第03讲一次函数的应用（重难点突破）

第03讲一次函数的应用（重难点）【知识点一、数学建模的一般思路】数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.【知识点二、正确认识实际问题的应用】在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.注意：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.【知识点三、选择最简方案问题】分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.(一)方案选择问题例1．4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打折的优惠．设小明当天购书标价总额为x元，方案一应付元，方案二应付元．(1)当时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；(2)直接写出与x的函数关系式；(3)小明如何选择购书方案才更划算？【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析；(2)；(3)见解析．【详解】（1）解：当时，方案一：（元），方案二：（元），∵，∴小明用方案一购书更划算；（2）解：由题意得：方案一：；方案二：；∴与x的函数关系式为；与x的函数关系式为；（3）解：当时，即，解得；当时，即，解得；当时，即，解得．∴当时，方案一更划算，当时，方案二更划算，当时，方案一和方案二一样划算．【变式训练11】、暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示．(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元(2)打折前的每次健身费用为25（元），(3)选择方案一所需费用更少．理由见解析【详解】（1）解：的图象过点和点，∴∴．k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元．（2）打折前的每次健身费用为（元）．（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由（1）知，∴．由（2）知，∴．当时，，解得：．结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少．【变式训练12】、书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸，已知毛笔的单价为5元，宣纸的单价为0.36元．该校准备购买毛笔50支，宣纸张（），该超市给出以下两种优惠方案．方案：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；方案：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折．设方案的总费用为元，方案的总费用为元．(1)请分别求出，与之间的函数表达式；(2)若该校准备购买的宣纸超过200张，则选择哪种方案更合算？请说明理由．【答案】(1)，；(2)若该校准备购买宣纸200张，则选择方案更划算．【详解】（1）由题意可得，，当时，，当时，，由上可得，，；（2）若该校准备购买宣纸200张，则选择方案更划算，理由：当时，，，，若该校准备购买宣纸200张，则选择方案更划算．(二)分配方案问题例2．2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12月20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”服务，针对特殊人群开展活动．活动方案如下：方案一：不购买“云”，每次收费10元；方案二：购买“云”，每次另行额外收费．设王先生“云健身”次数为（次，按照方案一所需费用为（元，且；按照方案二所需费用为（元，且．其函数图象如图所示．(1)；购买“云”需元；(2)两种方案的函数图象交于点，请求出点的坐标并解释点的实际意义；(3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案（选填“一”或“二”所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案（选填“一”或“二”可以获得更多的次数．【答案】(1)，(2)点A的坐标为；点A的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为元(3)二；一【详解】（1）解：由题意得：，由图象得：当时，，即购买“云”需120元，故答案为：，；（2）由题意得：，，在上，，解得：，，令，解得，，点的坐标为；点的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为200元；（3）由图象得：王先生准备“云健身”25次，选择方案二所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案一可以获得更多的次数；故答案为：二；一．【变式训练21】、水果成熟愁煞人，政府帮忙销四方．某市果农种植的甲、乙两种水果，成熟后受季节气温影响急于销售，为了解决果农之忧，王老板决定每次都从该市果农处购进甲、乙两种水果进行销售．为了感谢王老板，对乙种水果按40元/千克的价格批发出售．设王老板购进甲种水果x千克，付款y元，与之间的函数关系如图所示：(1)求出当0≤x≤60和x＞60时，y与x之间的函数关系式；(2)若王老板计划一次性购进甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于乙种水果的，乙种水果不少于35千克，才能使王老板付款总金额W（元）最少？(3)若甲、乙两种水果的销售价格分别为54元/千克和52元/千克，王老板将甲、乙两种水果按（6﹣m）：（1+m）的比例购进两种水果共210千克，求m的最大值．