带保护区域的竞争模型的共存态问题

带保护区域的竞争模型的共存态问题

模型的伏尔拉-洛赫模型是对群动力学的研究的核心内容。由于种群间竞争关系的普遍存在性及重要性,竞争模型更加受到国内外学者的关注。因此,竞争系统的研究被认为是种群动力学研究的重要课题之一。对生活在同一栖息地的两个竞争物种而言,若其中一个的竞争力比较弱,随着时间的推移,该物种可能会逐渐衰退。为了防止其走向灭绝,生物学家提出,对该物种设立“保护区域”,它表示在该物种的栖息地,设立一个子区域,以防止其竞争者和其竞争食饵。在这种情况下,被保护的物种可以自由进出保护区域,而它的竞争者被隔离在保护区域之外。目前,在空间均匀分布的情况下,保护区域的引入已有不少的研究成果,但在扩散的生物模型中引入保护区域的研究并不是很多。在空间分布不均匀的情况下,文献利用分歧理论和拓扑度理论研究了保护区域对带Holling-II反应函数的捕食-食饵系统的影响。文献在竞争模型中建立一个保护区域,利用不动点指数理论,椭圆方程解的爆炸理论及椭圆和抛物型方程的比较原理,深入研究了保护区域对动力系统的影响,详细分析了当η充分大时正解的存在性。文献给出了Volterra-Lotka竞争模型共存解的稳定性的充分条件。在竞争模型中引入Ω0作为保护区域,即研究如下反应扩散系统其中Ω,Ω0是Rn中具有光滑边界的有界开区域,且。u,v分别表示相互竞争的两个种群物种的密度,其中u为弱竞争者,v为强竞争者。皆为正常数,时,时,;假设。在此模型中,Ω0作为弱竞争者的保护区域,使得强竞争者被隔离在Ω0之外,而弱竞争者可以自由进出Ω0。将考虑式(1)对应的平衡态问题正解的存在性及稳定性。1a当c为da时,a则n时设,记分别为特征值问题在Dirichlet和齐次Neumann边界条件下的第一特征值,那么(其中B=D或者B=N)是单重的。而且,有如下性质:(2)如果则;(3)如果,则。其中B=D或者B=N。引理1.1当c<da时,(a,0)是线性稳定的;当c>da时,(a,0)是线性不稳定的。引理1.2当时,(0,c)是线性稳定的;当时,(0,c)是线性不稳定的。运用谱分析及线性特征值稳定性理论容易得到上面的两个引理。引理1.3设(u,v)是方程(2)的一个非负解,则。显然a是方程的唯一非零解。由于-,那么u是上述方程的一个下解,从而有。类似地,,有。2有“0.a>1d或这里p>1。首先固定以c为分歧参数,讨论方程(2)发自半平凡解(a,0)的分歧。定理2.1固定aue0a8ηue0a8due0a8则(c;aue0a80)=(c͂;aue0a80)为方程(2)的分歧点,且在(c͂;aue0a80)的邻域内,式(2)存在正解,其中c͂=da。证明定义非线性算子显然。其中。因此等价于若。因此为方程(3)的第二个方程的主特征值,对应的主特征函数χ1是单重的,且是常数。从而。由广义极大值原理知ω1>0。因此。另一面,L0的伴随算子从而等价于下面固定以η为分歧参数,考察式(2)在(0,c)附近的分支解,类似可得:定理2.2设固定,则为式(2)的分歧点,且在的邻域内,式(2)存在正解,其中η0由决定。引理2.1设0<a<λ1D(Ω0),若(uue0a8v)是方程(2)的一个正解。则当c>da时,有η<(η0c)/(c-da)。证明若(u,v)是方程(2)的一个正解,则有0<u<a。那么由可得到取,那么由极大值原理可得,从而v>c-da。因此。而又知。所以有。那么当c>da时,可得η<(η0c)/(c-da)。3矛盾的转化令,满足其中显然连续,且F关于(ω,χ)的Fréchet导数。则式(5)等价于定义算子为则L(c;ω,χ)为X上的紧可微算子。令,则G是W2,p函数,且。易知,满足的零点恰好是式(2)的非零解。令设是L′(c)的特征值,则有假设。因此。于是存在某个i。使得c=ci(μ),其中ci(μ)是问题另一方面,如果,则算子的所有特征值都大于0。从而。因此为L′(c)的特征值当且仅当存在某个i,使得c=ci(μ)。