2022年江苏省常熟市高考数学一模试卷及答案解析

2022年江苏省常熟市高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x*-2x-3<0},贝ijACB=（）

A.{-2,-1,0}B.{2}C.{0,1}D.{0,1,2}

2.（5分）已知i是虚数单位，且复数2=舞缶6/?）为纯虚数，则。=（）

22

A.一不B.-C.-6D.6

33

3.（5分）设a,b,c,"是非零实数，则"ad=bc"是"a,b,c,4成等比数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（5分）若则下列不等式中正确的是（）

1I

A.（1—Q）3>（1—Q）2B.log（1-°）（1+〃）>0

C.（1-a）3>（1+a）2D.（1-a）1+0>1

5.（5分）若直线ax-4y+2=0与直线2x+5）+c=0垂直，垂足为则a-Hc=（）

A.-6B.4C.-10D.-4

6.（5分）用一平面截圆柱，得到如图所示的几何体，截面椭圆的长轴两端点到底面的距离

分别为3和5,圆柱的底面直径为4,则该几何体的体积为（）

7.（5分）已知圆/+，=/过双曲线版■—京=1（。>0,Z;>0）的右焦点凡且圆与双曲

线的渐近线在的一、四象限的交点分别为A、B,若四边形OAFB为菱形，则双曲线的离

心率为（）

A.V2B.2C.2V2D.4

8.（5分）若函数f（x）=sin（3%+刍在区间［0,n）内有且只有两个极值点，则正数3的取

第1页共21页

值范围是（）

A.[|，|]B.[|,|）C,弓，曾D.第

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）已知圆C：-4x+2=0,点P（a,b）是圆C上的动点，以下结论

正确的是（）

A.圆C关于直线x+3y-2=0对称

B.直线y=x-3与圆C相交所得弦长为历

C.—^7的最小值为-1

Q—4

D.j+廿的最大值为2+企

（多选）10.（5分）已知矩形A8C£>,AB=V2,AD=2,将沿矩形的对角线8。所

在直线进行翻折，在翻折过程中，以下说法正确的是（）

A.存在某个位置，使得ACLBO

B.存在某个位置，使得

276

C.四面体ABCO的体积最大值为飞-

D.四面体ABCD的外接球表面积为6TT

（多选）11.（5分）网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办

法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象数学中的

螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”

或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形

ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,”，作第二个正方形EFGH,

然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,。，作第三个正方形MNPQ,按此方

法继续下去，就可以得到下图.设正方形ABCO的边长为“1，后续各正方形的边长依次

为“2,。3,…，an,•••；如图阴影部分，设直角三角形AE”面积为历，后续各直角三角

形面积依次为历，为，…，也“….下列说法正确的是（）

第2页共21页

A.正方形MNPQ的面积为77

16

7io

B.a„=4X(——)n1

4

C.使不等式与〉!成立的正整数”的最大值为4

一

D.数列｛尻｝的前〃项和5〃V4

(多选)12.(5分)已知定义在R上的函数/(%)="1+sin2x-51-s讥2%|,则()

A./(-x)=f(x)

B.f(x+分=f(x)

C.f(x)的值域[0,2]

D.f(%)22cosx的解集为g+2/cTT,岑+2/CTT],keZ

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已知等差数列｛即｝的前〃项和为S=，若改=1,56=12,则“8=.

%2y2

14.(5分)已知4(1,V3),尸是椭圆C：$+三~=1的左焦点，点P是椭圆C上的动点,

则PA+PF的最小值为.

15.(5分)已知平行四边形4/£＞中,几・6=3,点P满足A•而=4,则而.而=.

16.(5分)已知正方体ABCO-AiBCiDi的棱长为3,点P在棱481上运动，点。在棱

BC上运动，且PQ与DDi所成角为30°.若线段PQ的中点为M,则M的轨迹长度

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)如图，点A是单位圆。与x轴正半轴的交点，点B是圆。上第一象限内的动

71

点，将点3绕原点。逆时针旋转]至点C,记NA08=e.

第3页共21页

34

(1)若点8的坐标为(g,-),求点C的坐标；

(2)若/(0)=BC-OA,求/(。)的单调递增区间.

18.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2=2px(p>0)的准线经过点尸(-

1,2).

