13.1 轴对称 AB分层训练（解析版）

13.1轴对称一、单选题1．“五十六个民族五十六朵花”．某设计师提取了每个民族的特色元素，设计了56幅“似图似字”的标志，在其中可以看到我国的壮美山河、文化遗产、以下四幅图案中，是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．【详解】解：A、此图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、此图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、此图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、此图形是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线A．A'B' B．B'C' C．BC【答案】D【分析】根据轴对称的性质即可解答．【详解】解：∵△ABC与△A'B∴AC=A故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握成轴对称图形的两个图形，对应边相等．3．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（

）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【答案】B【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：

该球最后落入2号袋．故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为（

）A．40° B．35° C．30° D．25°【答案】C【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出DC=DA，由等腰三角形的性质得出∠DCA=∠A=50°，由角平分线定义得出∠DCB=∠DCA=50°，最后根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DC=DA，∴∠DCA=∠A=50°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠DCA=50°，∴∠B=180°-∠A-∠DCB-∠DCA=180°-50°-50°-50°=30°，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，正确求出∠DCB=∠DCA=50°的度数是解题的关键．5．如图，AB∥CD，AD∥BC，E为AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE点F在BD上，且∠EFB=2∠EDF，∠C=56A．56° B．34° C．48° D．62°【答案】C【分析】由平行线的性质和折叠的性质得出∠BFE=∠A=56°，∠FBE=∠ABE，由三角形的外角性质得出求出∠ABD=180°-∠A-∠EDF=【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠ABC=180∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180∴∠A=∠C=56由折叠的性质得：∠BFE=∠A=56°，∵∠EFB=2∠EDF，∠EFB=∠DEF+∠EDF，∴∠EDF=∠DEF=∴∠ABD=180∴∠ABE=故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为21，则AC的长为（

）

A．6 B．9 C．10 D．12【答案】D【分析】由AB的垂直平分线交AB边于点D，交AC边于点E，可得AE=BE，又由△BCE的周长等于21，即可求得AC+BC=21，然后由BC=9，求得AC的长．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△BCE的周长等于21，∴BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=21．∵△ABC中，BC=9，∴AC=21-9=12．故选：D．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．7．如图，等腰△ABC的底边BC的长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（

）

A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】连接AD，MA，先求出AD=6，EF是线段AC的垂直平分线，求出MA=MC，AD的长为CM+MD的最小值，即可求出周长最小值．【详解】如图，连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=1∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，∴MC+DM=MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长=CM+MD

故选：C．【点睛】此题考查了将军饮马问题，解题的关键是做辅助线确定AD．8．如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，折㢃为BD，则下列结论一定正确的是（

）A．AD=DC B．AB+CE=BC C．DE+DC=AB D．∠BDE=∠CDE【答案】B【分析】根据折叠的性质得AB=BE，AD=DE，∠ABD=∠DBE，∠ADB=∠BDE，然后逐项分析即可．【详解】解：由折叠的性质得，AB=BE，AD=DE，∠ABD=∠DBE，∠ADB=∠BDE，A．若AD=DC，则∵AD=ED，∴DE=DC，∴∠DEC=∠C，∵∠DEC+∠BED=180°，∴∠C+∠BED=180°，∵∠A=∠BED，∴∠A+∠C=180°，∵∠A、∠C是△ABC的两个内角，又∵三角形三个内角和为180°，∴∠A+∠C不可能等于180°，∴AD=DC，不可能成立，故A不正确；B．∵AB=BE，BE+CE=BC，∴AB+CE=BC，故B正确；C．若DE+DC=AB，∵DE+DC=AD+DC=AC，∴AB=AC，显然不一定成立，故不正确；D．若∠BDE=∠CDE，∵∠ADB=∠BDE，∴∠ADB=∠BDE=∠CDE=60°，显然不一定成立，故D不正确．故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．9．如图，点D是△ABC边AC的中点，过点D作AC的垂线交BC于点E，已知AC=6，△ABC的周长为14，则△ABE的周长是（