假设,则对任意,因此没有大于或等于1的特征值。即当时,。假设,则对任意。且c1(μ)关于μ严格递增。因此存在唯一的μ1>1,使得c=c1(μ)。于是。其中为如下特征问题的主特征值函数由全局分歧理论知,在内,存在从出发的连通分支C0满足的所有零点都在定理2.1给出的那条曲线上。令。则C为式(2)由出发的解曲线。令。那么在的小邻域内有。定理3.1设,则由定理2.1给出的正分支解在正锥P内沿c增大到。证明由全局分歧定理及文献中的讨论可得。连通满足下面条件之一:(1)C连接了分歧点和,其中。(2)C在内由延伸到。(3)C包含形如点,其中。由极大值原理得,同理,可得。因此有以下3种可能:(1)假设,则当。令,那么Vn满足由Lp估计和Sobolev嵌入定理知,存在Vn的收敛子列(不是一般性,仍记为Vn)使得当时,在上成立,且。因此,在方程(7)中,令得:由极大值原理得。因此矛盾。由Lp估计和Sobolev嵌入定理知,存在Un的收敛子列(不是一般性,仍记为Un)使得当时,在上成立,且。因此,在方程(8)中,令得:由极大值原理得。因此,与矛盾。(3)假设,类似于上面的方法同样得出矛盾。因此。引理1.3知,。由Lp估计和Sobolev嵌入定理,存在常数M>0,使得。因此C在正锥内只能沿参数c延伸到¥。类似地,定理2.2给出的局部分支也可以延拓为全局分支,下面只需对分支走向作进一步说明。定理3.2设0<a<λ1D(Ω0),c³da,则由定理2.2给出的正分支解与S1=(η;aue0a80)相连接。证明令S为式(2)由出发的解曲线,在的小邻域内有。那么由整体分歧定理知,分支满足下面条件之一:(1)S连接了分歧点和。(2)S在内由延伸到。(3)S包含形如点,其中。假设。则上述条件(1)(3)均不成立。由引理1.3知。由引理2.1知,η有界,那么条件(2)也不成立。因此,从而存在点和序列。由极大值原理易知,有以下3种可能:假设,则时,,那么Un满足由Lp估计和Sobolev嵌入定理知,存在Un的收敛子列(不是一般性,仍记为Un)使得当时,在上成立,且。因此,在方程(9)中,令得:由极大值原理得。因此,与矛盾。假设,类似上面的方法同样得出矛盾。因此,即S与S1相连接于点。4支柱解稳定性的一般表征引理4.10是L0实部最大的特征值,其他的特征值均在左半复平面上。证明假设λ0是L0实部大于0的特征值。为相应的特征函数,则,即假设,则λ0是算子(D-aI)的一个特征值,则有且λ0<0,与假设矛盾,从而有。因此λ0是算子的一个特征值。因此,所以0是算子的主特征值,则有。同样与假设矛盾,故假设不成立。因此0是L0实部最大的特征值,其他的特征值均在左半复平面上。由于0是L0的i-单重特征值,且L0的所有其他特征值都位于左半复平面,那么由文献知,存在分别定义在和0邻域内的函数并且这里。而且。又若。则这里c′(s)为c(s)关于s的导数,γ′(c͂)为γ(c)关于c在处的导数。分支解的稳定性由t(s)的符号决定。当t(s)<0时,分支解是稳定的;当t(s)>0时,分支解是不稳定的。而t(s)的符号与的符号相反,因此可以通过判断的符号来判断分支解的稳定性。引理4.2。证明由可知因为,所以。如果,那么,矛盾,故。因此γ(c)是算子的特征值。考虑到χ1>0,因此只要。所以γ(c)是算子的主特征值,并且当时,γ(c)关于c单调递增。又因为,所以。证明由引理4.2及上面的讨论知,为证明分支解的稳定性情况,只须证明c′(0)与I同号。将分支解代入式(2)中第二个方程,两端同除以s,再关于s在s=0处微分得:在上述方程的两端同乘以χ1,在Ω1上积分,并利用格林公式得:于是c′(0)与I同号。故结论成立。类似地,对于定理2.2给出的分支解的稳定性情况也有如下结论。引理4.3。定理4.2令。若J<0,则由定理2.2给出的分支解线性稳定;若J>0,则由定理2.2给出的分支解是不稳定的。的特征值。显然ci(μ)关于μ在上递增,且ci(μ)满足