专题16 分类讨论思想（押题预测40题：与方程不等式、函数、三角形、圆结合）【原卷版】-押题培优

专题16分类讨论思想（押题预测40题：与方程不等式、函数、三角形、圆结合）类型一、方程与不等式中的分类讨论1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≤﹣1或x≥2 C．﹣1≤x≤2 D．x≥22．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．63．下列说法：①若a＜b，则ac2＜bc2；②若ac＜bc，则a＞b；③若a＞b，且c＝d，则ac＞bd；④若ac2＜bc2，则a＜b．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．定义运算“※”：a※b＝若3※x＝1，则x的值为（）A．1 B．5 C．1或5 D．5或75．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（）A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根 C．当p＜0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关6．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4，max{﹣2，﹣4}＝﹣2．按照这个规定，那么方程max{x，5x}＝2x+6的解为（）A．x＝2 B．x＝3或x＝﹣6 C．x＝2或x＝﹣6 D．x＝37．若一次函数y＝kx+b（k≠0）在﹣3≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大5，则下列说法正确的是（）A．k的值为1或﹣1 B．y随x的增大而减小 C．该函数的图象不可能经过第一、二、四象限 D．满足题意的函数表达式只有2个8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（1，0），B（3，0）．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上两个点．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，则下列结论一定正确的是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．|y1|＜|y2| D．|y1|＞|y2|9．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．例如，如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（）A．0≤m≤ B．﹣2＜m≤ C．﹣2＜m≤2 D．﹣4＜m＜010．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点M从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→D运动，同时点N从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着C→D→A→B运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，设S△DMN＝S，时间为t（s），则S与t之间的函数图象大致为（）A． B． C． D．类型二、函数与分类讨论11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个12．已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．10 B．11 C．10或11 D．以上答案均不对13．直角三角形的两边长m，n满足，则第三边长是（）A．5 B．5或 C．4或 D．414．如图，在平面直角坐标系中，O是Rt△ABC斜边AB的中点，AC＝4，BC＝3，将Rt△ABC绕点O旋转，使点C落在x轴上，则旋转后点B的对应点的坐标是（）A．（，﹣） B．（﹣，） C．（，﹣）或（﹣，） D．（，﹣）或（﹣，﹣）15．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（）A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm16．AB是⊙O的弦，∠AOB＝60°，则弦AB所对的圆周角是（）A．30° B．60° C．150°或30° D．60°或140°17．在边长为a的正方形内有4个等圆，每相邻两个互相外切，它们中每一个至少与正方形的一边相切，那么此等圆的半径可能是（）A． B． C． D．18．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣12，则m的取值范围为．19．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴原不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：直接写出不等式（2x+3）（5﹣x）≤0的解集．20．如图，函数y＝的图象，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为．类型三、三角形与分类讨论21．我们引入记号f（x）表示某个函数，用f（a）表示x＝a时的函数值．例如函数y＝x2+1可以记为f（x）＝x2+1，并有f（﹣2）＝（﹣2）2+1＝5，f（a+1）＝（a+1）2+1＝a2+2a+2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数f（x）＝的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”．关于狄利克雷函数，下列说法：①f（π）＝f（）②对于任意的实数a，f（f（a））＝0③对于任意的实数b，f（b）＝f（﹣b）④存在一个不等于0的常数t，使得对于任意的x都有f（x+t）＝f（x）⑤对于任意两个实数m和n，都有f（m）+f（n）≥f（m+n）．其中正确的有（填序号）．22．已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k）（1）k关于h的函数解析式为．（2）若抛物线不经过第三象限，且在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为，则m＝．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点），若点B'恰好落在△ABC边上，则点A到直线A′C的距离是．24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上，连接DE，DG，FG，当四边形DEFG是菱形时，发现菱形的个数随着点D的位置变化而变化，若存在两个菱形DEFG，则线段CD的长的取值范围是．25．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，点M是线段CO延长线上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．26．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点E是AB边上不与端点重合的一个动点，作ED⊥BC交BC于点D，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F，当△ACF为等腰三角形时，则BD的长为．27．抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C（2，y）在在这条抛物线上．（1）则点C的坐标为；（2）若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为．28．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处，折痕为OE．在x轴正半轴上存在一点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形，则点P的坐标为．29．点A、B、C是⊙O上不同的三点，已知∠AOB+∠ACB＝210°，则∠AOB＝度．30．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC为8，以顶点D为圆心，2为半径画圆，点P在对角线上运动，当射线BP与圆D相切时，AP的长是．类型四、圆中的分类讨论31．如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为．32．如图，在等边△ABC中，AB＝2，如果以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相切，那么⊙A的半径r的值是．33．阅读下面的材料，回答问题：如果（x﹣2）（6+2x）＞0，求x的取值范围．解：根据题意，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为x＞2，第二个不等式组的解集为x＜﹣3．故当x＞2或x＜﹣3时，（x﹣2）（6+2x）＞0．（1）由（x﹣2）（6+2x）＞0，得出不等式组或，体现了思想；（2）试利用上述方法，求不等式（x﹣3）（1﹣x）＜0的解集．34．阅读下列材料：根据绝对值的定义，|x|表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ＝|x1﹣x2|．根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m．（1）AB＝个单位长度；（2）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值；（写过程）（3）若关于x的方程|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a无解，则a的取值范围是．35．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）的顶点为A，与x轴相交于B、C两点（C点在B点的右侧）．（1）判断点（0，1）是否在抛物线y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）上，并说明理由；（2）若点A到x轴的距离为5，求a的值；（3）若线段BC的长小于等于4，求a的取值范围．36．为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球．（1）设方案一的总费用为y1，方案二的总费用为y2，请分别写出y1，y2（元）与x（个）之间的函数关系式；（2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．37．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．38．抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线的顶点，且点D的横坐标为﹣1．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求△BCD的面积；（3）若点P是x轴下方抛物线上任意一点，已知⊙P的半径为2，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标是