人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题6.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（重难点题型检测）（教师版）

专题6.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春·陕西咸阳·高二期末）“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1,mA．加法原理 B．减法原理 C．乘法原理 D．除法原理【解题思路】根据分步计数原理的概念即得.【解答过程】根据分步计数原理的概念可知，解决“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1应用的是乘法原理.故选：C.2．（3分）（2022秋·云南楚雄·高二阶段练习）甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（

）A．12 B．24 C．64 D．81【解题思路】根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理即可得到.【解答过程】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项,每人有4种报名方法，根据分步计数原理，可知共有4×4×4=64种不同的报名方法.故选：C.3．（3分）（2022·全国·高三专题练习）若一个m、n均为非负整数的有序数对m,n，在做m+n的加法时，各位均不进位，则称m,n为“简单的有序实数对”，m+n称为有序实数对m,n之值，则值为2004的“简单的有序实数对”的个数是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【解题思路】根据定义，列举出所有的情况，即可求解.【解答过程】因为在做m+n的加法时，各位均不进位则称m,n为“简单的有序实数”，m+n称为有序实数对m,n之值，其中m、n均为非负整数，所以值为2004的“简单的有序实数对”可能为(0，2004)，(1，2003)，(2，2002)，(3，2001)，(4，2000)；(2004，0)，(2003，1)，(2002，2)，(2001，3)，(2000，4)；(1000，1004)，(1001，1003)，(1002，1002)；(1003，1001)，(1004，1000)共15种.故选：B.4．（3分）（2022春·辽宁沈阳·高二开学考试）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示1−9的一种方法．则据此，3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1−9这9数字表示的两位数的个数为（

）A．9 B．12 C．15 D．16【解题思路】6根算筹可分为1、5，2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【解答过程】解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7=14个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1=2个两位数；则一共可以表示14+2=16个两位数.故选D．5．（3分）（2022秋·宁夏银川·高二阶段练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【解题思路】根据分步乘法计数原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.【解答过程】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有4×3×2=24种涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得故选:C.6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P−ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（

）A．36种 B．72种 C．48种 D．24种【解题思路】利用分步乘法原理和分类加法原理分析求解.【解答过程】依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．综上，不同的涂法种数为4×3×2×1×2+1×1故选：B．7．（3分）（2022·全国·高二专题练习）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（

）A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分B．第二名的总分可能超过18分C．第三名的总分共有3种情形D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名【解题思路】根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答.【解答过程】依题意，甲的得分情况有两种：10，10，5和10，10，3，显然3人的总得分为54分，甲得分为10，10，5时，第二名、第三名的总分之和为29分，甲得分为10，10，3时，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；甲得分为10，10，5时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，第三名得分对应有三种情况：3，3，3；3，5，3；5，5，3，总分分别为9分，11分，13分，甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，第三名得分对应有三种情况：3，3，5；3，5，5；5，5，5，总分分别为11分，13分，15分，选项B，D正确，第三名总分有4种情况，C不正确.故选：C.8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【解题思路】先判断出G,A,B，按顺序排在前四个位置中的三个位置，C>E>F，D>E>F，且E,F一定排在后四个位置，然后分I排在前四个位置中的一个位置与I不排在前四个位置中的一个位置两种情况讨论，利用分类计数加法原理可得结果.【解答过程】不妨设A,B,C,D,E,F,G,H,I代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九个位置，根据甲依次撞击到树枝A,B,C；乙依次撞击到树枝D,E,F；丙依次撞击到树枝G,A,C；丁依次撞击到树枝B,D,H；戊依次撞击到树枝I,C,E可得G>A>B，在前四个位置，C>E>F，D>E>F，且E,F一定排在后四个位置，（1）若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4×(3+4)=28种排法；（2）若I不排在前四个位置中的一个位置，则G,A,B,D按顺序排在前四个位置，由于I>C>E>F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，由分类计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有28+5=33种.故选：D.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（

）A．18 B．19 C．24 D．26【解题思路】先求出每一条线路单位时间内传递的最大信息量，再由分类加法原理求解即可【解答过程】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6．因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为3+4+6+6=19，故选：AB.10．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知数字0,1,2,3,4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（

