黑龙江省哈尔滨市呼兰区2023-2024学年九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案）1．一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，1，3 B．1，﹣1，3 C．﹣1，1，3 D．﹣1，1，﹣32．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝23．我国新能源汽车产业发展取得了明显成效，逐渐进入市场化驱动阶段．下列新能源汽车图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x+4）2+7 C．y＝（x﹣4）2﹣25 D．y＝（x+4）2﹣255．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定6．二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）7．在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为70min．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（）A．70（1+x2）＝100 B．70（1+x）2＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．100（1﹣x2）＝708．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝75°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°9．将二次函数y＝﹣2（x+1）2+5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4下单位长度，所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+9 B．y＝﹣2（x+3）2+9 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2（x+3）2+110．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④b2﹣4ac＞0．其中说法正确的是（）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④二、填空题（每小题3分，共计30分）11．在平面直角坐标系中，与点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．12．函数y＝中自变量x的取值范围是．13．方程kx2﹣9x+8＝0的一个根为1，则k＝．14．二次函数y＝3（x+2）2﹣5的最小值是．15．如果函数y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函数，那么m的值为．16．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是．17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB＝1，BC＝2，则AD的值为．18．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，，点D是AB边所在直线上的点，且BD＝BC，则CD＝．20．如图，在正方形ABCD中，点E为AB上点一点，连接DE，点F在DE上，EF＝2DF＝2，连接AF，∠FAE＝∠ADE+∠AFE，连接BF，则S△BEF＝．三、解答题：（共60分）21．（7分）用指定的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x+1＝0（公式法）；（2）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）．22．（7分）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，点A（1，1），B（2，4）．（1）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）在x轴上找一点D，使A1D+B1D的值最小，请直接写出点D的坐标．23．（8分）如图，已知抛物线的二次项系数为1，且经过点（1，﹣8）和（﹣2，7），请回答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，AC，BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE．（1）求证：四边形BCDE是菱形．（2）若∠BAD+∠BED＝180°，AE＝BC，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有等于120°的角．25．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？26．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAC＝∠BDC，∠BCD﹣∠ABD＝∠ABC．（1）求证：AB＝AC；（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求证：BD﹣CD＝2DE；（3）点F为BC上一点，连接AF，DF，AF+DF＝，∠CAF＝2∠DBC，若∠BAC＝120°，CD＝2，求线段BD的长．27．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A、B（A左B右），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第一象限内抛物线上一点，连接PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，如图3，AP交y轴于点D，AD＝DP，点F为x轴上点B右侧一点，∠PAB﹣∠BPF＝45°，将线段AB绕着点A逆时针旋转至AE，AE∥PF，连接OE交抛物线于点H，求点H的坐标．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案）1．一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，1，3 B．1，﹣1，3 C．﹣1，1，3 D．﹣1，1，﹣3解：一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为3．故选：B．2．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0，x﹣2＝0，x1＝0，x2＝2，故选：D．3．我国新能源汽车产业发展取得了明显成效，逐渐进入市场化驱动阶段．下列新能源汽车图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．4．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x+4）2+7 C．y＝（x﹣4）2﹣25 D．y＝（x+4）2﹣25解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：C．5．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定解：一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0根的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0有两个不相等的实数根，故选：A．