｛。“｝为等比数列，a2a4%=%。6，%％0=-8,则%=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据等比数列公式对化简得44=1，联立。94（）=-8求出d=-2,最后得

%=a、q-q5=q5=—2.

【详解】设｛4｝的公比为q（q，O），则a2a4a5=44=44,，显然4,力。，

贝!|。4=/，即q/=/,则64=1,因为。9即）=-8,贝IJq/•q，'=-8,

则45=（q5）=一8=（_2）3,贝!j/=—2,则%=qq•/=/=_2,

故答案为：—2-

16.设ae(O,l),若函数〃力=优+(1+4在(0,+。)上单调递增，则”的取值范围是.

【解析】

【分析】原问题等价于/'(x)=a'lna+(l+a)'ln(l+a)NO恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形,

可得(蜉”一辞了由右侧函数的单调性可得实数〃的二次不等式，求解二次不等式后可确定实

数。的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得了'(X)=优Ina+(1+a)'In(1+a)20在区间(0,+巧上恒成立,

1+a

则(l+a)*ln(l+a)2—a'lna,即>-在区间(°，+8)上恒成立，

a

故=]N_&)，而a+lw(l,2),故ln(l+a)>0,

ln(a+l)2-Inaa(a+l)>1

1/-1

故即《故------Wa<1，

0<a<l0<a<l2

结合题意可得实数〃的取值范围是

故答案为:

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质

相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的

伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为七，》(i=1,2,…,10).试验结果如下:

试验序号i12345678910

伸缩率七545533551522575544541568596548

伸缩率力536527543530560533522550576536

记Z,.=X,.-y(i=1,2,…,10),记4,Z2,40的样本平均数为z,样本方差为?.

⑴求Z，s'

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

z>2J—，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，

Vio

否则不认为有显著提高)

【答案】(1)2=11，./=61；

(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出工斤，再得到所有的z,.值，最后计算出方差即可；

(2)根据公式计算出2、三的值，和I比较大小即可.

V10

【小问1详解】

钎545+533+551+522+575+544+541+568+596+548=552.3,

10

536+527+543+530+560+533+522+550+576+536°

y-------------------------------------------------=541.3,

10

z=x-y=552.3-541.3=11,

4=百一。的值分别为：9,6,8,—8,15,11,19,18,20,12,

故/_(9-41)'+(6—]]了+(8_]Ip+(—8—]If+(15-[1)2+0+(19—]I)'+(18—]])2+(20-]I)'+(12-]])2

”10

【小问2详解】

由(1)知:彳=11,2^=2y[6A=V244)故有彳22年,

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

18.在中，已知NB4C=120°,AB=2,AC=l.

(1)求sin/ABC；

(2)若。为8c上一点，且N8AD=90°,求△ADC的面积.

V21

【答案】（1）

14

⑵W

【解析】

【分析】（1）首先由余弦定理求得边长8C的值为BC=J7,然后由余弦定理可得COSB=£^，最后由同

14

角三角函数基本关系可得sinB=—

14

51

（2）由题意可得瞪迺=4,则S&ACD=TS&AKC，据此即可求得AADC的面积.

'△ACD5

【小问1详解】

由余弦定理可得：

BC2=cr=lr+C1-2Z?ccosA

=4+l-2x2xlxcos120=7，

a2+c2-b27+4-15币

则BC=J7，COSB

2ac2x2xV714

\25_®

sinB=Vl-cos2B

-28

小问2详解】

S—xABxA£>xsin90

由三角形面积公式可得吃侬■=j-----------------------=4,

,△ACD一xACxA。xsin30

2

则ZACD=gS“Bc=『(5x2xlxsin12°)=

19.如图，在三棱锥P—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2垃,PB=PC=瓜,BP,AP,BC

的中点分别为。，E,O,4。=石。0，点厂在AC上，BFLAO.

p

(1)证明：所//平面AOO；

(2)证明：平面400_L平面BEE

(3)求二面角。—AO—C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；(3)包.