）A．组成可以有重复数字的四位数有500个B．组成无重复数字的四位数有96个C．组成无重复数字的四位偶数有66个D．组成无重复数字的四位奇数有28个【解题思路】根据题意，由分类分步计数原理依次分析各选项，即可得答案.【解答过程】解：对A：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有4×5×5×5=500个，故选项A正确；对B：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，有4×3×2=24种情况，则组成无重复数字的四位数有4×24=96个，故选项B正确；对C：若0在个位，有4×3×2=24个四位偶数，若0不在个位，有3×3×2×2=36个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有24+36=60个四位偶数，故选项C错误；对D：组成无重复数字的四位奇数有3×3×2×2=36个，故选项D错误；故选：AB.11．（4分）（2022春·湖南长沙·高二期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法【解题思路】根据分步与分类计数原理逐个求解即可【解答过程】对A，从中选出2个球，正好一红一黄，有4×5=20种不同的选法，所以该选项错误：对B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6=120种不同的选法，所以该选项正确；对C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法，所以该选项错误；对D，若要不放回地依次选出2个球，有15×14=210种不同的选法，所以该选项正确.故选：BD.12．（4分）（2022·全国·高二专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是（

）A．最高处的树枝为G，I中的一个B．最低处的树枝一定是FC．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种【解题思路】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为GABCEF，还剩下D，H，I，且树枝I比C高，树枝D在树枝B，E之间，树枝H比D低，根据I的位置不同分类讨论，求得这九根树枝从高到低不同的顺序共33种.【解答过程】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为GABCEF，还剩下D，H，I，且树枝I比C高，树枝D在树枝B，E之间，树枝H比D低，最高可能为G或I，最低为F或H，故A选项正确，B错误；先看树枝I，有4种可能，若I在B，C之间，则D有3种可能：①D在B，I之间，H有5种可能；②D在I，C之间，H有4种可能；③D在C，E之间，H有3种可能，此时树枝的高低顺序有5+4+3=12（种），若I不在B，C之间，则I有3种可能，D有2中可能，若D在B，C之间，则H有3种可能，若D在C，E之间，则H有三种可能，此时树枝的高低顺序有3×(4+3)=21（种）可能，故这九根树枝从高到低不同的顺序共有12+21=故选：AC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022春·重庆北碚·高二期中）甲、乙、丙、丁四人准备到A、B、C、D四座城市旅游，每人只到其中一座城市旅游．若A、B、C三座城市为低风险城市，D为中风险城市，且规定疫苗接种未成功的人不能到中高风险城市，接种成功的人不受限制，已知这四人中只有丁疫苗接种还未成功，则这四人到这四座城市旅游共有192种安排方法．【解题思路】丁不能去D城市，甲乙丙三人不受限制，进而由分步计数原理可得结果.【解答过程】丁疫苗接种还未成功，即丁不能去D城市，甲乙丙三人不受限制，则共有3×4×4×4=192种安排方法.故答案为：192.14．（4分）（2022·山东泰安·模拟预测）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有5个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示2，右边的每个算珠表示1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a,b,c.例如，图中上档的数字和a=7.若a,b,c成等差数列，则不同的分珠计数法个数为18.【解题思路】先确定a,b,c的范围，再按照公差分类计算．【解答过程】根据题意知，a,b,c的取值范围都是区间5,10中的6个整数，当公差d=0，有6种；当公差d=±1时，b不取5和10，有2×4=8种；当公差d=±2时，b只能取7、8，有2×2=4种；综上，不同的分珠计数法有6+8+4=故答案为：18．15．（4分）（2022春·福建泉州·高二期末）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有48种．【解题思路】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色.【解答过程】按照分步计数原理，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；所以不同的涂色种数有4×3×(1×2+2×1)=48种．故答案为：48.16．（4分）（2023·高二单元测试）一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有27种．【解题思路】由题可得有2人只会表演魔术，3人只会表演口技，3人既会表演魔术又会表演口技，然后以只会表演魔术的人分类讨论结合两个基本原理即得.