上篇-1 复变函数

电子工程数学方法任课教师：刘贤峰1学习目的数学物理方法：将数学物理有机结合的一门学科，主要讨论如何构建数学物理模型，并研究其解决方法。唯象理论理论构架实验实验物理理论物理数学（知其然不知其所以然）2数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。

——（英）R.培根3教材：数学物理方法（第四版）高等教育出版社总学时：48教学安排4复变函数1复变函数2复变函数的积分3解析函数的幂级数4留数及其应用数学物理方程1典型方程与定解问题2波动方程的达朗贝尔解3格林函数法4分离变量法5郭敦仁，数学物理方法，高等教育出版社姚端正、梁家宝，数学物理方法，武汉大学出版社，1997年姚端正，数学物理方法学习指导，科学出版社，2001年胡嗣柱等编著，《数学物理方法》，第二版，北京大学出版社，2002年7月胡嗣柱、徐建军，数学物理方法解题指导，高等教育出版社，1997年参考书目6考核方式：课堂测验4次占40%课程设计占10%平时作业占10%期末考试闭卷占40%联系方式：xianfengliu@其它7复变函数论上篇8第一章复数与复变函数复数与复数运算1复球面与区域2复变函数3解析函数4多值函数59§1.1复数与复数运算一、复数的概念复数：对于任意两个实数x、y，称z=x+iy为复数。共轭复数：实部相同，虚部相反说明：两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等；复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0；与实数不同，一般说来，任意两个复数不能比较大小。10二、复数的几何表示复平面：复数z=x+iy

与有序实数对(x,y)一一对应。将实轴、虚轴按直角坐标系构成平面（复平面），复数z=x+iy

与复平面上点z(x,y)一一对应。实轴虚轴11复数的模与辐角模：矢量的长度（|z|）辐角：矢量与实轴正向之间的夹角（Argz）y一个复数的辐角可以取无穷多个值，并且彼此相差2

的整数倍，通常把满足条件的一个特定值称为Argz

的主值（z的主辐角，argz），满足关系：12(x0,-y0)xyO(x0,y0)zz*

-说明：1.复数零和无穷远点的辐角无意义；2.共轭复数在复平面内的位置关于实轴对称。13说明：1.在三角和指数表示下，两个复数相等，当且仅当模相等，幅角相差2

的整数倍；2.复数的各种表示法可以相互转化，以适应不同问题的需要。三、复数的三种表示方法代数式：三角式：指数式：利用直角坐标与极坐标的关系：利用欧拉公式：14四、复数的运算加、减法15乘法oxyz1z2z2几何意义：将复数z1按逆时针转动Argz2，并伸长|z2|倍16除法乘方17开方当k=0,1,2…n-1时，得到n个相异的根：18说明：1.2.

n个值就是以原点为中心，

1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。19解：20一、复球面定义：作一个球面，使得球面上的点与复数一一对应。S——南极N——北极球面上的点，除去北极N外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。因此可以用球面上的点来表示复数。§1.2复球面与区域

z21无穷远点：

当z离原点很远，P无限接近N，N可以看成是与复平面上一个模为无穷大的假想点对应，这个假想点称为无穷远点。说明：不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面（复平面）；包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面；对于无穷远点，其实部、虚部、辐角等概念均无意义，它的模规定为正无穷大；运算，，00，0无意义；a

时，a=，a=0，a=；a0时，a=a=。22二、区域及相关概念邻域：以z0为圆心，以任意小正实数ε为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域。内点：z0及其邻域均属于点集E，z0叫作E的内点外点：z0及其邻域均不属于点集E，z0叫作E的外点。边界点：若z0及其邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，z0为边界点，边界点的全体称为边界线。邻域边界点

外点

内点23单连通域复连通域区域(B)：满足下列两个条件的点集全部由内点组成；具有连通性，即点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。闭区域：单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域。复连通区域：非单连通区域，即有洞区域。区域24例2：指明下列不等式所确定的区域，是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的。解：无界的单连通域25角形域，无界的单连通域是二条幅角分别为