(1)直线0P与抛物线E的另一个交点为Q,求抛物线E在点。处的切线方程；

(2)对(1)中的Q,设M为抛物线E上的点，满足向M・Q%=7,求点M的坐标.

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABC。中，雨，平面ABC。，AD//BC,AB=BC=CD=\,

V3

A£>=2,直线8c与平面PC。所成角的正弦值为匚.

4

(1)求证：平面尸C£>_L平面抄1C；

(2)求平面以B与平面PCO所成锐二面角的余弦值.

20.(12分)已知数列｛如｝满足“1=1,即+I=卜"+1':为奇数,_____,〃CN*.

12a”n为偶数

从①与=。2小1+2,②d=42"+1-a2”.I,这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面

问题.

(1)写出加,历,并求数列｛尻｝的通项公式;

(2)求数列｛斯｝的前W项和S”.

21.(12分)已知函数/(x)=ax+lnx+\(aGR),g(x)=x(e^+l).

(1)若y=g(x)的图象在x=0处的切线/与y=f(x)的图象相切，求实数a的值;

第4页共21页

(2)若不等式/(x)&g(x)对任意的x6(0,+8)恒成立，求实数”的取值范围.

_X2V2

22.(12分)在平面直角坐标系中，已知椭圆C：—+—=\(.a>b>0))的上顶点B,

左、右焦点分别为乃(-c,0)、尸2(c,0),△QBE是周长为4+4四的等腰直角三角

形.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点尸(-1,-1),且互相垂直的直线/1，立分别交椭圆C于"、N两点及S、T

两点.

①若直线/1过左焦点Fi，求四边形MSNT的面积;

|PMHPN|

②求•的最大值.

|PS||PT|

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2022年江苏省常熟市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有--

项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合4={-2,-I,0,1,2},5={4^-2%-3<0},则ACl8=()

A.{-2,-1,0}B.{2}C.{0,1}D.{0,1,2}

【解答】解：••,集合A={-2,-1,0,1,2),

B={xp-2x-3<0}={x|-

.•.AC8={0,1,2).

故选：D.

2.(5分)已知i是虚数单位，且复数2=署(£1€/?)为纯虚数，则”=()

22

A.—亍B.—C.-6D.6

33

【解答】解：Z=警=(洸;*;)=6一°+,+3a)i为纯虚数,

所以2+3aW0且6-4=0,即a=6.

故选：D.

3.(5分)设a,b,c,d是非零实数，贝IJ“血=儿”是“a,b,c,d成等比数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：若a，b,c,d成等比数列，则“d=bc,

反之数列-1,-1,1,1.满足-1X1=-1X1,

但数列-1,-1,1,1不是等比数列，

即“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条件.

故选：B.

4.(5分)若0<a<l,则下列不等式中正确的是()

11

A.(l-a)3>(l-a)2B.log(i.a)(1+a)>0

C.(1-a)3>(1+a)2D.(1-a)l+a>l

1

【解答】解：：0Va〈l,；.OV1-a〈l,1Va+1V2,；.y=(1-储是减函数二(1一炉

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>(1-a)2,故A对，

因为y=1og(1-〃)"是减函数.'.log(1-。)<1+d)<log(I-。)1=0,故B错,

Vy=(I-。)”是减函数且y=(1+〃)]是增函数，，(1-a)3<(1-a)°=1<(1+a)

2故C错，

Vy=（1-a）”是减函数，I.（1-a）1+d<l=（1-6（）°故。错.

故选：A.

5.（5分）若直线以-4），+2=0与直线2¥+5）叶（?=0垂直，垂足为（1"）,WJa-b+c=（）

A.-6B.4C.-10D.-4

【解答】解：,直线⑪-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直，

：.2a+5X（-4）=0,

解得〃=10,

・••垂足为（1,b）,

・fl0—4b+2=0

••l2+5b+c=0'

解得b=3,c=-17,

・・・〃->c=I0-3-17=-10.

故选：C

6.（5分）用一平面截圆柱，得到如图所示的儿何体，截面椭圆的长轴两端点到底面的距离

分别为3和5,圆柱的底面直径为4,则该几何体的体积为（）

【解答】解：截面椭圆的长轴两端点到底面的距离分别为3和5,

所以将两个相同的几何体可以拼接成一个底面直径为4,高为8的圆柱,

所以几何体的体积V=|XTTX22X8=16TT,

故选：A.