）A．6 B．14 C．8 D．20【答案】C【分析】由题意可知：ED垂直平分AC,故EA=EC，结合AC=6，△ABC的周长为14，即可得出答案．【详解】解：∵点D是△ABC边AC的中点，ED⊥AC,∴ED垂直平分AC,∴EA=EC，∵AC=6，△ABC的周长为14，∴AB+BC=14-6=8,∴AB+BC=AB+BE+EC=AB+BE+AE=8,∴△ABE的周长是8．故选：C．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，连接EF．有下列四个结论：①∠AEF=∠AFE；②AD垂直平分EF；③S△BFD:S△CED=BF:CE；A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】在△ABC中，BC是∠BAC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，可证△AEF≌△AFEAAS，得到AE=AF，继而证得①正确；又由线段垂直平分线的判定，可得②正确；然后利用三角形的面积公式求解即可得③【详解】解：BC是∠BAC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE在△AED与△AFD中∠AED=∠AFD∴△AEF≌△AFE∴AE=AF∴∠AEF=∠AFE故①正确；由①可知DF=DE，AE=AF，∴AD垂直平分EF故②正确；∵S△BFD∴故③正确；∵∠AFE不一定等于∠ABC∴EF∥BC不一定正确故④不一定正确；综上①②③正确，故选：A．【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定，三角形面积公式等；利用证明三角形全等是解题关键．二、填空题11．长方形如图折叠，D点折叠到D'的位置，已知∠D'FC=40°

【答案】110°/110度【分析】先求得∠DFD'的度数，根据图形折叠的性质，可求得【详解】∵∠D'∴∠DFD根据图形折叠的性质可知∠EFD∴∠EFC=∠EFD故答案为：110°．【点睛】本题主要考查根据图形的折叠求角的度数，牢记图形折叠的性质是解题的关键．12．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，若BG=9，CE=11，且△AEG的周长为16，求EG=．【答案】4【分析】由DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，得到AE=BE，AG=CG，由△AEG的周长为16，得到BE+EG+CG=16，得到BC=16，由BG=9，CE=11，得到EG=BG+CE-BC=4．【详解】∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，∴AE=BE，AG=CG，∵△AEG的周长为16，∴AE+AG+EG=16∴BE+EG+CG=16∴BC=16∵BG=9，CE=11，∴EG=BG+CE-BC=4，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．13．从汽车后视镜中看见某车牌的号码如图所示，该汽车的号码实际是．【答案】B6395【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：关于镜面对称，也可以看成是关于某条直线对称，故关于某条直线对称的数字依次是B6395．故答案为：B6395．【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，难度一般．14．如图，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点F，交BC的延长线于点E，若BF=6，CF=2，则AC的长为【答案】8【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AF=BF=6，结合图形计算即可．【详解】解：∵ED垂直平分AB，BF=6，∴AF=BF=6，∵CF=2，∴AC=AF+CF=6+2=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解本题的关键．15．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，折痕为DE，点A落到点M处，若∠C＝118°，则∠MEC的度数为．【答案】56°/56度【分析】根据平行线的性质得到∠AED=∠C＝118°，由折叠得∠MED=∠AED=118°，再根据∠MEC=∠MED+∠AED-180°求出度数．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠AED=∠C＝118°，由折叠得∠MED=∠AED=118°，∴∠MEC=∠MED+∠AED-180°=56°，故答案为：56°．【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记平行线的性质并熟练应用是解题的关键．16．如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为．【答案】5【分析】根据轴对称的性质解决问题即可；【详解】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴S△CEF=S△BEF，∴阴影部分的面积=12S△ABC=12故答案为：5；【点睛】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键．17．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是．【答案】2【分析】根据轴对称图形的定义求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：由轴对称图形的定义可得，应该拿走的小正方形的标号是2．故答案为：2．【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．18．如图，将△ABC沿AD折叠使得C恰好落在AB边上的M点处，D在BC上，点P在线段AD上运动，若AC=8，CD=4，BD=5，则△PMB的周长的最小值为．

【答案】21【分析】作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，AI⊥BC于I，根据同一三角形的面积相等求出AB=20，在根据翻折变换，把△PMB周长的最小值，转化为求PB+PM的最小值即可．【详解】如图，作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，AI⊥BC于I，