/3的线

是以原点为中心，半径为1的圆的外部，无界的多连通域26表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹，是椭圆有界的单连通域27一、定义：若在复数平面上存在一个点集E,对于E的每一点z，按照一定的规律，有一个或多个复值w与之相对应，则称w为z的复变函数。一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相应性质的直接推广。§1.3复变函数zwE28例3：复变函数29三角函数f(z)=sinz，cosz实周期2

；模值：与实函数相同：常用复函数与实函数比较30具纯虚数周期2i，而对应的实函数为非周期函数。

lnz为无穷多值的多值函数，负实数的对数仍有意义

f(z)=ez、shz、chz31二、极限设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0|<

内。如果有一确定的数A存在，对于任意给定的

>0，相应地必有一正数

()

(0<

)

，使得当0<|z-z0|<

时有|f(z)-A|<

那么称A为f(z)当z

趋向z0时的极限，记作说明：注意：定义中z

z0

的方式是任意的。这一点不同于实函数；若f(z)当z

z0

时极限存在，则极限唯一。32定理1：设的充要条件是：定理2：33证明：例4：证明函数当z0时的极限不存在。让z沿直线趋于0，有：34例5：证明函数在z=0处的极限不存在。证明：o可见：复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同，但在实质上有很大差异，要求条件苛刻的多。

极限不存在35三、连续性设f(z)在z0的邻域内有定义，若，则称f在点z0连续，若f在区域B内处处连续，则称f在B内连续。定理3：函数在z0=x0+iy0处连续，则：定理4：在某点连续的两函数的和、差、积、商（分母不能为0）在该点仍连续；在某点连续的函数的复合函数在该点仍连续。36四、导数定义：设函数w=f(z)是在区域B上定义的单值函数，即对于B上的每一个z值，有且只有一个w值与之相对应。若在B上的某点z，极限存在，并且与

z

→0的方式无关，则称函数在z点可导，此（有限的）极限叫做f(z)在z点的导数。如果f(z)在区域B内每一点都可导,则称f(z)在B内可导。37说明：复变函数和实变函数导数的定义，虽然形式上相同，实质上却有很大的区别，这是因为实变函数

x只沿实轴逼近零，而复变函数

z却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多。xyo

z02、z=i

y1、z=

x3、z=

x+i

y•38实变函数中的求导法则在复变函数中完全适用。39解：40例7：问f(z)=x+2yi

是否可导?解：沿x轴趋于z，沿y轴趋于z，所以，f(z)=x+2yi的导数不存在。连续不一定可导41柯西-黎曼条件（C-R）

z沿平行于实轴的方向趋于零：

y=0，z=x0

z沿平行于虚轴的方向趋于零：

x=0，z=y042两式相等，可得柯西—黎曼(C-R)条件：柯西—黎曼条件(C-R条件)是函数f(z)可导的必要条件，但不是充分条件。43满足C-R条件极限值因k而异，极限不存在，故原函数在z0=0

处不可导。例8：讨论函数在z0=0

处的可导性。解：44证明：因为u、v在z处有连续的一阶偏导数，所以u、v

的全微分存在对于任意的

z=x+iy，有：复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z点可导的充要条件是：u、v在z处偏导数存在且连续u、v在z处满足C-R条件

其中各个

值随

z→0而趋于零45代入C-R条件：

极限是与的方式无关的有限值。证毕！46例9：判定下列函数在何处可导？解：设z=x+iy

则：w=x-iy，u=x，v=-y47(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny48设z=x+iy

则有：w=x2+y2

即：u=x2+y2,v=0

49练习：设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2)，问常数a，b，c，d取何值时，f(z)在复平面内处处可导。a=2，b=-1，c=-1，d=250推导思路：一、从极坐标关系出发，分别考虑

z沿径向和沿横向趋于零。二、从直角坐标关系出发。51一、定义：如果函数f(z)