【解答过程】由题可知有2人只会表演魔术，3人只会表演口技，3人既会表演魔术又会表演口技，针对只会表演魔术的人讨论，先从只会表演魔术的人表演魔术有2种选择，再从其他的6人选1人表演口技有6种选择，故共有2×6=12种选择；不选只会表演魔术的人，从既会表演魔术又会表演口技的3人中选1人表演魔术，有3种选择，再从只会表演口技的3人和既会表演魔术又会表演口技的剩余2人选1人表演口技，有5种选择，故共有3×5=15种选择；所以不同的安排方法有12+15=27种.故答案为：27.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·高二课时练习）在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学二物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？【解题思路】分为A大学和B大学两类专业来选，根据分类加法计算原理即可求解﹒【解答过程】解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，∵没有一个强项专业是两所大学共有的，∴根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数N=5+4=9．18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）用4种不同的颜色给图中的A，B，C，D四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色.(1)有多少种不同的涂法？(2)若相邻区域不能涂同一种颜色，有多少种不同的涂法？【解题思路】（1）根据分步计数原理，对每个区域进行涂色即可；（2）根据分步计数原理，结合相邻区域不能同色，对每个区域进行涂色即可.【解答过程】（1）分4步完成涂色，依次为A，B，C，D各个区域，每个区域各有4种涂法，共有44（2）由可分4步进行涂色，第一步：A有4种涂法，第二步B有3种涂法，第三步C有2种涂法，第四步D有2种涂法有4×3×2×2=48种不同的涂色.19．（8分）（2023·全国·高三专题练习）相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位中．(1)若要求有3辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？(2)若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理直接计算即可；（2）利用分步乘法计数原理直接计算即可.【解答过程】（1）可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那辆车，有4种情况，第二步，停放剩下的3辆车，将剩余3辆车分别编号为A，B，C，将剩余3个停车位分别编号为一、二、三，设A车先选停车位，此时有2种停法，剩余两辆车有且只有1种停法，所以第二部有2种停法，根据分步乘法计数原理，共有4×2=8种停法；（2）将4辆车分别编号为A，B，C，D，将4个停车位分别编号为一、二、三、四．不妨设A车先选停车位，此时有3种停法，若A车选了二号停车位，那么B车再选，有3种停法，剩下的C车和D车都只有1种停法，故共有3×3=9种停法．20．（8分）（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？【解题思路】（1）根据分类加法计数原理求解即可；（2）根据分步乘法计数原理求解即可；（3）分三种情况讨论求解即可；【解答过程】（1）由于书架上有3+5+6=14本书，则从中任取一本，共有14种不同的取法.（2）由题意分步完成，第一步：取任取一本数学书，有3种取法；第二步：取任取一本语文书，有5种取法；第三步：取任取一本英语书，有6种取法；由分步乘法计数原理得共有3×5×6=90种不同的取法.（3）取两本不同科目的数，可以分三种情况：①一本数学书和一本语文书，有3×5=15种情况；②一本数学书和一本英语书，有3×6=18种情况；③一本语文书和一本英语书，有5×6=30种情况；根据分类加法计数原理，共有15+18+30=63种情况.21．（8分）（2023·全国·高二专题练习）如图所示的A，B，C，D按照下列要求涂色．（1）用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？（2）若恰好用3种不同颜色给A，B，C，D四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？【解题思路】(1)根据给定条件分成4步依次对A，B，C，D涂色即可得解；(2)根据给定条件可得必有不相邻两个区域同色，按同色区域分成3类，再对每一类分3步涂色即可得解；(3)先从3种颜色中选出两种，再将所选颜色分两步涂在A，C(A，C同色)和B，D(B，D同色)即可得解.【解答过程】（1）涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理知将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2=24种不同的涂色方案；（2）恰好用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域或A，D区域或B，D区域必同色，由分类加法计数原理可得恰好用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1+3×2×1+3×2×1=18种不同涂色的方案；（3）若恰好用2种不同颜色涂