2023-2024学年广西南宁十四中八年级（上）期中数学试卷

2023-2024学年广西南宁十四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1．下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．2．下列式子中是分式的是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）4．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′5．下列运算结果正确的是（）A．（a5）2＝a7 B．a2•a4＝a6 C．x8÷x2＝x4 D．（π﹣3.14）0＝3.14﹣π6．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（）A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是7．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（2x+1）＝2x2+x B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a） D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+28．计算0.524×（﹣2）25的值为（）A．﹣2 B．﹣0.5 C．1 D．29．若等腰三角形中有两边的长分别为5和8，则这个三角形的周长为（）A．18 B．21 C．16或21 D．18或2110．若（2x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣211．将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝6，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分）13．若分式有意义，则x的取值范围是．14．如图所示为第四套人民币中的1角硬币，该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为．15．因式分解：3x2﹣3＝．16．已知2m+n＝2，则1﹣2m﹣n＝．17．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，8），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为．三．解答题（本大题共8小题，共72分）19．（8分）计算：（1）（﹣a2）3+2a2•a4．（2）（x+1）（x+3）﹣（x+2）（x﹣2）．20．（6分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．21．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣5，3），C（﹣1，2）．（1）请作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）若点P（a，b）是△ABC内一点，则点P关于x轴的对称点P1的坐标为；（3）△ABC与△A2B2C2关于直线x＝1（直线上各点的横坐标都是1）对称，则AA2＝．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：BD＝DC．23．生活中的数学：（1）某中学计划为新生军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是；（2）图2是折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度AD设计为30cm，求撑开时的凳腿间距CB；（3）为了节省空间，凳子不用时折叠起来摆放，如图3是折叠凳折叠时的侧面示意图，在（2）的条件下，已知撑开时凳面与凳腿的夹角∠A为60°，求折叠时的凳子高度AB．24．阅读与思考：【感知】已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝52＝25，即a2+2ab+b2＝25．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19．【探究】参考上述过程，解答下列问题：（1）若x+y＝4，x2+y2＝2，则xy＝；（2）若a满足（m+3）2+（5﹣m）2＝56，求（m+3）（5﹣m）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN．若长方形CEPF的面积为50，求图中阴影部分的面积和．25．综合与实践：【问题情境】已知OC是∠AOB的平分线，P是射线OC上的一点，点D，E分别在射线OA，OB上，连接PD，PE．【初步探究】（1）如图1，当PD⊥OA，PE⊥OB时，PD与PE的数量关系是；【深入探究】（2）如图2，若∠PDO+∠PEO＝180°，（1）中PD与PE的数量关系还成立吗？请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠ABC＝60°，∠C＝45°，BD＝2，求△ABD的面积．26．等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．

2023-2024学年广西南宁十四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1．解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，故选：A．2．解：A、是整式，不是分式，故本选项不符合题意；B、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；C、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；D、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；故选：B．3．解：点A（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标为（1，2），故选：D．4．解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选：C．5．解：A．（a5）2＝a10，原式错误，不合题意；B．a2•a4＝a6，计算正确，符合题意；C．x8÷x2＝x6，原式错误，不合题意；D．（π﹣3.14）0＝1，原式错误，不合题意；故选：B．6．解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，故选：B．7．