【答案】(1)y与x的函数关系式为y＝(2)当购进甲种水果75千克，购进乙种水果45千克时，最小值为5010元(3)m的最大值为40【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，则，得，即当时，y与x的函数关系式为，当时，设y与x的函数关系式为，则，解得，即当时，y与x的函数关系式为，由上可得，y与x的函数关系式为．（2）设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果为千克，，，，当时，W取得最小值，∴当购进甲种水果75千克，购进乙种水果45千克时，最小值为5010元．（3）甲：千克，乙：千克，①，，＝2160+60m，，与矛盾，舍去，②，解得，，成立，∴m的最大值为40．【变式训练22】、随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用6000元购进了若干台A型打印机，用10000元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价贵200元．(1)B型打印机的单价是多少元？(2)为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过20台，则每台B型打印机享九折优惠；若一次性购买超过20台，则前20台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．设购买B型打印机x台，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．(3)在（2）的优惠方案下，若购买A型、B型打印机共35台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？【答案】(1)500(2)(3)购买A型打印机14台，B型打印机21台．最少花费13600元．【详解】（1）设B型打印机的单价为x元，则A型打印机的单价为元，根据题意可列方程：解得：答：B型打印机的单价为500元．（2）根据题意，当一次性购买B型打印机不超过20台时，即时，；当一次性购买B型打印机超过20台时，即时，；∴y关于x的函数关系式是：（3）设购买B型打印机x台时，才能使花费最少，则购买A型打印机为台，依据题意得：，解得：设购买两种型号的打印机，总花费为y元，因，所以B型打印机花费元，A型打印机花费元，∴即因为一次函数，y随x的增大而增大，故当x=21时，y值最小．此时最小值为即购买A型打印机14台，B型打印机21台时，花费最少，最少花费13600元．(三)最大利润问题例3．开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中A，B两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表：类别价格A款汴绣B款汴绣进货价（元/件）8001400销售价（元/件）9801680(1)第一次小杰用24400元购进了A，B两款汴绣共20件，求两款汴绣名购进多少件；(2)第二次小杰进货时，计划购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的，且小杰计划购进两款汴绣共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)受疫情影响，社会消费需求收缩，小杰为快速实现资金回流，计划对A款汴绣打8折出售并赠送成本为26元的某景区门票一张，对B款汴绣打n折出售，若以（2）中可获得最大利润的进货方案为基础，请计算B款汴绣打几折出售时，A，B两款沐绣的销售总额恰好实现盈亏平衡？【答案】(1)A款汴绣购进6件，B款汴绣购进14件；(2)A款汴绣购进12件，B款汴绣购进18件，才能获得最大利润，最大利润是7200元；(3)B款汴绣打折出售时，A，B两款汴绣的销售总额恰好实现盈亏平衡．【详解】（1）解：设A款汴绣购进x件，则B款汴绣购进件，根据题意得：，解得，∴，∴A款汴绣购进6件，B款汴绣购进14件；（2）解：设B款汴绣购进m件，∵购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的，∴，解得，设利润为w元，根据题意得：，∵，∴w随m的增大而增大，∴当时，w取最大值（元），此时，∴A款汴绣购进12件，B款汴绣购进18件，才能获得最大利润，最大利润是7200元；（3）解：设B款汴绣打n折出售，根据题意得：，解得，∴B款汴绣打折出售时，A，B两款汴绣的销售总额恰好实现盈亏平衡．【变式训练31】、草莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装草莓，若按标价出售可获毛利润元毛利润售价进价，这两种盒装草莓的进价、标价如下表所示：价格品种品种品种进价（元盒）

标价（元盒）

(1)求这两个品种的草莓各购进多少盒；(2)该店计划下周购进这两种品种的草莓共盒每种品种至少进盒，并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？(3)该店第二次进货时采用了中的设计方案，并且两次购进的草莓全部售出，请从利润率的角度分析，对于该店来说哪一次更合算？注：利润率．【答案】(1)品种的草莓购进盒，品种的草莓购进盒(2)当品种的草莓购进盒，品种的草莓购进盒时，才能使毛利润最大，最大毛利润是元(3)对于该店来说第一次更合算【详解】（1）设品种的草莓购进盒，品种的草莓购进盒，由题意可得，，解得，答：品种的草莓购进盒，品种的草莓购进盒；（2）设品种的草莓购进盒，则品种的草莓购进盒，毛利润为元，由题意可得，，，随的增大而减小，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，，解得，当时，取得最大值，此时，，答：当品种的草莓购进盒，品种的草莓购进盒时，才能使毛利润最大，最大毛利润是元；（3）第一次的利润率为：，第二次的利润率为：，，对于该店来说第一次更合算．