七下实数辅导讲义终极版

第六章实数辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。即：如果x2，则x叫做a的平方根，记作“”（a称为被开方数）。（2）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；②0只有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。（5）本身为非负数，即≥0；有意义的条件是a≥0。（6）公式：()2（a≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。即：如果x3,把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a”。（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身，②一个负数的绝对值是它的相反数，③零的绝对值是零。一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。注意：题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数，有非负性，即≥0；有意义的条件是a≥0。4、公式：⑴()2（a≥0）；⑵=（a取任何数）。5、区分()2（a≥0），与=6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。7.一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如8、.识记常用平方表：（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252=9.易混淆的三个数（自行分析它们）：（1）（2）（3）10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：\r(,2)≈\r(,3)≈\r(,5)≈\r(,6)≈\r(,7)≈【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为和，求这个数？变式1、已知和是m的平方根，求m的值？变式2、已知某个数的平方根分别为和，求a和这个数？例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由①（-3）2②02③-0.012（2）下列说法对不对？为什么？①4有一个平方根②只有正数有平方根③任何数都有平方根④若a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数例3、求下列各数的平方根：9(2)(3)0.36(4)变式3、.下列语句中，正确的是（）A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根C．一个实数的立方根不是正数就是负数D．立方根是这个数本身的数共有三个变式4.下列说法正确的是（）A．-2是（-2）2的算术平方根B．3是-9的算术平方根C．16的平方根是±4D．27的立方根是±3题型三、化简求值例1、已知，化简：变式1、若例2已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简变式2、实数在数轴上的位置如图所示,化简变式3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（）A.－2B.2－C.－3D.3－例3、当a<0时，化简的结果是()A0B-1C1D½例4、化简下列各式：(1)1.4|(2)|π-3.142|(3)【变式1】化简：题型四、利用非负数的性质求代数式三种常见的非负数：注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；(2)若几个非负数的和是0，则这几个非负数均为0.例1、已知实数x，y满足+(1)2=0，则等于【变式1】已知、b是有理数，且满足（－2）20，则b的值为【变式2】已知则的值为【变式3】已知(6)220，求()33的值。求被开方数中的未知数的值例2若2017，则变式1、若，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．3变式2、若x、y都是实数，且，求的值变式3、已知,求的值？题型五、解方程(2)(3)(4)题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x是\r(,10)的整数部分，y是\r(,10)的小数部分，求的平方根。变式1设m是的小数部分，n为的小数部分，求的值？题型六关于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）解（1）因为，所以±=±9.例2（1）64的立方根是

（2）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个题型八、探索找规律1（盐城市）现规定一种新的运算“※”：a※，如3※2=32=9，则※3＝（）2(资阳市)若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为()A． B．99! C．9900 D．2！3．如果有理数满足∣－2∣+∣1－b∣=0，试求+…+的值．4.观察思考下列计算过程：∵11=121，∴=11；同样：∵111=12321，∴=111；…由此猜想：=题型八实数比较大小的方法1、方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当﹥0时，得到a﹥b。当﹤0时，得到a﹤b。当＝0，得到。例1、比较1-与1-的大小。3、方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，。来比较a与b的大小。例2、比较与的大小。4、方法三：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例3、比较2与3的大小5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4、比较与的大小。综合演练一、填空题1、（-0.7）2的平方根是2、若=253,则3、已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是4、＝5、若m、n互为相反数，则＝6、若，则07、若有意义，则x的取值范围是8、16的平方根是±4”用数学式子表示为9、大于-\R(\S\(),2)，小于\R(\S\(),10)的整数有个。10、一个正数x的两个平方根分别是2和4，则，。11、当时，有意义。12、当时，有意义。13、当时，有意义。14、当时，式子有意义。15、若有意义，则能取的最小整数为二、选择题1．9的算术平方根是（）A．-3B．3C．±3D．812．下列计算正确的是（）A．=±2B．=9C.D.3．下列说法中正确的是（）A．9的平方根是3B．的算术平方根是±2C.的算术平方根是4D.的平方根是±24．64的平方根是（）A．±8B．±4C．±2D．±5．4的平方的倒数的算术平方根是（）A．4B．C．-D．6．下列结论正确的是（）ABCD7．以下语句及写成式子正确的是（）A、7是49的算术平方根，即B、7是的平方根，即C、是49的平方根，即D、是49的平方根，即±8．下列语句中正确的是（）A、的平方根是B、的平方根是C、的算术平方根是D、的算术平方根是9．下列说法：(1)是9的平方根；(2)9的平方根是；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（）A．3个B．2个 C．1个D．4个10．下列语句中正确的是（