6．二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）解：抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．故选：D．7．在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为70min．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（）A．70（1+x2）＝100 B．70（1+x）2＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．100（1﹣x2）＝70解：设根据题意得：100（1﹣x）2＝70．故选：C．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝75°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝75°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝15°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°．故选：B．9．将二次函数y＝﹣2（x+1）2+5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4下单位长度，所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+9 B．y＝﹣2（x+3）2+9 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2（x+3）2+1解：将二次函数y＝﹣2（x+1）2+5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4下单位长度，所得到的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1+2）2+5﹣4，即y＝﹣2（x+3）2+1．故选：D．10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④b2﹣4ac＞0．其中说法正确的是（）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，2a﹣b＝0，②正确，符合题意．∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，①正确，符合题意．∵抛物线经过（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线经过（1，0），∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，③错误，不符合题意．从图象看，抛物线和x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0正确，故④正确，符合题意．故选：D．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．在平面直角坐标系中，与点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．函数y＝中自变量x的取值范围是x≥．解：由题意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故答案为：x≥．13．方程kx2﹣9x+8＝0的一个根为1，则k＝1．解：把x＝1代入方程得：k﹣9+8＝0．解得k＝1．14．二次函数y＝3（x+2）2﹣5的最小值是﹣5．解：由于（x+2）2≥0，所以当x＝﹣2时，函数取得最小值为﹣5．故答案为：﹣5．15．如果函数y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函数，那么m的值为﹣1．解：∵函数y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函数，∴|m﹣1|＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．16．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是（0，3）．解：∵y＝（x﹣1）2+2，当x＝0时，y＝1+2＝3，∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是（0，3）；故答案为：（0，3）．17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB＝1，BC＝2，则AD的值为．解：连接BD，由旋转得：BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，∴BD＝BC＝2，由旋转得：CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠E＝45°，由旋转得：∠CAB＝∠E＝45°，∴∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝90°，在Rt△ABD中，AB＝1，∴AD＝＝＝，故答案为：．18．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝10．解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，列方程得：1+x+x（1+x）＝121，∴x2+2x﹣120＝0，解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10．答：每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑．故答案为：10．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，，点D是AB边所在直线上的点，且BD＝BC，则CD＝2或2．解：分两种情况：①如图1，当点D在AB边上时，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠B＝60°，∵BD＝BC，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BC，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（2）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝2（负值已舍去），∴CD＝2；②如图2，当点D在AB延长线时，过点B作BE⊥CD于点E，则∠CEB＝90°，由（1）得：BC＝2，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∵BD＝BC，∴CE＝CD，∠CBE＝∠CBD＝×120°＝60°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝BC＝×2＝1，在Rt△CEB中，由勾股定理得：CE＝＝＝，∴CD＝2CE＝2；综上所述，CD的长为2或2，故答案为：2或2．20．如图，在正方形ABCD中，点E为AB上点一点，连接DE，点F在DE上，EF＝2DF＝2，连接AF，∠FAE＝∠ADE+∠AFE，连接BF，则S△BEF＝7．