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%"v'

7.（5分）已知圆%过双曲线•-瓦=1（“>（）,b>0）的右焦点尸，且圆与双曲

线的渐近线在的一、四象限的交点分别为A、B,若四边形OAFB为菱形，则双曲线的离

心率为（）

A.V2B.2C.2V2D.4

【解答】解：由题意，直线的一条渐近线方程斜率为百，

8.（5分）若函数/（x）=sin（a）x+亨）在区间［0,n）内有且只有两个极值点，则正数3的取

值范围是（）

A•废,flB.停,1）C,电曾D..，第

【解答】解：•・,函数f（x）=sin（3X+5在区间［0,n）内有且只有两个极值点，且当X

=0时，u)X0+w=w，

.37ryr57r

/.---<O)7l+77<

23T'

解得V3W今

故选：c.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）已知圆C：/+/-4x+2=0,点P（a,b）是圆C上的动点，以下结论

正确的是（）

A.圆C关于直线x+3y-2=0对称

B.直线y=x-3与圆C相交所得弦长为加

C.一二的最小值为-1

D./+/的最大值为2+企

【解答】解：圆C：-4x+2=0可变形为（x-2）2+y=2,

所以圆心C（2,0）,半径r=&,

第8页共21页

对于A,因为圆心C(2,0)在直线x+3y-2=0上,

所以圆C关于直线x+3y-2=0对称，

故选项A正确；

对于8,点C(2,0)到y=x-3的距离为d=上竟=挈，

V2乙

所以弦长为1=2Vr2—d2=2J2一年=V6,

故选项8正确；

对于C,一二表示圆上的点到定点Q(4,0)的斜率，

a-4

设过定点Q(4,0)且与圆C相切的直线方程为y=&Cx-4),

则圆心C到切线的距离d=陪竺I=V2,解得仁士1,

庖

b

所以—7的最小值为-L

a-4

故选项C正确；

对于D,/+廿表示圆上的点到坐标原点距离的平方，

圆上的点到坐标原点距离的最大值为OC+r=2+夜，

所以cr+b1的最大值为(2+V2)2=6+4V2,

故选项D错误.

故选：ABC.

(多选)10.(5分)已知矩形ABC。，AB=近,AO=2,将△A3。沿矩形的对角线80所

在直线进行翻折，在翻折过程中，以下说法正确的是()

A.存在某个位置，使得ACLB。

B.存在某个位置，使得AB,8

C.四面体ABC。的体积最大值为

D.四面体48。的外接球表面积为6TT

【解答】解：如图，AELBD,CFVBD,依题意，AB=V2,BC=2,AE=CF=竽，BE

=EF=FD=坐，

对于A：若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则.•.8。，平面AEC,

从而BI)上EC,这与己知矛盾，排除4

第9页共21页

对于8：若存在某个位置，使得直线A8与直线。垂直，则8,平面A8C,平面A8C

_L平面BCD,

取BC中点M,连接ME,则...NAEM就是二面角4-8O-C的平面角，此

角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CO垂直，故B

正确；

对于C：四面体的体积的最大值为平面ABC平面BCD时取得，最大值为=x

32

0x2x^=等，故C错误；

对于6四面体外接球的球心是8。的中点，所以BO为外接球的直径，又BD=显,所

以外接球的半径为渔，表面积为4Tra=6Tr.故。正确；

2

故选：BD.

（多选）11.（5分）网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办

法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象数学中的

螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”

或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形

ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,"，作第二个正方形EFGH,

然后再取正方形MG/Z各边的四等分点M,N,P,Q,作第三个正方形MNPQ,按此方

法继续下去，就可以得到下图.设正方形A8CD的边长为⑶，后续各正方形的边长依次

为“2,俏，…，an,如图阴影部分，设直角三角形AE4面积为加，后续各直角三角

形面积依次为历，为，…，bn,下列说法正确的是（）

第10页共21页

G

DC

25

A.正方形MNPQ的面积为77

16

B.斯=4Xnl

4

C.使不等式乐〉!成立的正整数n的最大值为4

4

D.数列｛仇｝的前〃项和S〃V4

【解答】解：由题可得。1=4,。2=居的)2+(%)2=鲁1，43=12

（4a2）2+（4a2）2=

zVion,2:3-710

<-）2a\.....。"=1（4即-1）2+（4即_力2=丁即一1，

I-=乎，所以数列｛即｝是以4为首项，平为公比的等比数列，则即=4•(半产-1,

则，

an-l

99即2%田2

由题意可得SzsAE/尸SABCD-SEFGH,即加=//2,b2=,……,b,,=

"?尹4

于是依理尊2n-2

=夫Q|q厂】

4

Vio

对4：正方形MNP。的面积5=的2=[4乂(—)2]2=竽，故A不正确;