2

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形户为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小问1详解】

■一一一一--1

连接OE,。尸，设=WJBF=BA-^-AF=(l-t)BA+tBC,AO=-BA^-BC,BFA.AO,

2

则BFAO=[(1一f)5A+tBC]-{-BA+-BC)=(Z-1)B/+-tBC=4Q—1)+4r=0,

22

解得f=L则F为AC的中点，由。,E,0,厂分别为心,PA,BC,AC的中点，

2

于是DEIIAB,DE=-AB,OFHAB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,则四边形ODEF为平行四

22

边形，

EF//DO,EF=DO,又瓦'.平面AOO,DOu平面ADO,

所以七户//平面A。。.

p

【小问2详解】

则4。=八,。0=逅，得=画,

由（1）可知EF//OD,

22

因此0。2+4。2=4。2="则ODLA。，有EF1AO,

2

又AO工BF,BFEF=F,BF,EFu平面,

则有40J•平面成尸，又AOu平面AD0，所以平面4）0,平面BE/L

【小问3详解】

过点。作O/7//8/交AC于点H,设AOBE=G,

由AOJ_BF,得〃O_LAO,且FH=』A",

3

又由（2）知，ODA.AO,则NDO”为二面角。一AO—C的平面角，

因为力,E分别为P8,PA的中点，因此G为,R46的重心，

1113

即有。G=—AD,GE=—BE,又FH=±AH,即有。H=—GF,

3332

.315

/.g2~14+6-PA2L娓

cosZABD=-2x2x76,,解得%=E，同理得

2x2x—xx

2

2

于是BE?+£；/2=B/2=3,即有BE，石尸，则G/7?_5

-3

从而GF=叵，。"=，巫=巫，

3232

在△OO”中，0H-BF=—,OD=—,DH=—，

2222

6+3_15

于是cosND。"='［一叠=一号,sinZDOH0

2x——x-^—T

22

所以二面角。一AO—C的正弦值为上.

2

29=l(a>0>0)的离心率是手，点A(—2,0)在。上.

20.已知椭圆C：21+厂

a-

(1)求C的方程；

(2)过点(一2,3)的直线交。于P,Q两点，直线AP,A。与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN

的中点为定点.

v2x2

【答案】（1）^-+—=1

94

(2)证明见详解

【解析】

【分析】(1)根据题意列式求解a,"c,进而可得结果；

(2)设直线PQ的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证人;八为定值即可.

【小问1详解】

b=2a=3

由题意可得＜cr=b2+c2解得卜=2

cV5c=\/5

e=­=——

、a3

所以椭圆方程为汇+工=1.

94

【小问2详解】

由题意可知：直线PQ的斜率存在，设。。：丁=%@+2）+3,。（不,）,。（々,必），

y=4（x+2）+3

联立方程〈,2元2,消去y得：（4Z~+9）x~+8攵（2Z+3）x+16（攵~+3%）=0,

--I---=1

I94

2

则A=64二（2Z+3『一64（422+9）（fc+3k）=一1728A>0,解得&<0,

可得…一拿小”

因为4（一2,0）,则直线AP：y=:±（x+2）,

2y，即M0,-^-

令x=o,解得y=一^

X]+2I%+2）

同理可得NO,

IZ+2J

2y2y2

则玉+2马+2_[攵（%]+2）+3][左（巧+2）+3]

=।

2%+2马+2

［米］+（2女+3）］（无2+2）+［优+（2&+3）］（再+2）2kxl&+（44+3）（与+电）+4（2攵+3）

（3+2）（々+2）XIX2+2（X1+占）+4

3”+弘）一㈣绿壤"+3）

4左2+94^+9'）108

16（公+3耳16&（2%+3）+4-3?

4公+9止+9+

所以线段尸Q的中点是定点（0,3）.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

（1）由特例得出一个值，此值一般就定值;

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无

关；也可令系数等于零，得出定值；

(3)得出结论.

21.已知函数/(x)=(L+a]ln(l+x).

(1)当a=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)是否存在“，b,使得曲线y=关于直线x=b对称，若存在，求“，6的值，若不存在，说明

理由.

(3)若/(x)在(0,+⑹存在极值，求a的取值范围.

