关于反射现象的几何光学题

关于反射现象的几何光学题

以下是关于反射现象的几何光学问题，它们不仅有趣，而且还包含着深刻的数学哲学家。1反射定律结果题目:如图1所示,两平面镜M1、M2的夹角为θ.过P点有一条与M1成α角的方向射向Q点的光线.要使该光线经两面镜若干次反射后能沿原路返回,试推导α、θ应满足的关系式.(设0<α<90°,0<θ<90°)解析:设射到Q点的光线经两面镜第1、2、……n次反射后,反射线与发生反射的那个面镜间的夹角分别为θ1、θ2、……θn,如图2所示.根据反射定律及图2所示的几何关系不难推知θ1=180°-α,θ2=θ1-θ=180°-(α+θ),θ3=θ2-θ=180°-(α+2θ),……由此可归纳出θn=θn-1-θ=180°-[α+(n-1)θ].(1)欲使光线在发生第n次反射后能沿原路返回,须使θn=90°.(2)联立(1)、(2)两式得θ=90°−αn−1.(n=2‚3‚⋯⋯)(3)θ=90°-αn-1.(n=2‚3‚⋯⋯)(3)(3)式即为所求的关系式.例如,若令α=20°,则当θ=70°,35°,23.3°,17.5°,…时,均可以使入射光线经两面镜总共反射2,3,4,5,…次后沿原路反射回去.2.p孔射出的解析题目:如图3所示,内壁为凹面镜的圆筒,在P点处开有一小孔.一条光线沿与过P点的直径所在的直线成α=20°角的方向,从小孔P射入筒内.试通过计算说明该光线能否从P孔射出.解析:相邻两次反射时的反射点与圆心O的两条连线之间的夹角为(见图4)θ=180°-2α=140°.要使光线在筒内发生n次反射后从P孔射出,须满足(n+1)θ=k·360°,即n+1k=360°140°=187.n+1k=360°140°=187.由于能够找到使上式成立的整数n和k,故该光线能从P孔射出.由上式容易看出:当k取整数7且n同时取整数17时,上式成立.这表明当光线进入筒内,在总共反射了17次(转了7圈)后便从P孔射出.3第一次反射后的第2次反射后的两次反射后的方向不发生偏转角题目:如图5所示,两平面镜互成α角,AB为一条入射光线.若保持α角不变,将面镜M1和M2一起以B点为轴转过一个小角θ.则下列说法中正确的是:A.第1次反射后的光线偏转θ角,第2次反射后的光线偏转2θ角.B.第1次反射后的光线偏转2θ,第2次反射后的光线偏转4θ角.C.第1次反射后的光线偏转2θ角,第2次反射后的光线偏转θ角.D.第1次反射后的光线偏转2θ角,第2次反射后的光线其方向不发生偏转.解析:当顺时针转过θ角时,入射线AB的入射角增大为i+θ(i为原入射角).则第一次反射后的反射线与入射线的夹角增大为2(i+θ).因此,第一次反射后的光线较原来所转过的角度为2(θ+i)-2i=2θ.当镜逆时针转过θ角时,结论与上述相同.设第2次反射后的反射线与入射线AB之间的夹角为θ′,如图6所示.根据图6所示的几何关系,有∠α+∠1+∠2=180°,(∠1+∠1′)+(∠2+∠2′)=180°.所以有:∠1′+∠2′=α,故θ′=2(∠1′+∠2′)=2α.当两面镜转过很小角θ后,由上述结论可知,第2次反射后的光线与入射光线的夹