4

对3：由上述分析3正确;

“「，3,5、_i,3,15,75,375、2561,1875,1

对C：方=2•(就n1】，加=可为=诃，为=例，b^=1024>W24=4'b5=8192

所以为>〃成立的正整数〃的最大值为4,故C正确；

对。：4[l-(1)n]<4,故。正确.

故选：BCD.

(多选)12.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=|V1+sin2x—V1—sin2x\,则()

A./(-x)=f(x)

B.,/(x+2)=f(x)

C./（x）的值域[0,2J

第11页共21页

D.f(x)22cosx的解集为岐+2々冗，萼+2左利，kEZ

【解答】解：对于4,/(-%)=\y/l+sin(-2x)-y/1—sin(-2x)|=|V1+sin2x—

y/1—sin2x\=/(%),故A正确；

对于B,/(%+刍)=|J1+si?i(2x+yr)—^/l-sin(2x+TT)|=|V1+sin2x—

Vl-sin2x\=/(%),故B正确；

对于C,由选项B可知，/(x)的周期为E不妨设xe[O,y],

2，

/(x)=|V1+sin2x—Vl—sin2x\=\y/(sinx4-cosx)2—yj(sinx—cosx)2|=||sirLr+cosx|

兀

oX<<一

(2sinx,-4

<

Hsinx-cosx||=-〃

7_r一

2cosx,4<x2

可得f(x)G[0,V2],故C错误；

JI37r

①当cosxWO时，即一+2kn<x<—+2krt,依Z时，

22

由于f(x)20恒成立，所以，(x)22cosx恒成立；

f(x)22cosx的解集为g+2/CTT,等+2k7r],kGZ

②当cosx>0时，即2E:VxV*+2/CTT或工-<X<2H+2kn,k£Z,

由/(x)22cosx得，y2(x)，4cos2尤，

整理得2-2yleos?Qx)>4COS2X,

即Jcos2(2%)<1-2COS2X,

所以|cos2x|W-cos2x,

所以cos2xW0,

〜一兀37r

所以一+2kn<2x<—+2kn,k6Z,

22

e/d兀37r

解得-4-/CTT<%<—4-kn,kEZ,

44

77,、37r

又2kli<x<3+2/CTT或—<x<2TT+2kli,

22

〜，兀nj3TT7TT

所以一+2kn<x<—+2/CTT或—+2kn<x<—+2/CTT,kEZ,

4224

7T7n

综合①②，可得不等式解集为L+2人兀，一+2/OT],左Z,故。错误;

44

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

第12页共21页

13.(5分)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”若42=1,56=12,则图=5.

【解答】解：由题意可得仇卡4d19,解得d=L

(6QI+15a=1233

i14

则。8=。1+71=可+手=5，

故答案为：5.

%2y2

14.(5分)已知4(1,V3),尸是椭圆C：万+卫~=1的左焦点，点尸是椭圆C上的动点，

则南+尸尸的最小值为4.

【解答】解：设点尸2为椭圆的右焦点，

22

：.PF+PF2=2a=6,\AF2\=J(2-l)+(0-V3)=2,

：.PA+PF=PA+f>-PFi，

当P、4、尸2三点共线时，B4-PF2最小值为-2,

即PA+PF^f>-2=4.

故答案为：4.

15.(5分)已知平行四边形A8C。中,G•而=3,点P满足易•无=4,则而•PD=7.

【解答】解：PB-PD=CPA+ABXPC+CD)CPA+ABXPC-DC)(PA+AB>

(PC-AB)=PA*PC+AB<-PA+PC-AB)=PA'PC+AB^AC-AB)=PA*PC+AB

•BC=PA'PC+AB'AD=4+3=7.

故答案为：7.

