初始弯曲桩基的稳定性和过屈曲问题

初始弯曲桩基的稳定性和过屈曲问题

桩基是最常见的深层基础形式之一。现在，它被用作高层建筑、道路桥梁、港口码头、海洋勘探平台和其他结构材料的基础设施。桩基的稳定性是一个相当复杂但具有实质性意义的科学研究问题。a.r.t.20世纪60年代，r.a.gaber等人深入研究了不同桩端边界条件和地基系数下的桩基弯曲稳定性。在此基础上，杨维佳等人使用最小势能原理分析了端部固定桩的稳定性。彭锡定等人考虑到桩侧土壤的抗应力，建立了桩基的平衡方程，并采用加辽金法获得了两端固定桩基的临界负荷。通常,桩基都是直的,但是由于地震等地质灾害的影响(如土层的液化等),桩基结构将发生弯曲,从而使桩基承载能力降低,这将给结构的安全带来极大的威胁,因此研究弯曲桩基的力学性态将对防震抗灾具有重大的实用意义.H.Izumi研究了因地震液化导致的横向地面移动对桩基础及其静动力学行为的影响,并发展了一种高柔韧性抗震接头桩——HighDuctilityAseismaticJointSplicedPile(HDAJ拼接头桩),可以用来抵抗由于地震引起的破坏.这种桩基的变形是比较大的,应用小变形理论进行分析和设计将导致比较大的偏差.F.Miura、朱媛媛等研究了这种桩基的临界载荷和稳定性.朱媛媛等对具有初始缺陷的桩基的力学行为进行了非线性、大变形分析,并考察初始缺陷对桩基的力学行为的影响.邹新军等讨论了初始弯曲对桩身屈曲稳定的影响.当桩基的垂直载荷超过临界值时,桩基的平凡解支将失去稳定性,对临界值的讨论以及失稳后桩基构形的分析(即桩基的稳定性和过屈曲分析)是本研究的主要内容.1桩基抗力qs的数学模型考察一根弯曲的等截面桩基,其抗弯刚度为EI,假定桩基轴线的初始构形所占有区域为Γ0:{(x,y)|x=s+u0(s),y=w0(s),0≤s≤l}(见图1).图1中的θ0(s)表示初始构形在任意点C处的切线和x轴的夹角,s是弧长参数,l是桩基的长度,x轴铅直向上,y轴为水平方向.因为s是弧长参数,所以dxds=1+u′0(s)=cosθ0‚dyds=w′0(s)=sinθ0‚式中,()′表示对弧坐标s的导数.设桩基在s=l处受到竖向力P作用,并设平衡时初始构形Γ0中任意一点C(s+u0,w0)移动到点C′(s+u0+u,w0+w),因此变形后的桩基的构形所占有区域为Γ:{(x,y)|x=s+u0+u,y=w0+w,0≤s≤l}‚式中,u(s)和w(s)分别为x和y方向的位移.假定在变形过程中桩基不伸长,由cosθ=1+u′0+u′,sinθ=w′0+w′,得到如下的几何关系:u′=cosθ-cosθ0,w′=sinθ-sinθ0,(1)式中,θ(s)是变形后的桩基的构形上点C′处的切线和x轴的夹角(见图2).在本研究中,桩基受到的土的抗力q(s)将采用Winkeler模型,假定:q(s)=k{-u(s)sinθ(s)+w(s)cosθ(s)},(2)式中,k是土抗系数.假定桩基的材料是弹性的,则有如下本构关系:Q=EΙ(θ″-θ″0)‚(3)式中,Q为剪力,EI为抗弯刚度.在变形后的构形上,考察剪力的平衡得到平衡微分方程为Q+Ρsinθ-k∫ls{-u(τ)sinθ(τ)+w(τ)⋅cosθ(τ)}cos(θ(s)-θ(τ))dτ=0.(4)将式(3)代入方程(4)中,得到EΙ(θ″-θ″0)+Ρsinθ-k∫ls{-u(τ)sinθ(τ)+w(τ)cosθ(τ)}cos(θ(s)-θ(τ))dτ=0.(5)假定桩基底部固定,桩头自由,则有如下边界条件:u(0)=0,w(0)=0,θ(0)=0,θ′(l)=0.(6)从而,方程(1),(5)及边界条件(6)就组成了要讨论的题的数学模型.此外,还假定θ0(s)满足θ0(0)=0,θ′0(l)=0.(7)于是,当p=0时,式(1),(5),(6),(7)有解为u(s)≡0,w(s)≡0,θ(s)=θ0(s).在以下讨论中,将取θ0(s)=ωsinπ2sl,其中ω是一个刻画桩基初始弯曲程度的参数.现在引进一些新的未知函数,把方程(5)转化成一组等价的一阶常微分方程组.令h=θ′‚f1=∫lsu(τ)sinθ(τ)cos(θ(s)-θ(τ))dτ‚f2=∫lsu(τ)sinθ(τ)sin(θ(s)-θ(τ))dτ,(8)g1=∫lsw(τ)cosθ(τ)cos(θ(s)-θ(τ))dτ‚g2=∫lsw(τ)cosθ(τ)sin(θ(s)-θ(τ))dτ.对式(8)不难求导,于是方程(5)等价于如下一阶微分方程组:θ′=h‚EΙh′-EΙθ″0+Ρsinθ+kf1-kg1=0‚f′1=-usinθ-f2h‚f′2=f1h‚g′1=-wcosθ-g2h‚g′2=g1h,(9)并且满足如下边值条件:f1(l)=f2(l)=g1(l)=g2(l)=0.