北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼3 勾股定理的应用

北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼3勾股定理的应用一、选择题1．如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（） A．2m B．3m C．4m D．3m2．如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东53°方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（）A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m3．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+4C．(10−x)2+44．如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为xcm，则x的最小值是（）A．5 B．7 C．12 D．135．如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形.一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（） A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米7．有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（）A．10cm B．13cm C．18cm D．20cm8．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为（） A．1 B．4 C．6 D．99．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD=6m），踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）mA．212 B．152 C．6 10．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2020 C．2021 D．2022二、填空题11．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为尺．12．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米.13．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．14．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距15．我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题”：一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度为尺．（一丈=10尺）三、解答题16．如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，求这辆送家具的卡车能否通过这个通道.17．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米(如图1)；

②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离CD为2米，到旗杆的距离CE为10米(如图2)．根据以上信息，求旗杆四、综合题18．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．（1）求旗杆距地面多高处折断（AC）；（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？19．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．（1）求监测点A与监测点B之间的距离；（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．20．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：AB=5m，BC=3m，AC⊥BC，则AC=A即该竹竿的顶端A离地竖直高度为4m，故答案为：C．

【分析】直角利用勾股定理计算即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：如图，由题意得：AB=1200m，BC=500m，∠CBD=37°，∠BAF=53°，DE∥AF，∴∠ABE=∠BAF=53°，∴∠ABC=180°−∠CBD−∠ABE=180°−37°−53°=90°，∴AC=A即A，C两点之间的距离为1300m，故答案为：D．【分析】先求出∠ABC的度数，再利用勾股定理求出AC的长即可。3．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：由题意得：∠AOB=90°，设折断处离地面的高度OA是x尺，由勾股定理得：x2故答案为：D．【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，利用勾股定理可得x24．【答案】A【解析】【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=9故h最短故答案为：A．

【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求出h最短5．【答案】C【解析】【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm，AB=6②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm，AB=1③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm，DB=6∵15<329所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．故答案为：C．【分析】将立体图形按照三个不同的方向展开，连接AB，用勾股定理求出AB的长，比较大小找出最短的距离即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知.BE=CD=1.5m，AE=AB−BE=4.5−1.5=3m，AC=5m由勾股定理得BD=CE=5故离门4米远的地方，灯刚好打开.故答案为：B.【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵52∴木条长度适合的是13cm.故答案为：B.【分析】直接利用勾股定理求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：大正方形的边长为5，较短直角边长为3，则较长直角边长4，∴小正方形边长为1，∴小正方形面积为1，故答案为：A．【分析】先求出较长直角边长4，再求出小正方形边长为1，最后求解即可。9．【答案】B【解析】【解答】解：设秋千绳索AB的长度为xm，由题意可得AC=AB=xm，四边形DCFE为矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，∴DB=DE−BE=3m，AD=AB−BD=(x−3)m，在Rt△ADC中，AD即62解得x=15即AC的长度为152故答案为：B．

【分析】设秋千绳索AB的长度为xm，利用勾股定理可得62+(x−3)10．【答案】D【解析】【解答】解：如图，由题意得：SA=1，由勾股定理得：SB＋SC=1，则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，故答案为：D.【分析】利用勾股定理可证得SB＋SC=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.11．【答案】4.55【解析】【解答】解：由题意得，如图所示，AB=10，AD=3，∠A=90°，BC=CD，设AC=x，则BC=CD=10−x，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC∴x2解得x=4.∴竹的余高为4.55尺，故答案为：4.55．【分析】设AC=x，则BC=CD=10−x，利用勾股定理可得x212．【答案】9【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝BC2−A∵CD＝10（米），∴AD＝CD∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9.【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ACD中，根据勾股定理可得AB、AD的值，然后根据BD=AB-AD进行计算.13．【答案】3.75【解析】【解答】解：设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据题意，得x2解得：x=3.75，∴这个湖的水深是3.75尺．故答案为：3.75．

【分析】设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据勾股定理可得x214．【答案】30【解析】【解答】解：如图，由题意可知∠BAC=90°AB=12×1.5=18在Rt△ABC中BC=故它们相距30海里．故答案为：30

【分析】先求出∠BAC=90°，再利用勾股定理求出BC的长即可。15．【答案】3.2【解析】【解答】解：1丈＝10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10−x）尺，根据勾股定理得：x2＋62＝（10−x）2，解得：x＝3.2．答：折断处离地面的高度为3.2尺．故答案为：3.2

【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理可得x2＋62＝（10−x）2，再求出x的值即可。16．【答案】解：过直径的中点O作直径的垂线，交下底边于点D，如图所示，在RtΔABO中，由题意知OA=2，DC=OB=1.4，所以AB2=22-1.42=2.04，因为4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04>1.96，所以卡车可以通过.【解析】【分析】过直径的中点O作直径的垂线，交下底边于点D，先利用勾股定理求出AB2，再结合4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04>1.96，即可判断出卡车可以通过.17．【答案】解：设AB=x米，

则AC=x+2，AE=x−2，

∵∠AEC=90°，

∴AC2=AE2+CE2，

即：(x+2)2=(x−2)2【解析】【分析】利用勾股定理列方程求出(x+218．【答案】（1）解：由题意，知AC+BC=8m．∵∠A=90°，设AC长为xm，则BC长(8−x则42解得x=3．故旗杆距地面3米处折断（2）解：如图．∵点D距地面AD=3−1=2(∴B′∴AB∴距离旗杆底部周围42【解析】【分析】（1）利用一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，可知AC+BC等于旗杆的高度，同时根据题意可得到AB的长，然后设AC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.

（2）利用已知条件可得到AD的长及B′D的长，然后利用勾股定理求出AB′的长.19．【答案】（1）解：在RtΔABC中，AC=300km，BC=400km，∴AB=A答：监测点A与监测点B之间的距离为500km；（2）解：海港C受台风影响，理由：∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴S∴300×400=500CE，∴CE=240km，∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港