16.(5分)已知正方体ABC。-AIBICIQI的棱长为3,点尸在棱Ai8i上运动，点。在棱

8C上运动，且P。与。G所成角为30°.若线段PQ的中点为M,则M的轨迹长度为

V3

—n.

4-

【解答】解：以。为坐标原点，分别以DC,所在直线为x,y,z轴建立空间

直角坐标系，

过P作于点R,•••QR〃OQi，PQ与。功所成的角为30°.

：.ZQPR=30Q,且△PRQ为直角三角形，

则|PQ|=2>/1

设尸(3,m,3),Q(小3,0),0W，〃，“W3,

第13页共21页

3

再设PQ的中点M(x,y,-),

Ax=y=B|Jn=2x-3,m=2y-3,

由|PQ|=J。一3"+(加一3)2+9=2遍,可得(〃-3)2+(加-3)2=3,

c2o733

即(x-3)+(y-3)2=?(-<x^3,”yW3),

可得M的轨迹为工圆弧，的轨迹的长度为工x如x*=47r.

44Z4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）如图，点A是单位圆。与x轴正半轴的交点，点8是圆。上第一象限内的动

点，将点8绕原点O逆时针旋转;至点C,记/AO8=&

34

（1）若点8的坐标为（g,-）.求点C的坐标；

（2）若y（e）=BC*OA,求了（。）的单调递增区间.

【解答】解：⑴因为点B的坐标为(-,-),所以cos0=F，sin0=所以cos(0+60°)

5533

—"心八八久八。_z，八。_314y/3_4/3—3

cosucosou-sinSsinoO-q•5一■=",?—,

4

-2+焉,学=—»所以点C的坐标为（cos

sin(0+60°)=sin0cos6O°+cos0sin6O°5

4V3-33V3+4

(8+60°),sin(0+60°))=(------,------).

1010

第14页共21页

(2)由(1)知C(cos(0+60°),sin(0+60°)),B(cos。，sin。)，OA=(1,0),

BC=(cos(0+60°)-cos0,sin(0+60°)-sin0)=(-2sin(9+30°)sin30°,2cos

(0+30°)sin30°)=(-sin(0+30°),cos(0+30°)),

所以6•&=—sin(e+30°)*l+cos(0+3O°)*0=-sin(0+3O°)=-sin(0+1),

TCTTTC4TT

一+2始W畔+2始，一畔+2E，依Z,

26233

n47r

所以的单调递增区间是q+2E,—+2kn],kez.

18.(12分)在平面直角坐标系直为中，已知抛物线氏>2=2px(p>0)的准线经过点P(-

1,2).

(1)直线OP与抛物线E的另一个交点为Q,求抛物线E在点。处的切线方程；

(2)对(1)中的Q,设M为抛物线E上的点，满足局♦诵=7,求点M的坐标.

【解答】解：(1)由已知可得—号=一1,p=2,所以抛物线方程为y2=4x,

直线”的方程为产g沅方解得后工，或

所以点。的坐标为(1,-2),

设抛物线E在点Q处的切线方程为(y+2)+1,

｛，工2+2)+I消去x整理得/-4〃?)，-8/n-4=0,

由A=16〃，+32m+16=0,可得加=-1,

所以切线方程为x+y+l=0.

y2—y2y2

(2)设M,却)，PM=+1,yo-2),QM=-1,yo+2),

444

ttV4r

PM・QM=*+y()2-4=7,

所以(yo2-8)(>-O2+24)=0,解得加=±2北，

所以Af(2,2企)或M(2,-2V2).

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABC。中，%_L平面ABC。，AD//BC,AB=BC=CD=1,

V3

AD=2,直线BC与平面PCD所成角的正弦值为一.

4

(1)求证：平面尸C£»J_平面布C；

(2)求平面以B与平面PCO所成锐二面角的余弦值.