解：如图，作AN⊥DE于N，BM⊥DE交DE的延长线于M，BG⊥AN交AN的延长线于G，，则∠BMN＝∠MNG＝∠BGN＝90°，∴四边形BMNG是矩形，∴NG＝BM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∠GAB+∠AED＝90°，∴∠ADN＝∠GAB，∵∠AND＝∠AGB＝90°，DA＝AB，∴△DAN≌ABG（AAS），∴AG＝DN，∵∠FAE＝∠ADE+∠AFE，∠FAE＝∠FAG+∠GAB，∠ADE＝∠GAB，∴∠FAN＝∠AFN，∴AN＝FN，∴AG﹣AN＝DN﹣FN，∴，∴，故答案为：7．三、解答题：（共60分）21．（7分）用指定的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x+1＝0（公式法）；（2）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）．解：（1）2x2﹣5x+1＝0，∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，∴，∴，；（2）（2x﹣1）2﹣x2＝0，（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，（3x﹣1）（x﹣1）＝0，3x﹣1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝1．22．（7分）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，点A（1，1），B（2，4）．（1）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）在x轴上找一点D，使A1D+B1D的值最小，请直接写出点D的坐标．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）如图所示，点D即为所求：D（﹣2，0）．23．（8分）如图，已知抛物线的二次项系数为1，且经过点（1，﹣8）和（﹣2，7），请回答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．解：（1）由题意得，设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，把（1，﹣8）和（﹣2，7）分别代入y＝x2+bx+c得：，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）当y＝0时，x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1．∴A（﹣1，0），B（5，0），∴AB＝6．当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5）∴OC＝5．∴S△ABC＝AB•OC＝＝15．24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，AC，BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE．（1）求证：四边形BCDE是菱形．（2）若∠BAD+∠BED＝180°，AE＝BC，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有等于120°的角．【解答】证明：∵AB＝AD，BC＝CD，∴AC为BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，OB＝OD，∴∠BOE＝∠DOC＝90°，∵BE∥CD，∴∠EBO＝∠CDO，在△EOB和△COD中，，∴△EOB≌△COD（ASA），∴EO＝CO，∴四边形BCDE为平行四边形．∵CB＝CD，∴四边形BCDE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形BCDE是菱形，∴BE＝DE＝BC，∠BCD＝∠BED，AC⊥BD，∵AE＝BC，∴AE＝BE＝DE，∴∠BAO＝∠EBA，∠DAO＝∠EDA，∵AB＝AD，BE＝DE，AC⊥BD，∴∠BAO＝∠DAO＝∠BAD，∠BEO＝∠DEO＝∠BED，∵∠BAD+∠BED＝180°，∴∠BEO+∠BAO＝90°，∠DEO+∠DAO＝90°，∵∠BEO＝∠BAO+∠EBA，∠DEO＝∠DAO+∠EDA，∴3∠BAE＝90°，3∠DAO＝90°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∴∠BEO＝∠DEO＝2×30°＝60°，∴∠BED＝∠BEO+∠DEO＝60°+60°＝120°，∠AEB＝180°﹣∠BEO＝180°﹣60°＝120°，∠AED＝180°﹣∠DEO＝180°﹣60°＝120°，∴∠BCD＝120°，∴图中所有等于120°的角为：∠AEB、∠AED、∠BED、∠BCD．25．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：（1）y＝20+＝140﹣2x，所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+140；（2）设销售利润为w元．依题意得：w＝（x﹣40）（140﹣2x），整理得：w＝﹣2x2+220x﹣5600，化成顶点式得w＝﹣2（x﹣55）2+450，∴当x为55时．每天的销售利润最大，最大利润是450元．26．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAC＝∠BDC，∠BCD﹣∠ABD＝∠ABC．（1）求证：AB＝AC；（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求证：BD﹣CD＝2DE；（3）点F为BC上一点，连接AF，DF，AF+DF＝，∠CAF＝2∠DBC，若∠BAC＝120°，CD＝2，求线段BD的长．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，∴∠ABD＝∠DCA，∵∠BCD﹣∠ABD＝∠ABC，∴∠BCD﹣∠DCA＝∠ABC，即∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC；（2）证明：在BD上截取BH＝CD，连接AH，如图：由（1）知：AB＝AC，∠ABH＝∠ACD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴AH＝AD，∵AE⊥BD，∴EH＝ED，∴DH＝2DE，∴BD﹣BH＝DH＝2DE，∴BD﹣CD＝2DE；（3）解：延长AF至点G，使AG＝AC，连接CG，BG，过A作AM⊥BC于M，过C作CN⊥BD于N，如图：由∠CAF＝2∠DBC，设∠CAG＝2α，则∠DBC＝α，∴∠AGC＝∠ACG＝90°﹣α，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠FCG＝∠ACG﹣∠ACB＝60°﹣α，∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°﹣α＝∠ACD，∴∠DCF＝∠ACD+∠ACB＝60°﹣α，∴∠FCG＝∠DCF＝60°﹣α，∵AG＝AC＝AB，∠BAG＝120°﹣2α，∴∠AGB＝∠ABG＝30°+α，∴∠CBG＝∠DBC＝α，∵BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（ASA），∴CD＝CG，∵CF＝CF，∠FCG＝∠DCF，∴△DFC≌△GFC（SAS），∴DF＝FG，∵AF+DF＝，∴AF+FG＝，∴AG＝＝AC＝AB，∴AM＝AB＝，CM＝AM＝，∴BC＝2CM＝2，∵∠BDC＝∠BAC＝120°，∴∠NDC＝60°，∴∠NCD＝30°，∴DN＝CD＝1，CN＝DN＝DN＝，∴BN＝＝＝7，∴BD＝BN﹣DN＝7﹣1＝6；∴线段BD的长为6．27．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于