第六节　双曲线

1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的

等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的

，两焦点间的距离叫做双曲线的

．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当

时，P点的轨迹是双曲线；(2)当

时，P点的轨迹是两条射线；(3)当

时，P点不存在．距离的差的绝对值焦点焦距2a<|F1F2|2a＝|F1F2|2a>|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质续表5．(人教A版选择性必修第一册P127·T6改编)经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为______________．层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)双曲线的标准方程

[题点全训]1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为

(

)[一“点”就过]双曲线标准方程的两种求法[一“点”就过]研究双曲线几何性质的步骤(1)将所给方程正确化成双曲线的标准形式．(2)根据方程判断出双曲线的焦点在哪个坐标轴上．(3)准确求出a，b，进而求出双曲线的其他有关问题．[方法技巧](1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.答案：9[方法技巧]求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程．[方法技巧]解与双曲线有关范围问题的方法几何法如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解代数法若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解2．(忽视双曲线定义的条件)已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是

(

)A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线解析：依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．答案：D

6．(借助数学文化)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．现有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为