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【解答】(1)证明：取AO的中点E,连接CE,

因为AO〃8C,AB=BC=CD=1,AO=2,

则四边形ABCE为平行四边形，

所以CE=A8=1=1A。，

则CD1AC,

因为B4_L平面ABC。，C£>u平面ABC。，

贝I」CDLPA,

又以CAC=A,PA,ACu平面必C,

故C£)_L平面PAC,

又CDu平面PCD,

故平面Pcr>_L平面处c；

(2)解：过点8垂直于点M,以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

设以=机，机>0,

则B除0,0),C律,1,0),P(0,m),D(0,0),4(0,-1,0),

tt叵2->1

所以BC=(0,1,0),PC=(—竽，一去m),CD=(一竽，3,0),

设平面PCD的法向量为/=(x,y,z),

「二V33„

叫\n--PC=一f％一"+mz=0，

(九•CD=—+3y=0

令1=1,则y=V5,z=

故几=(1,W，

第16页共21页

因为直线BC与平面PCD所成角的正弦值为一，

4

则|cos<BC,n>\=吁例=-]■=乎,

|BC||n|lx1+3+124

解得〃2=1，

所以p（o,—1），

故£=(Lb，2①

因为旗=(修，0),PA=(0,0,-1),

设平面的法向量为茄=(a,b,c),

则卜=W+k=。，

(m-Pi4=-c=0

令〃=1,则b=-V3,

故m=(1,—V3/0),

所以|cos£,/>1=犒="+3+：*订+3=1

1

故平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为一.

4

。九+1,n为奇数

20.（12分）已知数列｛如｝满足〃i=l,an+i=

2an,n为偶数

从①氏=〃2〃-1+2,②仇=。2〃+1-I，这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面

问题.

第17页共21页

（1）写出历，历,并求数列｛儿｝的通项公式;

（2）求数列｛a“｝的前〃项和S”.

【解答】解：（1）若选①，

+1,n为奇数

**,数列｛斯｝满足=1,

（2an,n为偶数

••hn+1=。2〃+1+2—2。2〃+2=2〃2〃-1+1+2—2(ci2n-1+1)+2—2(-1+2)—，

■:b\=ai+2=3,

・・・｛〃〃｝是首项为3,公比为2的等比数列，

・,・a=3・2〃-1,・・・加=3,历=6.

若选②，

a+Ln为奇数

■:数列｛斯｝满足a1=LCln+1=n

2an,n为偶数'

・••尻=。2〃+1-42〃」=(3・2〃-2)-(3・2丁1-2)=3・2"-1

历=6.

(2)。2，＞1=3・2”“-2,。2，1=。2"-1+1=。2"-1+1=3・2〃1-1,

。2〃-1+。2〃=3・2”-3,

当〃为偶数时，

=

Sn(。1+。2)+(。3+。4)+•+(即-1+。〃)

=3・2-3+3・22-3+・+3・22-3

^6(1-22)n

-1-2，2

n3

=6-22--n—6.

当n为奇数时，

Sn=（。1+。2）+（。3+。4）+•+（如-2+。〃-1）+斯

_n_-13_n—_1

=6・2•-2(〃-1)-6+3・2•一2

一一1313

=9.2丁一.一宁

九3V

6・22-产-6,XI为偶数

,数列｛斯｝的前项和

nSn=4九一1Q1Q

9.22—2n—2~fn为奇数

21.(12分)已知函数/(%)=ax+lnx+l(tzGR),g(x)=x(e'+l).

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(1)若y=g(x)的图象在无=0处的切线/与y=/G)的图象相切，求实数〃的值；

(2)若不等式/(x)Wg(x)对任意的在(0,+8)恒成立，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)由g(x)=x(，+1),得g'(x)=k'+1+X，，gr(0)=2,切点(0,

0),

所以切线/的方程为)，=2x,

11

设/与/(x)切于尸(xo，axo+lwco+1),f(x)=。+-，k=aT---,

xxo

所以卜+*=2,解得刈=1,a=\,

[ax0+lnx0+1=2x0

(2)由/(x)<g(x)得以(c'+l),所以〃由+♦'nX--

又不等式/(%)Wg(x)对任意的尤(0,+8)恒成立,

一,xex^x-lnx-l

所以()mini

X

xex+x-lnx-lex+lnx+x-lnx-lx+Znx+l+x-Znx-1

-------------=----------------->-------------------=2,

xXX

当且仅当X+/HX=0时取等号，令cp(x)=x+lnxf

又叩(x)在(0,+8)上为单调递增函数，且叩(1)=1-1<0,(p(1)=1>0,

1

所以存在唯一的耶€(£1)使(P(即)=0,可取等号，

所以〃W2,即实数。的取值范围为(-8,2].

X2V2

22.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C