由折叠的性质可知：∠CAD=∠BAD，AC=AM=8，CP=PM，∵DG⊥AC，DH⊥AB，∴DG=DH，∴SΔACDS∴CDBD∴45∴AB=20，∴BM=AB-AM=AB-AC=20-8=12，要求△PMB周长的最小值，就转化为求PB+PM的最小值，∵PC+PB>BC，∴当P与D重合时，PC+PB取最小值，即BD+CD=9，∴△PMB的最小值为PM+PB+BM=12+9=21．【点睛】此题考查了翻折变换，轴对称以及三角形三边之间的关系，关键是把求△PMB周长的最小值转化为PB+PM的最小值，即PC+PB取最小值．三、解答题19．如图，已知Rt△ABC，请用尺规作图的方法在AB边上求作一点D，连接CD，使得△BCD是以BC

【答案】见解析【分析】由题得：CD=BD，点D在线段BC的垂直平分线上，作线段的垂直平分线于线段AB相交即可得点D；【详解】解：如图，即为所求．

【点睛】本题考查尺规作图-作线段的垂直平分线及垂直平分线的性质，根据题意，明确点D即为线段BC的垂直平分线与线段AB的交点是解题的关键20．如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠A=∠C，BE=DE．求证：

【答案】见解析【分析】先证明△AOB≅△COD，由三角形全等的性质得OB=OD，再根据BE=DE，可得结论．【详解】证明：在△AOB和△COD中，∵∠AOB=∠COD∠A=∠C∴△AOB≅△COD，∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上．又∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上∵两点确定一条直线，∴OE垂直平分BD．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，证明OB=OD是解题的关键．21．在△ABC中，已知∠A=90∘，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于(1)若AD=2cm，则D点到BC边的距离是(2)若BC=7cm，则△CDE的周长为(3)连接AE，试判断线段AE与BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)2cm(2)7cm(3)垂直，见解析【分析】（1）利用角平分线的性质即可求出答案；（2）证明△ABD和△EBD全等，得到等量关系，求出周长；（3）根据垂直平分线的定义即可判断线段AE与BD的位置关系．【详解】（1）解：∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A=90∴DE=AD=2．故答案为2cm．（2）解：在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBD∠A=∠BED∴△ABD≌△EBD∴BA=BE△CDE的周长=CD+CE+DE=CD+AD+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC=7故答案为7cm．（3）解：∵DA=DE，BA=BE，∴BD⊥AE．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定以及垂直平分线的定义．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．22．如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，AD是EF的垂直平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，EF交AD于点G．(1)若∠EDF=90°，DE=2，求DG的长；(2)若∠B=∠C，求证：AD⊥BC．【答案】(1)2；(2)见解析．【分析】（1）由垂直平分线的性质得DE=DF,EG=GF，在直角△EDF中，由勾股定得EF，在证DG是直角△EDF斜边EF上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）先证AD平分∠BAC；再由∠B=∠C，证AB=AC，即可证明．【详解】（1）解：∵AD是EF的垂直平分线，∴DE=DF,EG=GF，在直角△EDF中，∵∠EDF=90°，DE=2，∴由勾股定得EF==22∵EG=GF，∴DG是直角△EDF斜边EF上的中线，∴DG=1（2）证明：由（1）可知DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；∵∠B=∠C，∴AB=AC，∴AD⊥BC．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的证明和性质；灵活运用垂直平分线的性质构建相等、熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．23．如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：

(1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AD所在直线垂直平分线段BC得到BD=CD，从而得到∠BCD=∠CBD，再利用平行线的性质可知∠CBD=∠FCB，再用等量代换即可证明；（2）由AD所在直线垂直平分线段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC，从而得到∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB，再根据∠FCB=∠BCE即可得证．【详解】（1）证明：∵AD所在直线垂直平分线段BC，∴BD=CD，∴∠BCD=∠CBD．∵BD∥CF，∴∠CBD=∠FCB，∴∠FCB=∠BCD，即CB平分∠ECF；（2）∵AD所在直线垂直平分线段BC，∴AC=AB，∴∠ACB=∠ABC．∵∠ABC是△BCE的一个外角，∴∠ABC=∠E+∠BCE，∴∠ABC=∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB．又∵∠FCB=∠BCD，即∠FCB=∠BCE，∴∠ACF=∠E．【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关定理是解题的关键．24．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质可证明；（2）利用线段垂直平分线的性质可得出FD=AF，再结合角平分线性质即可得以证明；（3）利用角的和差计算即可．【详解】（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA．（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC．（3）∵∠EAC=∠EAD-∠CAD，∠B=∠EDA-∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B．【点睛】本题考查的知识点是三角形的角平分线性质以及线段垂直平分线的性质，掌握以上