课时验收评价(五十二) 两条直线的位置关系

PAGE第3页共4页课时验收评价(五十二)两条直线的位置关系1．直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为()A．(0,1) B．(0，－1)C．(1,0) D．(－1,0)答案：C2．(2022·泰安质检)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0解析：选A由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A.3．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y－4＝0解析：选A设P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.故选A.4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．2 D．4解析：选B直线x＋2y＋1＝0与x＋2y＋3＝0间的距离d1＝eq\f(|3－1|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，直线3x－4y＋c1＝0与3x－4y＋c2＝0间的距离d2＝eq\f(|c1－c2|,\r(32＋－42))＝eq\f(|c1－c2|,5).由菱形的性质，知d1＝d2，所以eq\f(|c1－c2|,5)＝eq\f(2\r(5),5)，所以|c1－c2|＝2eq\r(5)，故选B.5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2A.eq\r(2) B.eq\f(8\r(2),3)C.eq\r(3) D.eq\f(8\r(3),3)解析：选B因为a＝0或a＝2时，l1与l2均不平行，所以a≠0且a≠2.因为l1∥l2，所以a(a－2)＝3,2a2≠18，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1与l2之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).故选B.6．(2022·深圳模拟)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：选B易知直线y＝k(x＋1)过定点A(－1,0)，设B(0，－1)，则当线段AB与直线y＝k(x＋1)垂直时，距离最大，为|AB|＝eq\r(0＋12＋－1－02)＝eq\r(2)，故选B.7．直线l与直线y＝1，直线x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)解析：选C设P(a,1)，Q(b，b－7)，由线段PQ的中点坐标为(1，－1)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)＝1，,\f(1＋b－7,2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))所以P(－2,1)，Q(4，－3)，所以直线l的斜率k＝eq\f(1－－3,－2－4)＝－eq\f(2,3)，故选C.8．若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))解析：选B∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴(mx＋n)＋3y＝0，当x＝eq\f(1,2)时，mx＋n＝eq\f(1,2)m＋n＝eq\f(1,2)，∴3y＝－eq\f(1,2)，∴y＝－eq\f(1,6)，故直线过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6))).故选B.9．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3eq\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)解析：选A∵l1∥l2，∴AB的中点M的轨迹是平行于l1，l2的直线，且到l1，l2的距离相等，易求得点M所在直线的方程为x＋y－6＝0.因此，中点M到原点的最小距离为原点到直线x＋y－6＝0的距离，即eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2).故选A.10.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则|AP|等于()A．2 B．1C.eq\f(8,3) D.eq\f(4,3)解析：选D以A为原点，AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．设△ABC的重心为D，则D点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(－m,0)，因为直线BC的方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在的直线上，所以kP1D＝kP2D，即eq\f(\f(4,3),\f(4,3)＋m)＝eq\f(\f(4,3)－4＋m,\f(4,3)－4)，解得m＝eq\f(4,3)或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．所以|AP|＝m＝eq\f(4,3).11．若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，则下面说法错误的是()A．直线l2的斜率为定值B．当c＝25时，|PQ|的最小值为eq\f(3,2)C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20D．c≠10解析：选C∵l1∥l2，∴eq\f(a,3)＝eq\f(8,4)≠eq\f(c,5)，∴a＝6，c≠10，故A、D正确；∵|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，∴当c＝25时，d＝eq\f(|10－25|,\r(62＋82))＝eq\f(3,2)，故B正确；当|PQ|的最小值为1时，d＝eq\f(|10－c|,\r(62＋82))＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误．12．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线l：x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则点P的坐标是()A．(1，－1) B．(－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5))) D．(－2,2)解析：选C如图所示，点A(3，－1)关于直线l：x＋y＝0的对称点为C(1，－3)，直线BC的方程为eq\f(x－1,4)＝eq\f(y＋3,1)，即x－4y－13＝0，与x＋y＝0联立可得直线BC与直线l的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5))).|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|，由图可知，当点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5)))时，|PB|＋|PC|取得最小值，即|PA|＋|PB|取得最小值，故选C.13．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：mx－y＋1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________.解析：由l1⊥l2，得m2－1＝0⇒m＝±1.答案：±114．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．解析：由平面几何知识得AB平行于直线ax＋y＋1＝0或AB中点(1,3)在直线ax＋y＋1＝0上，当AB平行于直线ax＋y＋1＝0时，因为kAB＝－eq\f(1,2)，所以a＝eq\f(1,2)；当AB中点(1,3)在直线ax＋y＋1＝0上时，则a＋3＋1＝0，即a＝－4.所以a＝eq\f(1,2)或－4.答案：eq\f(1,2)或－415．若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2,3)对称，则直线l2恒过定点________，l1与l2的距离的最大值是________．解析：∵直线l1：y＝kx＋1经过定点(0,1)，又两直线关于点(2,3)对称，则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称，∴直线l2恒过定点(4,5)，∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为eq\r(4－02＋5－12)＝4eq\r(2).答案：(4,5)4eq\r(2)16．(2022·湘潭调研)已知点M(1,0)，N(2,0)，点P在直线2x－y－1＝0上移动，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________，|PM|＋|PN|的最小值为________．解析：∵点P在直线2x－y－1＝0上，∴可设点P的坐标为(a,2a－1)，∴|PM|2＋|PN|2＝(a－1)2＋(2a－1)2＋(a－2)2＋(2a－1)2＝10a2－14a＋7＝10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(7,10)))2＋eq\f(21,10)，∴最小值为eq\f(21,10).设点M′(x，y)和点M关于直线2x－y－1＝0对称，则|PM|＋|PN|＝|PM′|＋|PN|，当M′，P，N三点共线时，|PM′|＋|PN|最小，此时|PM|＋|PN|＝|M′N|，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x－1)＝－\f(1,2)，,2×\f(x＋1,2)－\f(y,2)－1