人教A版高中数学(必修第二册)同步培优讲义专题10.3 事件的相互独立性（重难点题型精讲）（原卷版）

专题10.3事件的相互独立性（重难点题型精讲）1．事件的相互独立性(1)定义

对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.(2)性质

若事件A与B相互独立，则SKIPIF1<0与B，A与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也相互独立.

(3)应用

因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.

(4)推广

两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈SKIPIF1<0)个事件的相互独立性，即若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0)=P(SKIPIF1<0)P(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0P(SKIPIF1<0).2．互斥事件与相互独立事件的辨析(1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.两个事件不可能同时发生，即AB=SKIPIF1<0.概率公式若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.(2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：事件表示概率（A，B互斥）概率（A，B相互独立）A，B中至少有一个发生P(A∪B)P(A)+P(B)1SKIPIF1<0P(SKIPIF1<0)P(SKIPIF1<0)或P(A)+P(B)SKIPIF1<0P(AB)A，B都发生P(AB)0P(A)P(B)A，B都不发生P(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)1SKIPIF1<0[P(A)+P(B)]P(SKIPIF1<0)P(SKIPIF1<0)A，B恰有一个发生P(ASKIPIF1<0∪SKIPIF1<0B)P(A)+P(B)P(A)P(SKIPIF1<0)+P(SKIPIF1<0)P(B)A，B中至多有一个发生P(SKIPIF1<0SKIPIF1<0∪ASKIPIF1<0∪SKIPIF1<0B)11SKIPIF1<0P(A)P(B)【题型1独立性的判断】【方法点拨】(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件.【例1】（2022·全国·高三专题练习）下列事件中A，B是相互独立事件的是（

）A．一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面”，B=“第二次为反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”【变式1-1】（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与AA．相互独立事件 B．不相互独立事件C．互斥事件 D．对立事件【变式1-2】（2022秋·广东梅州·高二阶段练习）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下股子朝上面的点数.用x表示红色股子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用x,y表示一次试验的结果.定义事件：A=“x+y为奇数”，事件B=“x=y”，事件C=“x>4”，则下列结论不正确的是（

A．PA=3PB B．AC．B与C独立 D．A与B独立【变式1-3】（2023秋·浙江绍兴·高三期末）数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的的六位数，A表示事件“1和2相邻”，B表示事件“偶数不相邻”，C表示事件“任何连续两个位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇数按从小到大的顺序排列”．则（

）A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立C．事件A与事件D相互独立 D．事件B与事件C相互独立【题型2相互独立事件的概率】【方法点拨】利用相互独立事件的概率乘法公式，进行求解即可.【例2】（2023秋·山东济宁·高二期末）假设PA=0.3,PB=0.4，且A与B相互独立，则A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88【变式2-1】（2022·高一课时练习）已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，给出下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(AB)＝0.18；③P(AB)＝0.28；④P(AB)＝0.42.其中正确的有()A．4个 B．2个C．3个 D．1个【变式2-2】（2022春·安徽安庆·高一期末）设事件A，B相互独立，PA=0.6，PB=0.3，则A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9【变式2-3】（2022春·山西太原·高一期末）设A，B，C是一个随机试验中的三个事件，且PA>0，PB①若A与B互斥，则PAB②若A与B独立，则PA∪B③若A，B，C两两独立，则PABC④若PABC=PAPBPC则其中正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【题型3事件相互独立的应用】【方法点拨】实际问题中，计算相互独立事件同时发生的概率，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件.对于计算问题：将题中所求事件转化为若干个独立事件的交事件，利用独立事件的性质和推广求解.【例3】（2022·高一单元测试）甲、乙、丙三人能独立解决某一问题的概率分别是15，14，13A．160 B．320 C．13【变式3-1】（2022·高二单元测试）一个袋子中有4个红球，n个绿球，采用不放回的方式从中依次随机地取出2个球，若取出第二个球是红球的概率为0.4，那么n的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【变式3-2】（2022春·黑龙江绥化·高二期中）某学校餐厅就餐刷卡器是由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则刷卡器能正常工作.如果各个元件能否正常工作相互独立，元件1、元件2正常工作的概率都是35，元件3正常工作的概率是2527，那么该刷卡器能正常工作的概率为（A．23 B．79 C．8【变式3-3】（2022·高一单元测试）高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的．假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，15，该同学进入两个社团的概率为320，且三个社团都进不了的概率为25，则m+n=A．712 B．112 C．8【题型4互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】【方法点拨】阅读题目，分析事件之间的关系，一般将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式求解.【例4】（2022秋·陕西榆林·高二阶段练习）甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为35，乙发球时甲得分的概率为13，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（A．425 B．225 C．8【变式4-1】（2022·高一单元测试）甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为13，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（

A．13 B．59 C．2【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个