【答案】(I)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)存在a=',>=一，满足题意，理由见解析.

22

⑶RR

【解析】

【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求

解切线方程即可；

(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数〃的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可

得关于实数”的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的。力是否正确即可；

(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g(x)=G；2+x-(x+l)ln(x+l),然后对函数求

导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论aWO,a和0<a〈,三中情况即可求得实数a的取值

22

范围.

【小问1详解】

当a=—1时，=(—

则r(x)=_!x]n(x+l)+[』_l]x-lp

XkXJXI1

据此可得/(1)=0,/'(1)=-ln2,

函数在处的切线方程为y-0=—ln2(x—l),

即(ln2)x+y-ln2=0.

【小问2详解】

由函数的解析式可得J)=(x+a)In(J+1

1v-_|_1

函数的定义域满足一+1=二一＞0,即函数的定义域为(-8,-1)。(0,+8),

XX

定义域关于直线*=一！对称，由题意可得力=一4，

22

由对称性可知/(一(+加

3

取加=5可得=

即(a+l)ln2=(a-2)ln；,则a+l=2—a,解得a=g,

经检验a=',〃=一』满足题意，故。=！,6=-'.

2222

即存在a=L,O=-,满足题意.

22

【小问3详解】

由函数的解析式可得/'(尤)=(一-y|ln(x+l)+|-+«

由/(x)区间(0,+8)存在极值点，则/"(X)在区间(0,+8)上存在变号零点；

令［一!)3+1)+6+4舄=0,

则-(1+1)111(1+1)+(%+加)=0,

令且⑴二加4-x-(x+l)ln(x+l),

/(X)在区间(0,+。)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+8)上存在变号零点,

g'(x)=2ax-ln(x+l),g"(x)=2a...—

当“WO时，g'(x)<0，g(x)在区间(0,+a)上单调递减，

此时g(x)<g(O)=O,g(x)在区间(0,+功上无零点，不合题意;

当说；,2a之1时，由于士<1,所以g，(x)>O,g'(x)在区间(0,+与上单调递增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+8)上单调递增，g(x)>g⑼=0,

所以g(尤)在区间(0,+8)上无零点，不符合题意；

当0<a<，时，由g"(x)=2a——匚=0可得彳=1--1,

2x+12a

当—1)时，g"(x)<0,g'(x)单调递减，

当时，g"(x)>0,g'(x)单调递增，

故g'(x)的最小值为g'(£-1)=1一2a+In2a,

_r11

令〃z(x)=1—x+Inx(0<x<1),则相'(x)=-...>0,

函数”(x)在定义域内单调递增，根(x)<〃，⑴=0,

据此可得1-%+111%<0恒成立，

则g'[^—I=1-2。+In2a<0,

令=lnx-x2+x(x>0),则"(x)=-2x+"+1,

当xe(O,l)时，/2‘(x)>0,/z(x)单调递增，

当X€(l,+8)时，"(X)<O,〃(X)单调递减,

故6(x)4"1)=0,即1!1%</一了(取等条件为了=1)，

所以g'(x)=2ax-ln(x+l)>2ax-[(x+lj+=2ax-^x2+x),

g12a—l)>2a(2a—l)—[(2a-1)2+(2”-1)卜0,且注意到g'(O)=0,

根据零点存在性定理可知:g'(x)在区间(0,+a)上存在唯一零点吃.

当》€(0,天)时，g'(x)<0,g(x)单调减，

当工€小,+8)时，g'(X)>0,g(x)单调递增，

所以g(%)<g(o)=o.

令=则=一。)]W0,

I，)x2(xj

则〃(x)单调递减，注意到〃⑴=0,

故当工£(1,+°0)时，加<0,从而有lnx<二

2

所以g(x)=+x-(x+l)ln(x+l)

1

-(x+l)Xg(x+l)—

>QX~+X7+7

«-1.21

“+2,

,1

令无一+5=o得/=—.所以g>o,

l-2a

所以函数g(x)在区间(0,+8)上存在变号零点，符合题意.

综合上面可知:实数。得取值范围是

【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等

函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利

用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值