解：A、x（2x+1）＝2x2+x，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、1﹣a2＝（1+a）（1﹣a），是因式分解，故本选项符合题意；D、a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．8．解：0.524×（﹣2）25＝＝＝＝（﹣1）24×（﹣2）＝﹣2．故选：A．9．解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、8，能组成三角形，周长＝5+5+8＝18，5是底边长时，三角形的三边分别为5、8、8，能组成三角形，周长＝5+8+8＝21，综上所述，这个等腰三角形的周长是18或21．故选：D．10．解：（2x﹣m）（x+1）＝2x2+2x﹣mx﹣m＝2x2+（2﹣m）x﹣m，∵结果中不含x的一次项，∴2﹣m＝0，解得：m＝2．故选：A．11．解：图2中的四个阴影小正方形可以拼成一个边长为（a﹣b）的正方形，如图1，因此面积为（a﹣b）2，图2中，四个阴影小正方形的面积和，可以看作从边长为a的大正方形中减去空白部分的面积，即a2﹣2ab+b2，因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选：A．12．解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴E点在AC上，∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，由对称性可知，AE＝AB，∵AB＝6，∴AE＝6，在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，∴∠AEN＝30°，∴AN＝3．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分）13．解：∵分式有意义，∴x+2≠0，解得：x≠﹣2．故答案为：x≠﹣2．14．解：正九边形的一个外角的度数为360°÷9＝40°，故答案为：40°．15．解：原式＝3（x2﹣1）＝3（x﹣1）（x+1），故答案为：3（x﹣1）（x+1）．16．解：1﹣2m﹣n＝1﹣（2m+n）＝1﹣2＝﹣1故答案为：﹣1．17．解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，∴∠BAC＝110°，由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，∵DE∥AB，∴∠BAE＝∠E＝30°，∴∠CAD＝40°，∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，故答案为：110°．18．解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，∴∠A1OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝2，∴A1O1＝OA1＝2×2×，点A1纵坐标是2×，∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，∴∠A2O1O2＝90°﹣60°＝30°，O1A2＝A1O1＝2×，∴A2O2＝O1A2＝2×，点A2的纵坐标是2×，即2×（）2，∵以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，同理，得点A3的纵坐标是2×（）3，按此规律继续作下去，得：点A2023的纵坐标是2×（）2023，即（）2022，故答案为：（）2022．三．解答题（本大题共8小题，共72分）19．解：（1）（﹣a2）3+2a2⋅a4＝﹣a6+2a6＝a6；（2）（x+1）（x+3）﹣（x+2）（x﹣2）＝x2+4x+3﹣x2+4＝4x+7．20．解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣2xy﹣y2）÷2x＝（4x2﹣6xy）÷2x＝2x﹣3y．当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣3×（﹣1）＝7．21．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）∵点P（a，b），∴点P关于x轴的对称点P1的坐标为（a，﹣b）．故答案为：（a，﹣b）．（3）∵△ABC与△A2B2C2关于直线x＝1对称，∴点A2的坐标为（4，5），∴AA2＝6．故答案为：6．22．【解答】（1）解：如图，DE为所作；（2）证明：连接AD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△ADC中，AD＝CD，∴BD＝CD．23．解：（1）这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性；（2）∵O是AB和CD的中点，∴AO＝BO，CO＝DO，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴BC＝AD＝30cm．（3）∵△AOD≌△BOC，∴AO＝BO，CO＝DO，∵AB和CD的长相等，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵∠A为60°，∴△AOD是等边三角形，AO＝BO＝AD＝30cm．∴AB＝60cm．24．解：（1）∵x+y＝4，∴（x+y）2＝42＝16，即x2+2xy+y2＝16，∵x2+y2＝2，∴，故答案为：7；（2）∵[（m+3）+（5﹣m）]2＝（m+3）2+2（m+3）（5﹣m）+（5﹣m）2＝82＝64，且（m+3）2+（5﹣m）2＝56，∴2（m+3）（5﹣m）＝64﹣56＝8，∴（m+3）（5﹣m）＝4；（3）设BE＝DF＝x，∵长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，∴CD＝10，∴CF＝10﹣x，CE＝6﹣x，∵长方形CEPF的面积为50，∴CF⋅CE＝（10﹣x）（6﹣x）＝50，∵[（10﹣x）﹣（6﹣x）]2＝（10﹣x）2﹣2（10﹣x）（6﹣x）+（6﹣x）2＝42＝16，∴（10﹣x）2+（6﹣x）2＝16+2×50＝116，∵正方形CFGH和CEMN的面积和为CF2+CE2＝（10﹣x）2+（6﹣x）2＝116，∴阴影部分的面积和为116．25．解：（1）∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，故答案为：PD＝PE；（2）（1）中PD与PE的数量关系还成立，理由如下：如图2，过点P作PF⊥OA于F，PH⊥OB于H，则∠PFD＝∠PHE＝90°，∵OC是∠AOB的平分线，∴PF＝PH，又∵∠PDO+∠PEO＝180°，∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PDF＝∠PEO，∴△PDF≌△PEH（AAS），∴PD＝PE；（3）∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∵BD平分∠ABC，∴∠DB