(10)引入无量纲参数,令t=sl,y1(t)=θ(s),y2(t)=lh(s),y3(t)=l-2f1(s),y4(t)=l-2f2(s),λ=l2pEΙ‚α=l4kEΙ.则式(1),(9)及边界条件(6),(10)可简写为y′=f(t,y,λ),0≤t≤1,(11)y1(0)=y7(0)=y8(0)=0‚y2(1)=y3(1)=y4(1)=y5(1)=y6(1)=0,(12)式中,y(t)=(y1(t),y2(t),…,y8(t))T,f(t,y,λ)=(f1,f2,…,f8)T.{f1=y2(t),f2=θ″0(t)-λsiny1(t)-αy3(t)+αy5(t),f3=-y7(t)siny1(t)-y4(t)y2(t),f4=y3(t)y2(t),f5=-y8(t)cosy1(t)-y6(t)y2(s),f6-y5(t)y2(t),f7=cosy1(t)-cosθ0(t),f8=siny1(t)-sinθ0(t).这样,常微分方程的边值问题(11),(12)就是本研究所要讨论的桩基的控制方程.2正常解和迭代求解本研究将采用打靶法和牛顿迭代法对边值问题(11),(12)进行数值计算,为此考察如下初值问题:{y′=f(t,y,λ),0≤t≤1,y1(0)=y7(0)=y8(0)=0‚(y2(0),y3(0),y4(0),y5(0),y6(0))Τ=β,(13)式中,β=(β1,β2,β3,β4,β5)T是参数.对固定的λ和β,记式(11),(13)的解为y(t,λ,β).显然边值问题(11),(12)的解的充要条件是β满足方程G(β,λ)≡(y2(1,λ,β),y3(1,λ,β),y4(1,λ,β),y5(1,λ,β),y6(1,λ,β))Τ=0.(14)尽管不能求得G(β,λ)的解析表达式,但是从理论上讲,边值问题(11),(12)的讨论等价于有限维方程(14)的讨论.设λ=λ*,y(t)是边值问题(11),(12)的解,令β*=(y2(0),y3(0),y4(0),y5(0),y6(0))T,则y(t,λ*,β*)=y(t),并且G(β*,λ*)=0.这时如果Jacobi矩阵Gβ(β*,λ*)非奇异,则称边值问题(11),(12)的解(y(t),λ*)是正常解.若Jacobi矩阵Gβ(β*,λ*)奇异,则称边值问题(11),(12)的解(y(t),λ*)是奇异解.对于边值问题(11),(12)正常解的计算,可对式(14)采用牛顿迭代法来实现,其迭代步骤是:选取适当的初值β(0),若第k次迭代值β(k)已知,则k+1次迭代值β(k+1)可由下式确定:β(k+1)=β(k)-G-1β(β(k),λ*)⋅G(β(k),λ*)‚k=0,1,2,⋯(15)在式(15)的具体计算中,为了求得G(β(k),λ*)≡(y2(1,λ*,β(k)),y3(1,λ*,β(k)),y4(1,λ*,β(k)),y5(1,λ*,β(k)),y6(1,λ*,β(k)))Τ‚需要计算y(1,λ*,β(k)).它可以通过求解常微初值问题(11),(13)来完成,其中λ=λ*,β=β(k).通过恒等式{y′(t,β,λ)=f(t,y(t,β,λ),λ),0≤t≤1‚y1(0,β,λ)=y7(0,β,λ)=y8(0,β,λ)=0,y2(0,β,λ)=β1,y3(0,β,λ)=β2,y4(0,β,λ)=β3,y5(0,β,λ)=β4,y6(0,β,λ)=β5,两边对βj(j=1,2,3,4,5)求导,可求得是线性初值问题{z′=fy(t,y(t,β(k),λ*),λ*)⋅z,z1(0)=z7(0)=z8(0)=0‚(z2(0),z3(0),z4(0),z5(0),z6(0))Τ=ei,i=1,2,3,4,5(16)的解,式中,ei=(0,⋯,1i,⋯,0)Τ‚i=2,3,4,5,6,j=1,2,3,4,5.记式(16)的解为Ζi(t,β(k),λ*)=(Ζ1i(t,β(k),λ*),Ζ2i(t,β(k),λ*),⋯,Ζ8i(t,β(k),λ*))Τ‚i=1,2,3,4,5.则由式(16)可知因此,迭代式(15)中的G(β(k),λ*)和JacobiG-1β(β(k),λ*)可以利用求解常微初值问题的数值方法(如Runge-Kutta方法),联立式(11),(13),(16)得到.