【变式训练32】、某公司有型产品40件，型产品60件，分配给甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且全部售出，两种产品的利润如表所示：型产品利润型产品利润甲店200元/件170元/件乙店160元/件150元/件(1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这100件产品的总利润为（元），求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围．(2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品每件的利润仍高于甲店型产品每件的利润，其它利润不变，问该公司如何设计分配方案，可使得总利润最大？【答案】(1)(2)当时，分配给甲店型产品40件，则分配给甲店的型产品为30件，分配给乙店的型产品0件，型产品为30件，有最大利润；当时，分配给甲店型产品10件，则分配给甲店的型产品为60件，分配给乙店的型产品30件，型产品为0件，有最大利润；当时，总利润与分配方案无关，总利润是16800元【详解】（1）解：设分配给甲店型产品件，则分配给甲店的型产品为件，分配给乙店的型产品件，型产品为件，根据题意得，，根据运送数量都是非负数得，，解得，所以，关于的函数关系式为，；（2），∵让利后型产品每件的利润仍高于甲店型产品每件的利润，∴，解得，①时，，随的增大而增大，时，有最大值，此时，分配给甲店型产品40件，则分配给甲店的型产品为30件，分配给乙店的型产品0件，型产品为30件；②时，，随的增大而减小，时，有最大值，此时，分配给甲店型产品10件，则分配给甲店的型产品为60件，分配给乙店的型产品30件，型产品为0件．③时，总利润与分配方案无关，总利润是16800元．(四)行程问题例4．在河道，两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从码头匀速行驶到码头，同时货轮从码头出发，运送一批物资匀速行驶到码头，两船距码头的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：(1)，两个码头之间的距离是________；(2)求客轮距码头的距离与时间之间的函数关系式；(3)请问两船出发多久相遇？并求出当两船相遇时距离码头的距离．【答案】(1)80(2)(3)，【详解】（1）解：由函数图象可得：，两个码头之间的距离是．（2）因为客轮距码头的距离与时间的函数图象经过点，故可设客轮距码头的距离与时间的函数关系式为，将点代入，得，解得，所以客轮距码头的距离与时间的函数关系式为．（3）设货轮距码头的距离与时间的函数关系式为，将点代入，得，解得，所以货轮距码头的距离与时间的函数关系式为．令，即，解得，将代入，得，答：两船出发后相遇，当两船相遇时距离码头的距离为．【变式训练41】、快、慢两车分别从相距的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，途中慢车因故停留了小时，然后继续以原速驶向甲地，到达甲地后即停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地（调头时间忽略不计），如图是快、慢两车距乙地路程与所用时间之间的图象，结合图象解答下列问题：(1)慢车的行驶速度为____，的值为____，快车的行驶速度为____；(2)快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是_____千米；(3)两车出发后______小时相距的路程为千米．【答案】(1)60，360，120；(2)320；(3)小时或小时或．【详解】（1）解：由题意，得慢车的速度为：千米时，；快车的速度为：千米时，故答案为：，，；（2）由题意，得，，设，由题意，得，，．快车的速度为千米时，小时，，．设，由题意，得，解得：，，解得：，千米．快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是千米，故答案为：；（3）设直线的解析式为，由题意，得，解得：，；设直线的解析式为，由题意，得，解得：，．当时，解得：，当时，解得：；当时，解得：舍去．当时，解得：舍去；当时，解得：，综上所述：两车出发小时、小时或小时时，两车相距的路程为千米．故答案为：小时或小时或．【变式训练42】、甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地．如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与小时之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：(1)求线段对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【答案】(1)线段对应的函数解析式为(2)货车从甲地出发后小时被轿车追上，此时离甲地的距离是千米(3)轿车到达乙地后，货车距乙地千米【详解】（1）解：设线段对应的函数解析式为，由题意，得，解得：．则．答：线段对应的函数解析式为；（2）设的解析式为，由题意，得，解得：，．当时，，解得：．离甲地的距离是：千米．答：货车从甲地出发后小时被轿车追上，此时离甲地的距离是千米；（3）由题意，得千米．答：轿车到达乙地后，货车距乙地千米．(五)几何问题例5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为4．(1)求，，三点的坐标；(2)若动点在线段和射线上运动，当时，求点的坐标．【答案】(1)，(2)或或【详解】（1）解：把代入得：，∴点A的坐标为，把点代入得：，解得：，∴一次函数的解析式为，当时，，当时，，∴，∴点；（2）解：由（1）得：，∴，当点M在线段上运动时，设点M的坐标为，∵，∴，即，解得：，∴点M的坐标为；当点M在射线上运动时，设点M的坐标为，∵，∴，即，解得：，∴点M的坐标为或；综上所述，点M的坐标为或或．【变式训练51】、如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．(1)求点坐标；(2)求的面积；(3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)12(3)的坐标为或【详解】（1）由直线可知：令，则，∴；（2），∴点与轴的距离是4，∵，