函数的单调性

3.2.1函数的单调性——预知未来一、教材分析《函数的单调性》是高中数学新教材必修第一册第三章第2节的内容。在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。二、学情分析学生在初中已学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象，对增减性已有初步感性认识，所以本节课是学生数学思想的一次提升。函数单调性是函数概念的延续和拓展，又为后续学习指数函数、对数函数等内容打下扎实基础，对进一步求解函数的最大值和最小值等数学问题有着广泛作用。三、教学目标与核心素养课程目标1.理解函数单调性的定义；2.掌握用定义法判断函数单调性的步骤；3.会用定义法证明简单的函数的单调性.数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数单调性；2.逻辑推理：证明函数单调性；3.数学运算：运用单调性解决不等式；4.数据分析：利用图像求单调区间；5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性解决实际问题。四、教学重难点1.教学重点：理解函数单调性的概念；2.教学难点：会用定义法证明简单的函数的单调性。五、课前准备1.教学方法：以学生为主体，采用诱导探究式教学，精讲多练。2.教学工具：多媒体六、教学过程教学过程师生活动设计意图（一）情景引入活动一问题：观察下列函数图象,体会它们的上升与下降的特点：在上面的六幅函数图象中,从左向右观察，图像的走势有何特点？我们如何准确的描述函数图象的“上升”“下降”这一性质呢?学生自由发言，教师不做判断。引导学生进一步观察、研探通过观察函数的图象，观察函数的变化规律，引入本节新课。提高学生概括、推理的能力。（二）抽象新知，经历过程活动二：通过前面的分析得到单调函数的概念：函数单调性定义知识点1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数在它的定义域内单调递增时，称它是增函数（increasingfunction）．几点说明：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）从数的角度叙述增减函数：必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；①>(<)为增函数（减函数）②函数为增（减）函数，，则③函数为增（减）函数，，则（3）从形的角度叙述增减性：知识点2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：学生仿照增函数的定义说出减函数的定义分组讨论交流，教师启发引导通过思考，进一步巩固函数单调性的定义。提高学生解决问题的能力。类比教学，数学联系与变通。数学抽象，数学变通与整合深化理解体会数学的分类讨论思想活动三：例题：根据定义证明函数在区间上单调递减结论：用定义证明函数的单调性的步骤:1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2；2.作差:f(x1)－f(x2)；3.变形:通常是因式分解和配方；4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；5.下结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.教师引导，讲解，规范解题过程教师引导，学生讨论，教师组织交流通过例题，教会学生利用单调性的定义证明函数的单调性，提高学生解决问题能力、用分类讨论解决问题的能力。（三）及时反馈，数学应用活动四：巩固训练1.在区间上单调递增2.证明函数f(x)=3x+1在R上是增函数3.讨论的单调区间和单调的图像，并讨论它在定义域I上的单调性。学生分组讨论交流，教师启发引导通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（四）课堂小结1.单调性2.判断函数单调性的方法：（1）定义法：用定义证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号→下结论（2）图象法：在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.学生自主总结，教师更正补充通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。板书设计函数单调性图像：例题：单调性证明定义：小结：七、教学反思本节课在预设时就考虑到要使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初