(1)小波群中桩基的t,,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-k-k-k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k因为当λ=0时,u(s)=0,w(s)=0,θ(s)=θ0(s)是桩基的一个解,所以习惯上把通过这个解的光滑解支(y(t,λ),λ)(其中λ≥0),称为是桩基的平凡解支.如果平凡解支上的解(y(t,Λ),Λ)是奇异解,则称Λ是平凡解支上的特征值.因为平凡解支上除了一些孤立的特征值以外都是正常解,所以平凡解支的数值计算可采用如下方法实现:给定步长h,令λk=kh,如果当λ=λk-1,λ=λk时,桩基的控制方程(11),(12)的正常解y(t,λk-1),y(t,λk)已经求出,则当λ=λk+1时,要求解正常解y(t,λk+1)可首先令初值β(0)=y(0,λk-1)+λk+1-λk-1λk-1-λk(y(0,λk-1)-y(0,λk));然后按照牛顿迭代式(15)计算,直到满足条件|β(k+1)-β(k)|<ε时,y(t,β(k+1),λk+1)就是要求的解y(t,λk+1).(2)处理t,kk的迭代求解为了确定平凡解支上特征值的位置,可以通过计算平凡解支(y(t,λ),λ)的同时,求解Δ(λ)=detGβ(y(t,λ),λ)=0来实现.本研究采用二分法来求解这一方程.为此在计算平凡解支(y(t,λk),λk)的同时,监控Δ(λk)=detGβ(y(t,λk),λk)的正负号(这个Δ(λk)的值可由迭代式(15)计算(y(t,λk),λk)时顺便求得).当发现有2个相邻的平凡解(y(t,λs),λs)和(y(t,λs+1),λs+1),使得Δ(λs)·Δ(λs+1)<0,那么在区间[λs,λs+1]上必有一个特征值.这时对区间[λs,λs+1]采用二分法迭代计算,直到求得Λ,使得Δ(Λ)～0,这时Λ就是所要求的特征值.(3)正常解支的延拓算法虽然对有限维分支方程的分叉解支计算有很多成熟的数值方法,但是由于不能得到有限维方程(14)的解析表达式,故并不适用.我们仍将采用牛顿迭代法计算分叉解支,这时关键就在于获得一个接近分叉解支上某个正常解的迭代初值.为了获得这样一个初值,对边值问题(11),(12)给一个小摄动.设(ˆy(t),ˆλ)是平凡解支上一个已知解,其中ˆλ接近于特征值Λ,且ˆλ<Λ,作边值问题如下:{y′=f(t,y,λ)+ˆy(t)′-f(t,ˆy(t)+θδ,ˆλ),0≤t≤1,(y1(0),y2(1),y3(1),y4(1),y5(1),y6(1),y7(0),y8(0))Τ=θδ,(18)式中,δ是一个给定的非零向量,θ是一个小参数.显然当θ=0时,式(18)退化成(11),(12).所以当θ很小时,边值问题(18)是(11),(12)的一个摄动问题.因为按照奇点理论,经过摄动后的边值问题在原问题的奇点附近将没有奇点,并且摄动后的方程的解支是原问题解支的一个近似.所以在|θ|很小时,方程(18)在Λ处附近没有奇异解.从而可以从方程(18)的正常解(ˆy(t)+θδ,—λ)出发,按正常解支的延拓方法延拓方程(18)的解支,直到求出方程(18)的解(ˉy(t,—λ),—λ),其中—λ>Λ.因为当θ很小时,这个解是式(11),(12)的一个近似值,所以可以认为(ˉy(t,—λ),—λ)是当λ=—λ时,求解边值问题式(11),(12)的一个好的初值.对于这样的初值,采用牛顿迭代法(15),就可求得式(11),(12)分支解支上的一个解(z(t,—λ),—λ),其中z(t,—λ)≠y(t,—λ).3计算结果和解释3.1反应值判定的优化在具体计算中,先取α=10,w=0.001,h=1.0,利用第二节中所述方法进行数值计算求得边值问题(11),(12)的平凡解支(y(t,λk),λk),其中λk=kh(k=1,2,3,…),并在计算过程中监控Δ(λk)=detGβ(y(t,λk),λk),首先发现Δ(λ4)·Δ(λ5)<0,因此判定在区间[λ4,λ5]上存在一个特征值Λ1,通过二分法解Δ(λ)=0,最终求得Λ1的准确位置是4.200683594.继续增大k值,接着可发现Δ(λ24)·Δ(λ25)<0,从而判定在区间[λ24,λ25]上存在另外一个特征值Λ2,通过二分法解Δ(λ)=0,求得Λ2的准确位置是24.07910156.重复以上的步骤,进而可以得到第三个特征值Λ3的准确位置是62.1204834.图3中对若干λi,分别画出了平凡解支y8(t,λi)的草图.表1列出了当ω=0.005时,不同抗力α对应的平凡解支上前3个特征值Λ1,Λ2,Λ3的准确位置.可以看出特征值Λi的值是随α的增大而增大的.3.2双阶段全时段桩基枝条解的模拟仍取α=10,w=0