在z0

及其邻域内处处可导，则称f(z)在z0

点解析。如果f(z)在区域B内每一点解析，则称f(z)

是B上的解析函数。函数f(z)在某点z0

解析，是指f(z)在z0

点及其邻域内可导。如果f(z)在z0

点不解析，那么称z0

点为f(z)的奇点。f(z)

在B内解析f(z)

在B内可导f(z)在z0点连续f(z)在z0点解析f(z)在z0点可导§1.4解析函数52解：5354二、性质在区域B内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、积、商（除去分母为零的点）在B内解析。设函数h=g(z)在z平面上的区域B内解析，函数w=f(h)在h平面上的区域D内解析。如果对B内的每一个点z，函数g(z)的对应值h都属于D，那么复合函数w=f(g(z))在B内解析。（1）所有多项式在复平面内是处处解析的（2）任何一个有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母为零的点的区域内是解析函数，使分母为零的点是它的奇点。55若f(z)=

u+iv

在区域B上解析，则u(x,y)=常数与v(x,y)=常数的曲线正交；证明：

u(x,y)=常数与v(x,y)=常数曲线正交！思路：▽u和▽v分别是u(x,y)=常数和v(x,y)=常数的法向矢量=056f(z)=z2=x2-y2+2xyi

x2-y2=C1,2xy=C257f(z)在区域

B

解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数。共轭调和函数——满足C-R条件，而且满足拉普拉斯方程（调和）的一对函数。58证明：后面将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数。59C-R条件全微分？由该性质可见：如果在区域内任选两个调和函数u和v，则函数f(z)=u+iv在区域内不一定是解析函数。只有当u和v还满足相应的C-R条件，对应函数f(z)=u+iv在区域内才解析（而v+iu却不一定解析）；由此得到构成一个解析函数的方法，即由一个调和函数，利用C-R条件可求出另一个与之共轭的调和函数，再由这一对共轭调和函数构建出一个解析函数。例如：已知u，求f(z)60三、构造解析函数的方法曲线积分法：全微分的积分与路径无关，故可选取特殊积分路径，计算待求函数凑全微分显式法：将微分式右端凑成全微分显式不定积分法61例11：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：方法一：曲线积分法(全微分的积分值与路径无关)62方法二：凑全微分显式法方法三：不定积分法故对x积分有：v对y求偏导有：63例12：已知解析函数f(z)的虚部求实部u(x,y)和这个解析函数。解：6465解析函数应用—解决平面向量场的有关问题定义：向量场中的向量都平行于某一固定的平面S以场内没有带电物体的平面静电场为例：势函数

(x,y)是二维调和函数66因此可以将

(x,y)看成是在区域内的解析函数w=f(z)=u+iv的实部（或虚部）。利用解析函数的虚部与实部的关系，就可以求出解析函数w。这样得到的解析函数w称为静电场的复电势。假设：电势

(x,y)=v对应于w=f(z)=u+iv的虚部复势与电场关系67解：例13：一条具有电荷线密度为e的均匀带电的无限长直导线L所产生的平面向量场为，求复势。所以复势为：68一、定义：对于自变数z的每一个值，有不止一个函数值w与之相对应，w

便称为z的多值函数。二、根式函数多值性§1.6多值函数69自变数与函数的对应关系•从w1(z)

出发：绕红线含（z0=0）绕绿线（不含z0=0）多值函数的两个单值分支70支点：对于多值函数w=f(z)，如绕某点z0一周，函数值w

不复原，而当z

不绕z0

点转一圈回到原处时，函数值还原。则称z0

点为f(z)的支点。z绕支点(z0)n圈，函数值复原，则该支点(z0)称为n-1阶支点。例：z=0是的一阶支点。z=

也是的一阶支点。因此，为了完全确定多值